2025年山东省德州市武城二中数学高一第二学期期末预测试题含解析.doc

2025年山东省德州市武城二中数学高一第二学期期末预测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．某公司的班车在和三个时间点发车.小明在至之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过分钟的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．设向量满足，且，则向量在向量方向上的投影为
A．1 B． C． D．
3．已知直线m，n，平面α，β，给出下列命题：
①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β
②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β
③若m∥α，n∥β，且α∥β，且m∥n
④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n
其中正确的命题是（　　　　）
A．②③ B．①③ C．①④ D．③④
4．设满足约束条件则的最大值为（ ）.
A．10 B．8 C．3 D．2
5．函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
6．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
7．已知数列的前项和满足.若对任意正整数都有恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．在中，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
10．空气质量指数是反映空气质量状况的指数，指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：
指数值
0～50
51～100
101～150
151～200
201～300

空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
如图是某市10月1日-20日指数变化趋势：

下列叙述错误的是（　　）
A．这20天中指数值的中位数略高于100
B．这20天中的中度污染及以上的天数占
C．该市10月的前半个月的空气质量越来越好
D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设为等差数列，若，则_____．
12．已知，，，若，则__________．
13．若直线与直线互相平行，那么a的值等于_____．
14．设偶函数的部分图像如图所示，为等腰直角三角形，，则的值为________．

15．已知点在直线上，则的最小值为__________.
16．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右支与焦点为F的抛物线交于A，B两点若，则该双曲线的渐近线方程为________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在三棱锥中，平面平面，，点,,分别为线段，，的中点，点是线段的中点.求证：

（1）平面；
（2）.
18．如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点．
（1）证明：平面;
（2）设，，三棱锥的体积 ，求A到平面PBC的距离．

19．已知直角梯形中， ， ， ， ， ，过作，垂足为， 分别为的中点，现将沿折叠，使得．
（1）求证：
（2）在线段上找一点，使得，并说明理由．

20．在四棱锥中，，．
（1）若点为的中点，求证：平面；
（2）当平面平面时，求二面角的余弦值．

21．已知，且，向量， .
（1）求函数的解析式，并求当时， 的单调递增区间；
（2）当时， 的最大值为5，求的值；
（3）当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
根据题意得小明等车时间不超过分钟的总的时间段，再由比值求得.
【详解】
小明等车时间不超过分钟，则他需在至到，或至到，
共计分钟，所以概率
故选A.
本题考查几何概型，关键找到满足条件的时间段，属于基础题.
2、D
【解析】
先由题中条件，求出向量的数量积，再由向量数量积的几何意义，即可求出投影.
【详解】
因为，，所以，
所以，
故向量在向量方向上的投影为.
故选D
本题主要考查平面向量的数量积，熟记平面向量数量积的几何意义即可，属于常考题型.
3、C
【解析】
根据线线、线面和面面有关定理，对选项逐一分析，由此得出正确选项.
【详解】
对于①，两个平面的垂线垂直，那么这两个平面垂直.所以①正确.
对于②，与可能相交，此时并且与两个平面的交线平行.所以②错误.
对于③，直线可能为异面直线，所以③错误.
对于④，两个平面垂直，那么这两个平面的垂线垂直.所以④正确.
综上所述，正确命题的序号为①④.
故选：C
本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性的判断，属于基础题.
4、B
【解析】
作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解.
【详解】
作出可行域如图：

化目标函数为，
联立，解得.
由图象可知，当直线过点A时，直线在y轴上截距最小，有最大值.
本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.
5、C
【解析】
由题意，可知，即为奇函数，排除，，又时，，可排除D，即可选出正确答案.
【详解】
由题意，函数定义域为，且，即为奇函数，排除，，当时，，，即时，，可排除D，故选C.
本题考查了函数图象的识别，考查了函数奇偶性的运用，属于中档题.
6、C
【解析】
由题意可知：点在反射光线上．设反射光线所在的直线方程为：，利用直线与圆的相切的性质即可得出．
【详解】
由题意可知：点在反射光线上．
设反射光线所在的直线方程为：，即．
由相切的性质可得：，化为：，
解得或．
故选．
本题考查了直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、光线反射的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7、C
【解析】
先利用求出数列的通项公式，于是可求出，再利用参变量分离法得到，利用数列的单调性求出数列的最小项的值，可得出实数的取值范围．
【详解】
当时，，即，得；
当时，由，得，两式相减得，得，
，所以，数列为等比数列，且首项为，公比为，.
，
由，得，
所以，数列单调递增，其最小项为，所以，，
因此，实数的取值范围是，故选C．
本题考查利用数列前项和求数列的通项，其关系式为，其次考查了数列不等式与参数的取值范围问题，一般利用参变量分离法转化为数列的最值问题来求解，考查化归与转化问题，属于中等题．
8、D
【解析】
通过化简可得，再根据，可得，利用同角三角函数可得，则答案可得.
【详解】
解：，
又，得，
即，又，且，
解得，
，
故选：D.
本题考查三角恒等变形的化简和求值，是中档题.
9、B
【解析】
根据分析得出点的轨迹为线段，结合图形即可得到的最大值.
【详解】
如图：取，，，
点是内（包括边界）的一动点，
且，根据平行四边形法则，点的轨迹为线段，

则的最大值是，
在中，，，
，，

故选：B
此题考查利用向量方法解决平面几何中的线段长度最值问题，数形结合处理可以避免纯粹的计算，降低难度.
10、C
【解析】
根据所给图象，结合中位数的定义、指数与污染程度的关系以及古典概型概率公式，对四个选项逐一判断即可.
【详解】
对，因为第10天与第11天指数值都略高100，所以中位数略高于100，正确；
对，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占，正确；
对，由图知，前半个月中，前4天的空气质量越来越好，后11天该市的空气质量越来越差，错误；
对，由图知，10月上旬大部分指数在100以下，10月中旬大部分指数在100以上，所以正确，故选C.
与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据等差数列的性质：在等差数列中若则即可
【详解】

故答案为：
本题主要考查的等差数列的性质：若则，这一性质是常考的知识点，属于基础题。
12、-3
【解析】
由可知

，解得，

13、；
【解析】
由题意得，验证满足条件，所以
14、
【解析】
的部分图象如图所示，为等腰直角三角形，，，函数是偶函数，，函数的解析式为，故答案为.
【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求使解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，往往利用特殊点求的值，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.
15、5
【解析】
由题得表示点到点的距离，再利用点到直线的距离求解.
【详解】
由题得表示点到点的距离.
又∵点在直线上，
∴的最小值等于点到直线的距离，
且.
本题主要考查点到两点间的距离和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
16、
【解析】
根据题意到，联立方程得到，得到答案.
【详解】
，故.
，故，故，故.
故双曲线渐近线方程为：.
故答案为：.
本题考查了双曲线的渐近线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）连AF交BE于Q，连QO，推导出Q是△PAB的重心，从而FG∥QO，由此能证明FG∥平面EBO．
（2）推导出BO⊥AC，从而BO⊥面PAC，进而BO⊥PA，再求出OE⊥PA，由此能证明PA⊥平面EBO，利用线面垂直的性质可证PA⊥BE．
【详解】
（1）连接AF交BE于Q，连接QO，
因为E，F分别为边PA，PB的中点，
所以Q为△PAB的重心，可得：2，
又因为O为线段AC的中点，G是线段CO的中点，
所以2，
于是，
所以FG∥QO，
因为FG⊄平面EBO，QO⊂平面EBO，
所以FG∥平面EBO．
（2）因为O为边AC的中点，AB＝BC，
所以BO⊥AC，
因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BO⊂平面ABC，
所以BO⊥平面PAC，
因为PA⊂平面PAC，
所以BO⊥PA，
因为点E，O分别为线段PA，AC的中点，
所以EO∥PC，
因为PA⊥PC，
所以PA⊥EO，
又BO∩OE＝O，BO，EO⊂平面EBO，
所以PA⊥平面EBO，
因为BE⊂平面EBO，
所以PA⊥BE．

本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
18、（1）证明见解析 （2） 到平面的距离为
【解析】
试题分析：（1）连结BD、AC相交于O，连结OE，则PB∥OE，由此能证明PB∥平面ACE．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A到平面PBD的距离
试题解析：(1）设BD交AC于点O，连结EO．
因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．
又E为PD的中点，所以EO∥PB
又EO平面AEC，PB平面AEC
所以PB∥平面AEC．
（2）
由，可得.
作交于．
由题设易知，所以
故，
又所以到平面的距离为
法2：等体积法

由，可得.
由题设易知,得BC
假设到平面的距离为d，
又因为PB=
所以
又因为(或)，
，
所以
考点：线面平行的判定及点到面的距离
19、（1）见解析 （2）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由已知得：面面 ；（II）分析可知，点满足时，面BDR⊥面BDC．
理由如下先计算 再求得，
，再证面面 面．
试题解析：
（Ⅰ）由已知得：面面

（II）分析可知，点满足时，面BDR⊥面BDC．
理由如下：取中点，连接
容易计算
在 中∵ 可知，
∴在中，
又在中，为中点面 ，
∴面 面．

20、（1）见解析； （2）.
【解析】
(I)结合平面与平面平行判定,得到平面BEM平行平面PAD,结合平面与平面性质,证明结论.(II)建立空间坐标系,分别计算平面PCD和平面PDB的法向量,结合向量数量积公式,计算余弦值,即可.
【详解】
(Ⅰ)取的中点为，连结，.
由已知得，为等边三角形，.
∵，，
∴，
∴，∴.
又∵平面，平面，
∴∥平面.
∵为的中点，为的中点，∴∥.
又∵平面，平面，
∴∥平面.
∵，∴平面∥平面.
∵平面，∴∥平面.

(Ⅱ)连结，交于点，连结，由对称性知，为的中点，且，.
∵平面平面，，
∴平面，，.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.
则(0，，0)，(3，0，0)，(0，0，1).
易知平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
则，，∴，
∵，，∴.
令，得，∴，
∴.
设二面角的大小为，则.
本道题考查了平面与平面平行判定和性质,考查了空间向量数量积公式,关键建立空间坐标系,难度偏难.
21、（1） ， 单调增区间为；（2）或；（3）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）化简，解不等式求得的范围即得增区间（2）讨论a的正负，确定最大值，求a；（3）化简绝对值不等式，转化在上恒成立，即，求出在上的最大值，最小值即得解.
试题解析：
（1）

∵
∴
∴单调增区间为
（2）当时，
若，，∴
若，，∴
∴综上，或.
（3）在上恒成立，
即在上恒成立，
∴
在上最大值2，最小值，
∴
∴的取值范围.
点睛: 本题考查了平面向量的数量积的应用，三角函数的单调性与最值，三角函数的化简，恒成立问题的处理及分类讨论的数学思想，综合性强.