2024-2025学年河南省周口市西华县数学高一下期末监测模拟试题含解析.doc

2024-2025学年河南省周口市西华县数学高一下期末监测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如果全集，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则使得都成立的取值范围是( ).
A． B． C． D．
3．已知圆（为圆心，且在第一象限）经过，，且为直角三角形，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100米到达后，又测得对于山坡的斜度为，若米，山坡对于地平面的坡角为，则（）

A． B． C． D．
5．设点，，若直线与线段没有交点，则的取值范围是
A． B． C． D．
6．在中，如果，，，则此三角形有（ ）
A．无解 B．一解 C．两解 D．无穷多解
7．已知是球O的球面上四点，面ABC,，则该球的半径为（ ）
A． B． C． D．
8．已知集合，，则中元素的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．在中秋的促销活动中，某商场对9月14日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知12时到14时的销售额为万元，则10时到11时的销售额为（ ）

A．万元 B．万元 C．万元 D．万元
10．某小组共有5名学生，其中男生3名，女生2名，现选举2名代表，则恰有1名女生当选的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．记为数列的前项和.若，则_______.
12．设为三条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列四个判断:
①若则；
②若是在内的射影，，则；
③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
④若球的表面积扩大为原来的16倍，则球的体积扩大为原来的32倍；
其中正确的为___________.
13．在中，.以为圆心，2为半径作圆，线段为该圆的一条直径，则的最小值为_________.
14．已知直线与圆交于两点，若，则____.
15．光线从点射向y轴，经过y轴反射后过点，则反射光线所在的直线方程是________.
16．计算：__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知圆与轴交于两点，且（为圆心），过点且斜率为的直线与圆相交于两点
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若，求的取值范围；
（Ⅲ）若向量与向量共线（为坐标原点），求的值
18．已知数列的前项和为，满足，数列满足.
（1）求数列、的通项公式；
（2），求数列的前项和；
（3）对任意的正整数，是否存在正整数，使得？若存在，请求出的所有值；若不存在，请说明理由.
19．数列的前项和.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和，并求使成立的实数最小值.
20．（1）已知圆经过和两点，若圆心在直线上，求圆的方程；
（2）求过点、和的圆的方程.
21．等差数列中，公差，，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
首先确定集合U，然后求解补集即可.
【详解】
由题意可得：，结合补集的定义可知.
本题选择C选项.
本题主要考查集合的表示方法，补集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2、B
【解析】
先解出不等式的解集，得到当时，不等式的解集，最后求出它们的交集即可.
【详解】
因为，所以，
因为，所以，要想使得都成立，所以取值范围是，故本题选B.
本题考查了一元二次不等式的解法，考查了不等式的性质应用，考查了数学运算能力.
3、D
【解析】
设且，半径为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解.
【详解】
依题意，圆经过点，可设且，半径为，
则，解得，所以圆的方程为.
本题主要考查了圆的标准方程的求解，其中解答中熟记圆的标准方程的形式，以及合理应用圆的性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
4、C
【解析】
先在中利用正弦定理求出BC的值，再在中由正弦定理解出，再计算．
【详解】
在中，
，
在中，
，
又∵，∴.
故选C.
本题考查解三角形在实际中的应用，属于基础题．
5、B
【解析】

直线恒过点
且斜率为

由图可知，且

故选
点睛：本题主要考查了两条直线的交点坐标，直线恒过点，直线与线段没有交点转化为过定点的直线与线段无公共点，作出图象，由图求解即可．
6、C
【解析】
计算出的值，然后比较、、三者的大小关系，可得出此三角形解的个数.
【详解】
由题意得，则，因此，该三角形有两解，故选C.
本题考查三角形解的个数的判断，解题时要熟悉三角形解的个数的判断条件，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
7、D
【解析】
根据面，，得到三棱锥的三条侧棱两两垂直，以三条侧棱为棱长得到一个长方体，且长方体的各顶点都在该球上，长方体的对角线的长就是该球的直径，从而得到答案。
【详解】
面，
三棱锥的三条侧棱，，两两垂直，
可以以三条侧棱，，为棱长得到一个长方体，且长方体的各顶点都在该球上，

长方体的对角线的长就是该球的直径，
即
则该球的半径为
故答案选D
本题考查三棱锥外接球的半径的求法，本题解题的关键是以三条侧棱为棱长得到一个长方体，三棱锥的外接球，即为该长方体的外接球，利用长方体外接球的直径为长对角线的长，属于基础题。
8、C
【解析】
求出A∩B即得解.
【详解】
由题得A∩B={2,3,4},所以A∩B中元素的个数是3.
故选：C
本题主要考查集合的交集的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
9、C
【解析】
分析：先根据12时到14时的销售额为万元求出总的销售额，再求10时到11时的销售额.
详解：设总的销售额为x,则.
10时到11时的销售额的频率为1-0.1-0.4-0.25-0.1=0.15.
所以10时到11时的销售额为.故答案为C.
点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图求概率、频数和总数，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)在频率分布直方图中，所有小矩形的面积和为1，频率=.
10、B
【解析】
记三名男生为，两名女生为，分别列举出基本事件，得出基本事件总数和恰有1名女生当选包含的基本事件个数，即可得解.
【详解】
记三名男生为，两名女生为，
任选2名所有可能情况为，共10种，
恰有一名女生的情况为，共6种，
所以恰有1名女生当选的概率为.
故选：B
此题考查根据古典概型求概率，关键在于准确计算出基本事件总数，和某一事件包含的基本事件个数.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由和的关系，结合等比数列的定义，即可得出通项公式.
【详解】
当时，
当时，
即
则数列是首项为，公比为的等比数列

故答案为：
本题主要考查了已知求，属于基础题.
12、①②
【解析】
对四个命题分别进行判断即可得到结论
【详解】
①若，垂足为，与确定平面，，则，
，则，
，则，故，故正确
②若，是在内的射影，，根据三垂线定理，可得，故正确
③底面是等边三角形，侧面都是有公共顶点的等腰三角形的三棱锥是正三棱锥，故不正确
④若球的表面积扩大为原来的倍，则半径扩大为原来的倍，则球的体积扩大为原来的倍，故不正确
其中正确的为①②
本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系、球的体积等知识点，数量掌握各知识点然后对其进行判断，较为基础。
13、-10
【解析】
向量变形为，化简得，转化为讨论夹角问题求解.
【详解】

由题线段为该圆的一条直径，设夹角为，
可得：

，
当夹角为时取得最小值-10.
故答案为：-10
此题考查求平面向量数量积的最小值，关键在于根据平面向量的运算法则进行变形，结合线性运算化简求得，此题也可建立直角坐标系，三角换元设坐标利用函数关系求最值.
14、
【解析】
根据点到直线距离公式与圆的垂径定理求解.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离： ，
由得，
解得.
本题考查直线与圆的应用.此题也可联立圆与直线方程，消元后用弦长公式求解.
15、（或写成）
【解析】
光线从点射向y轴，即反射光线反向延长线经过关于y轴的对称点，则反射光线通过和两个点，设直线方程求解即可。
【详解】
由题意可知，所求直线方程经过点关于y轴的对称点为，则所求直线方程为，即.
此题的关键点在于物理学上光线的反射光线和入射光线关于镜面对称，属于基础题目。
16、0
【解析】
直接利用数列极限的运算法则，分子分母同时除以，然后求解极限可得答案.
【详解】
解：，
故答案为：0.
本题主要考查数列极限的运算法则，属于基础知识的考查.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）
【解析】
（Ⅰ）由圆的方程得到圆心坐标和；根据、为等腰直角三角形可知，从而得到，解方程求得结果；（Ⅱ）设直线方程为；利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离；由垂径定理可得到，利用可构造不等式求得结果；（Ⅲ）直线方程与圆方程联立，根据直线与圆有两个交点可根据得到的取值范围；设，，利用韦达定理求得，并利用求得，即可得到；利用向量共线定理可得到关于的方程，解方程求得满足取值范围的结果.
【详解】
（Ⅰ）由圆得：
圆心，
由题意知，为等腰直角三角形
设的中点为，则也为等腰直角三角形
，解得：
（Ⅱ）设直线方程为：
则圆心到直线的距离：
由，，可得：，解得：
的取值范围为：
（Ⅲ）联立直线与圆的方程：
消去变量得：
设，，由韦达定理得：
且，整理得：
解得：或
，

与向量共线， ，
解得：或
不满足
本题考查直线与圆位置关系的综合应用，涉及到圆的方程的求解、垂径定理的应用、平面向量共线定理的应用；求解直线与圆位置关系综合应用类问题的常用方法是灵活应用圆心到直线的距离、直线与圆方程联立，韦达定理构造方程等方法，属于常考题型.
18、（1），；（2）见解析；（3）存在，.
【解析】
（1）利用可得，从而可得为等比数列，故可得其通项公式.用累加法可求的通项.
（2）利用分组求和法可求，注意就的奇偶性分类讨论.
（3）根据的通项可得，故考虑的解可得满足条件的的值.
【详解】
（1）在数列中，当时，.
当时，由得，
因为，故，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列即.
在数列中，当时，有，
由累加法得，，
.
当时，也符合上式，所以.
(2) .
当为偶数时，
=；
当为奇数时，
=.
(3)对任意的正整数,有，
假设存在正整数，使得，则，
令，解得，又为正整数，
所以满足题意.
给定数列的递推关系，求数列的通项时，我们常需要对递推关系做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），常见的递推关系、变形方法及求法如下：
（1），用累加法；
（2），可变形为，利用等比数列的通项公式可求的通项公式，两种方法都可以得到的通项公式.
（3）递推关系式中有与前项和，可利用实现与之间的相互转化.
另外，数列不等式恒成立与有解问题，可转化为数列的最值（或项的范围）来处理.
19、（1）；（2），.
【解析】
（1）由已知可先求得首项，然后由，得，两式相减后可得数列的递推式，结合得数列是等比数列，从而易得通项公式；
（2）对数列可用错位相减法求其和．不等式恒成立，可转化为先求的最大值．
【详解】
（1）由得.
由，可知，
可得，即.
因为，所以，故
因此是首项为，公比为的等比数列，
故.
（2）由（1）知.
所以①
两边同乘以得
②
①②相减得

从而
于是，
当是奇数时，，
因为，
所以.
当是偶数时，
因此.
因为，
所以，的最小值为.
本题考查等比数列的通项公式，前项和公式，考查错位相减法求和．适用错位相减法求和的数列一般是，其中是等差数列，是等比数列．
20、（1）；（2）
【解析】
（1）由直线AB的斜率，中点坐标，写出线段AB中垂线的直线方程，与直线x-2y-3=0联立即可求出交点的坐标即为圆心的坐标，再根据两点间的距离公式求出圆心到点A的距离即为圆的半径，根据圆心坐标与半径写出圆的标准方程即可；
（2）设圆的方程为，代入题中三点坐标，列方程组求解即可
【详解】
（1）由点和点可得，线段的中垂线方程为．
∵ 圆经过和两点，圆心在直线上，
∴ ，解得，即所求圆的圆心，
∴ 半径，所求圆的方程为；
（2）设圆的方程为，
∵ 圆过点、和，
∴ 列方程组得 解得，
∴ 圆的方程为．
本题考查了圆的方程求解，考查了待定系数法及运算能力，属于中档题．
21、（1）（2）
【解析】
（1）由和可列出方程组，解出和，即得通项公式；（2）将（1）中所得通项公式代入，列项，用裂项相消法求的前n项和．
【详解】
解：（1）因为，，所以
因为，所以
故的通项公式为.
（2）因为，
所以.
本题考查求等差数列通项公式和用裂项相消法求数列前n项和，是典型考题．