2025届湖南省长沙雅礼中学数学高一第二学期期末联考模拟试题含解析.doc

2025届湖南省长沙雅礼中学数学高一第二学期期末联考模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩进行统计，作出的茎叶图如图所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是( )

A．中位数为83 B．众数为85 C．平均数为85 D．方差为19
2．在三棱柱中，已知,，此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ）.
A． B． C． D．
3．在中，若，，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90，89，90，95，93，94，93，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )
A．92，2 B．92，2.8 C．93，2 D．93，2.8
5．已知函数的值域为，且图像在同一周期内过两点，则的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知数列的前项和（），那么（ ）
A．一定是等差数列
B．一定是等比数列
C．或者是等差数列，或者是等比数列
D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列
7．已知数列的前项和为，，且满足，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知命题，则命题的否定为（ ）
A． B．
C． D．
9．为三角形ABC的一个内角,若,则这个三角形的形状为 （ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
10．在复平面内，复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若直线平分圆，则的值为________.
12．已知向量，则________
13．已知数列满足，（），则________.
14．函数是定义域为R的奇函数，当时，则的表达式为________.
15．若正四棱锥的所有棱长都相等，则该棱锥的侧棱与底面所成的角的大小为____.
16．在中，内角，，所对的边分别为，，，，且，则面积的最大值为______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知是圆的直径，垂直圆所在的平面,是圆上任一点．求证:平面⊥平面.

18．各项均不相等的等差数列前项和为，已知，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
19．总书记在党的十九大报告中指出，要在“幼有所育、学有所教、劳有所得、病有所医、老有所养、住有所居、弱有所扶”上不断取得新进展，保证全体人民在共建共享发展中有更多获得感．现S市政府针对全市10所由市财政投资建设的敬老院进行了满意度测评，得到数据如下表：
敬老院
A
B
C
D
E
F
G
H
I
K
满意度x（%）
20
34
25
19
26
20
19
24
19
13
投资原y（万元）
80
89
89
78
75
71
65
62
60
52
（1）求投资额关于满意度的相关系数；
（2）我们约定：投资额关于满意度的相关系数的绝对值在0.75以上（含0.75）是线性相关性较强，否则，线性相关性较弱.如果没有达到较强线性相关，则采取“末位淘汰”制（即满意度最低的敬老院市财政不再继续投资，改为区财政投资）.求在剔除“末位淘汰”的敬老院后投资额关于满意度的线性回归方程（系数精确到0.1）
参考数据：，，，，.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.线性相关系数.
20．在平面直角坐标系中，以轴为始边，作两个角，它们终边分别经过点和，其中,，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
21．已知，
(1)求；
(2)求；
(3)求
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
试题分析：A选项，中位数是84；B选项，众数是出现最多的数，故是83；C选项，平均数是85，正确；D选项，方差是，错误．
考点：茎叶图的识别‚相关量的定义
2、A
【解析】
试题分析：直三棱柱的各项点都在同一个球面上，如图所示，所以中，，所以下底面的外心为的中点，同理，可得上底面的外心为的中点，连接，则与侧棱平行，所以平面，再取的中点，可得点到的距离相等，
所以点是三棱柱的为接球的球心，因为直角中，，所以，即外接球的半径，因此三棱柱外接球的体积为，故选A.

考点：组合体的结构特征；球的体积公式.
【方法点晴】本题主要考查了球的组合体的结构特征、球的体积的计算，其中解答中涉及到三棱柱的线面位置关系、直三棱柱的结构特征、球的性质和球的体积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和学生的空间想象能力，试题有一定的难度，属于中档试题.
3、A
【解析】
利用正弦定理列出关系式，把与代入得出与的关系式，再与已知等式联立求出即可.
【详解】
∵在中，，，，
∴由正弦定理得：，即，
联立解得：.
故选：A.
本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题.
4、B
【解析】
由平均数与方差的计算公式，计算90，90， 93，94，93五个数的平均数和方差即可.
【详解】
90，89，90，95，93，94，93，去掉一个最高分和一个最低分后是90，90， 93，94，93，
所以其平均数为，
因此方差为.
故选B
本题主要考查平均数与方差的计算，熟记公式即可，属于基础题型.
5、C
【解析】
先利用可求出的值，再利用、两点横坐标之差的绝对值为周期的一半，计算出周期，再由可计算出的值，从而可得出答案．
【详解】
由题意可知，，
、两点横坐标之差的绝对值为周期的一半，则，，
因此，，，故选C．
本题考查三角函数的解析式的求解，求解步骤如下：
（1）求、：，；
（2）求：根据题中信息求出最小正周期，利用公式求出的值；
（3）求：将对称中心点和最高、最低点的坐标代入函数解析式，若选择对称中心点，还要注意函数在该点附近的单调性．
6、C
【解析】
试题分析：当时，，，
∴数列是等差数列．当时，，
∴数列是等比数列．综上所述，数列或是等差数列或是等比数列
考点：等差数列等比数列的判定
7、D
【解析】
由递推关系可证得数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得公差；利用等差数列通项公式和前项和公式分别求得和，代入求得结果.
【详解】
由得：
数列为等差数列，设其公差为
， ，解得：
，

本题正确选项：
本题考查等差数列基本量的计算，涉及到利用递推关系式证明数列为等差数列、等差数列通项公式和前项和公式的应用.
8、C
【解析】
根据全称命题的否定是特称命题，可直接得出结果.
【详解】
命题“”的否定是“”.
故选C
本题主要考查全称命题的否定，只需改量词和结论即可，属于基础题型.
9、B
【解析】
试题分析：由,两边平方得,即,又,则,所以为第三、四象限角或轴负半轴上的角,所以为钝角．故正确答案为B．
考点：1．三角函数的符号、平方关系;2．三角形内角．
10、D
【解析】
利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【详解】
在复平面内，复数==1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限．
故选D．
本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】
把圆的一般式方程化为标准方程得到圆心，根据直线过圆心，把圆心的坐标代入到直线的方程，得到关于的方程，解方程即可
【详解】
圆的标准方程为，
则圆心为
直线过圆心

解得
故答案为
本题考查的是直线与圆的位置关系，解题的关键是求出圆心的坐标，属于基础题
12、2
【解析】
由向量的模长公式，计算得到答案.
【详解】
因为向量，
所以，
所以答案为.
本题考查向量的模长公式，属于简单题.
13、31
【解析】
根据数列的首项及递推公式依次求出、、……即可.
【详解】
解：，

故答案为：
本题考查利用递推公式求出数列的项，属于基础题.
14、
【解析】
试题分析：当时，，，因是奇函数，所以，是定义域为R的奇函数，所以，所以
考点：函数解析式、函数的奇偶性
15、
【解析】
先作出线面角，再利用三角函数求解即可．
【详解】
如图，设正四棱锥的棱长为1，作在底面的射影，则为与底面所成角，为正方形的中心，
，，
，
故答案为．

本题考查线面角，考查学生的计算能力，作出线面角是关键．属于基础题.
16、
【解析】
根据正弦定理将转化为，即，由余弦定理得，再用基本不等式法求得，根据面积公式求解.
【详解】
根据正弦定理可转化为
，化简得
由余弦定理得

因为
所以，当且仅当时取
所以
则面积的最大值为.
故答案为：
本题主要考查正弦定理，余弦定理，基本不等式的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、证明见解析
【解析】
先证直线平面，再证平面⊥平面.
【详解】
证明: ∵是圆的直径，是圆上任一点，，，
平面，平面，
，又，
平面，又平面，
平面⊥平面.
本题考查圆周角及线面垂直判定定理、面面垂直判定定理的应用，考查垂直关系的简单证明.
18、（1）；（2）
【解析】
（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的性质，可得，则可得通项公式.
（2）根据（1）的结论可得，然后利用裂项相消求和，可得结果.
【详解】
（1）因为各项均不相等，所以公差
由等差数列通项公式
且，
所以，
又成等比数列，所以，
则，化简得，
所以
即
可得
即
（2）由（1）可得
化简可得
由

所以
本题主要考查利用裂项相消法求和，属基础题.
19、 (1)0.72；(2)
【解析】
（1）由题意，根据相关系数的公式，可得的值，即可求解；
（2）由（1）可知，得投资额关于满意度没有达到较强线性相关，利用公式求得的值，即可得出回归直线的方程.
【详解】
（1）由题意，根据相关系数的公式，可得.
（2）由（1）可知，因为，所以投资额关于满意度没有达到较强线性相关，
所以要“末位淘汰”掉K敬老院.
重新计算得，，
，
，
所以，
.
所以所求线性回归方程为.
本题主要考查了回归分析的应用，同时考查了回归系数的计算，以及回归直线方程的求解，其中解答中利用公式准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
20、（1）；（2）.
【解析】
(1)根据正弦的定义求得，再运用余弦的二倍角公式求解，
(2)由(1)问可得、两点的坐标，从而再运用正切的和角公式求解.
【详解】
（1）由
得：
所以：
（2）由
则
故
因此.
本题考查三角函数的定义和余弦的二倍角公式和正切的和角公式，属于基础题.
21、（1）；（2）；（3）
【解析】
利用正弦的二倍角公式，余弦和正切的两角和公式计算即可得到答案.
【详解】
因为，，所以.
（1）；
（2）；
（3）
本题考查正弦的二倍角公式，余弦和正切的两角和公式的应用，属于简单题.