江苏省射阳中学2025年高一数学第二学期期末质量检测试题含解析.doc

江苏省射阳中学2025年高一数学第二学期期末质量检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图所示，垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆上异于的任一点，则下列关系中不正确的是（ ）

A． B．平面 C． D．
2．如图所示，在中，，点在边上，点在线段上，若,则 （ ）

A． B． C． D．
3．设，且，则的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
4．若,则下列不等式成立的是( )
A． B．
C． D．
5．已知圆：关于直线对称的圆为圆：，则直线的方程为
A． B． C． D．
6．不等式的解集是( )
A． B． C． D．
7．已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（ ）
A． B． C． D．4
8．已知在角终边上，若，则（ ）
A． B．-2 C．2 D．
9．直线的斜率是（ ）
A． B．13 C．0 D．
10．已知点G为的重心，若，，则=( )
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．等比数列中前n项和为，且，，，则项数n为____________．
12．若角的终边经过点，则______.
13．数列中，，，，则的前2018项和为______.
14．设数列是首项为0的递增数列，函数满足：对于任意的实数，总有两个不同的根，则的通项公式是________．
15．关于函数f（x）=4sin（2x+）（x∈R），有下列命题：
①y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x﹣）；
②y=f（x）是以2π为最小正周期的周期函数；
③y=f（x）的图象关于点对称；
④y=f（x）的图象关于直线x=﹣对称．
其中正确的命题的序号是 ．
16．若数列满足（）,且，，__.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
（1）若广告费与销售额具有相关关系，求回归直线方程；
（2）在已有的五组数据中任意抽取两组，求两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5的概率．
18．在物理中，简谐运动中单摆对平衡位置的位移与时间的关系，交流电与时间的关系都是形如的函数.已知电流（单位：）随时间（单位：）变化的函数关系是：，
（1）求电流变化的周期、频率、振幅及其初相；
（2）当，，，，（单位：）时，求电流.
19．已知函数满足.
（1）若，对任意都有，求的取值范围；
（2）是否存在实数，，使得不等式对一切实数恒成立？若存在，请求出，，使；若不存在，请说明理由.
20．已知离心率为的椭圆过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作斜率为直线与椭圆相交于两点，求的长．
21．若在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“和一点”.
（1）函数是否有“和一点”？请说明理由；
（2）若函数有“和一点”，求实数的取值范围；
（3）求证：有“和一点”.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
由平面，得，再由，得到平面，进而得到，即可判断出结果.
【详解】
因为垂直于以为直径的圆所在的平面，
即平面，得，A正确；
又为圆上异于的任一点，所以，
平面，，B，D均正确.
故选C.
本题主要考查线面垂直，熟记线面垂直的判定定理与性质定理即可，属于常考题型.
2、B
【解析】
本题首先可根据点在边上设，然后将化简为，再然后根据点在线段上解得，最后通过计算即可得出结果．
【详解】
因为点在边上，所以可设，
所以，
因为点在线段上，所以三点共线，
所以，解得，
所以，，故选B．
本题考查向量共线的相关性质以及向量的运算，若向量与向量共线，则，考查计算能力，是中档题．
3、D
【解析】
本题首先可将转化为，然后将其化简为，最后利用基本不等式即可得出结果．
【详解】
，
当且仅当，即时成立，故选D．
本题考查利用基本不等式求最值，基本不等式公式为，考查化归与转化思想，是简单题．
4、B
【解析】
利用不等式的性质，进行判断即可.
【详解】
因为，故由均值不等式可知：；
因为，故；
因为，故；
综上所述：.
故选：B.
本题考查均值不等式及利用不等式性质比较大小.
5、A
【解析】
根据对称性，求得，求得圆的圆心坐标，再根据直线l为线段C1C2的垂直平分线，求得直线的斜率，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，圆的方程，可化为，
根据对称性，可得：，解得：或（舍去，此时半径的平方小于0，不符合题意），
此时C1(0，0)，C2(－1，2)，直线C1C2的斜率为：，
由圆C1和圆C2关于直线l对称可知：直线l为线段C1C2的垂直平分线，
所以，解得，直线l又经过线段C1C2的中点(，1)，
所以直线l的方程为：，化简得：，
故选A
本题主要考查了圆与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的位置关系，合理应用圆对称性是解答本题的关键，其中着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
6、A
【解析】
分解因式，即可求得.
【详解】
进行分解因式可得：
，
故不等式解集为：
故选：A.
本题考查一元二次不等式的求解，属基础知识题.
7、A
【解析】
本题主要考查的是向量的求模公式．由条件可知==，所以应选A．
8、C
【解析】
由正弦函数的定义求解．
【详解】
，显然，∴．
故选C．
本题考查正弦函数的定义，属于基础题．解题时注意的符号．
9、A
【解析】
由题得即得直线的斜率得解.
【详解】
由题得，所以直线的斜率为.
故选：A
本题主要考查直线的斜率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
10、B
【解析】
由重心分中线为，可得，又（其中是中点），再由向量的加减法运算可得．
【详解】
设是中点，则，又为的重心，∴．
故选B．
本题考查向量的线性运算，解题关键是掌握三角形重心的性质，即重心分中线为两段．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、6
【解析】
利用等比数列求和公式求得，再利用通项公式求解n即可
【详解】
，代入，，得，又，得．
故答案为：6
本题考查等比数列的通项公式及求和公式的基本量计算，熟记公式准确计算是关键，是基础题
12、
【解析】
利用三角函数的定义可计算出，然后利用诱导公式可计算出结果.
【详解】
由三角函数的定义可得，
由诱导公式可得.
故答案为：.
本题考查利用三角函数的定义和诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.
13、2
【解析】
直接利用递推关系式和数列的周期求出结果即可．
【详解】
数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an+2＝an+1﹣an，
则：a2＝a2﹣a1＝1，a4＝a2﹣a2＝﹣1，a5＝a4﹣a2＝﹣2，a1＝a5﹣a4＝﹣1，
a7＝a1﹣a5＝1，…所以：数列的周期为1．a1+a2+a2+a4+a5+a1＝0，
数列{an}的前2018项和为：
（a1+a2+a2+a4+a5+a1）+…+（a2011+a2012+a2012+a2014+a2015+a2011）+a2017+a2018，
＝0+0+…+0+（a1+a2）
＝2．
故答案为：2
本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的周期的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．
14、
【解析】
利用三角函数的图象与性质、诱导公式和数列的递推公式，可得，再利用“累加”法和等差数列的前n项和公式，即可求解．
【详解】
由题意，因为，当时，，
又因为对任意的实数，总有两个不同的根，所以，
所以，
又，
对任意的实数，总有两个不同的根，所以，
又，
对任意的实数，总有两个不同的根，所以，
由此可得，
所以，
所以．
故答案为：．
本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及诱导公式，数列的递推关系式和“累加”方法等知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
15、①③
【解析】
∵f （x）=4sin（2x+）=4cos（）=4cos（﹣2x+）=4cos（2x﹣），故①正确；
∵T=，故②不正确；
令x=﹣代入f （x）=4sin（2x+）得到f（﹣）=4sin（+）=0，
故y=f （x）的图象关于点对称，③正确④不正确；
故答案为①③．
16、1
【解析】
由数列满足，即，得到数列的奇数项和偶数项分别构成公比为的等比数列，利用等比数列的极限的求法，即可求解．
【详解】
由题意，数列满足，即，
又由，，所以数列的奇数项构成首项为1，公比为，偶数项构成首项为，公比为的等比数列，
当为奇数时，可得，
当为偶数时，可得．
所以．
故答案为：1.
本题主要考查了等比数列的定义，以及无穷等比数列的极限的计算，其中解答中得出数列的奇数项和偶数项分别构成公比为的等比数列是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2） .
【解析】
（1）首先求出x，y的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，根据样本中心点满足线性回归方程，代入已知数据求出a的值，写出线性回归方程．（2）由古典概型列举基本事件求解即可
【详解】
(1)

，
因此，所求回归直线方程为：.
(2)
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70

30.5
43.5
50
56.5
69.5
基本事件：共10个，
两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5：共3个
所以两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5的概率为 .
本题考查回归分析的初步应用，考查求线性回归方程，考查古典概型，是基础题
18、（1）周期：，频率：,振幅：，初相：；（2）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.
【解析】
（1）按照函数的周期、频率、振幅和初相的求法求解即可；
（2）将，，，，分别代入函数关系中计算即可.
【详解】
（1）周期：，频率：,振幅：，初相：；
（2）当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，.
本题考查函数模型在物理学中的应用，考查对基础知识的掌握，考查计算能力.
19、（1）（2）存在，使不等式恒成立，详见解析.
【解析】
（1）由知函数关于对称，求出后，通过构造函数求出；
（2）利用不等式的两边夹定理，令，得，结合已知条件，解出；然后设存在实数，，命题成立，运用根的判别式建立关于实数的不等式组，解得.
【详解】
（1）由得此时，
，
构造函数，
.
即的取值范围是.
（2）由对一切实数恒成立，得
由得
由得恒成立，
也即，此时，.
把，.代入，不等式也恒成立，
所以，.
本题第（1）问，常用“反客为主法”，即把参数当成主元，而把看成参数；
第（2）问，不等式对任意实数恒成立，常用赋值法切入问题.
20、（1）（2）
【解析】
（1）根据离心率可得的关系，将点代入椭圆方程，可得椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，可得弦长.
【详解】
（1），又，
，即椭圆方程是，
代入点,
可得，
椭圆方程是.
（2）设
直线方程是，联立椭圆方程

代入可得.
本题考查了椭圆方程和直线与椭圆的位置关系，涉及弦长公式，属于简单题.
21、（1）不存在；（2）a＞﹣2；（3）见解析
【解析】
（1）解方程即可判断；
（2）由题转化为2（x+1）+a+2x+1＝2x+a+2x+2+a+2有解，分离参数a＝2x﹣2求值域即可求解；
（3）由题意判断方程cos（x+1）＝cosx+cos1是否有解即可．
【详解】
（1）若函数有“和一点”，则不合题意
故不存在
（2）若函数f（x）＝2x+a+2x有“和一点”.
则方程f（x+1）＝f（x）+f（1）有解，
即2（x+1）+a+2x+1＝2x+a+2x+2+a+2有解，
即a＝2x﹣2有解，
故a＞﹣2；
（3）证明：令f（x+1）＝f（x）+f（1），
即cos（x+1）＝cosx+cos1，
即cosxcos1﹣sinxsin1﹣cosx＝cos1，
即（cos1﹣1）cosx﹣sinxsin1＝cos1，
故存在θ，
故cos（x+θ）＝cos1，
即cos（x+θ）＝cos1，
即cos（x+θ），
∵cos21﹣（2﹣2cos1）
＝cos21+2cos1﹣2
＜cos22cos22＜0，
故01，
故方程cos（x+1）＝cosx+cos1有解，
即f（x）＝cosx函数有“和一点”.
本题考查了新定义及分类讨论的思想应用，同时考查了三角函数的化简与应用，转化为有解问题是关键，是中档题