江西省新余市第一中学2025年数学高一第二学期期末检测模拟试题含解析.doc

江西省新余市第一中学2025年数学高一第二学期期末检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．在数列中，，，则的值为（ ）
A．4950 B．4951 C． D．
3．已知分别为内角 的对边,若,b=则 =( )
A． B． C． D．
4．设集合,则（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，满足：则
A． B． C． D．
6．设,为两条不同的直线，,为两个不同的平面，给出下列命题:
①若，，则；
②若，，则；
③若，，，则；
④若，，则与所成的角和与所成的角相等.
其中正确命题的序号是( )
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
7．在平行四边形中，为一条对角线，，，则＝（ ）
A．（2,4） B．（3,5） C．（1，1） D．（－1，－1）
8．在△ABC中，如果，那么cosC等于 （ ）
A． B． C． D．
9．已知，，，，那么（ ）
A． B． C． D．
10．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体是一个刍甍.四边形为矩形，与都是等边三角形，，，则此“刍甍”的表面积为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，则与的夹角等于____.
12．中，内角，，所对的边分别是，，，且，，则的值为__________．
13．已知无穷等比数列的首项为，公比为q，且，则首项的取值范围是________．
14．已知等差数列的前项和为，若，则_____
15．已知向量满足，则
16．已知，则的值为．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点， 已知，，，求：

（1）直线与平面所成角的正切值；
（2）三棱锥的体积.
18．已知数列的前项和（）；
（1）判断数列是否为等差数列；
（2）设，求；
（3）设（），，是否存在最小的自然数，使得不等式对一切正整数总成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由；
19．已知函数f（x）＝2cosx（sinx﹣cosx）.
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间：
（2）将f（x）的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，若方程g（x）＝m在区间[0，]上有解，求实数m的取值范围.
20．某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
（1）若广告费与销售额具有相关关系，求回归直线方程；
（2）在已有的五组数据中任意抽取两组，求两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5的概率．
21．已知函数的部分图象如图所示.

（1）求的解析式；
（2）求的单调增区间并求出取得最小值时所对应的x取值集合．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
由正弦定理可得，再结合求解即可.
【详解】
解：由，
又，
则，
由，
则，
故选：A.
本题考查了正弦定理，属基础题.
2、C
【解析】
利用累加法求得，由此求得的表达式，进而求得的值.
【详解】
依题意，所以，所以，当时，上式也满足.所以.
故选：C
本小题主要考查累加法求数列的通项公式，属于基础题.
3、D
【解析】
由已知利用正弦定理可求的值，根据余弦定理可得，解方程可得的值．
【详解】
，，，
由正弦定理，可得：，
由余弦定理，可得：，解得：，负值舍去．
故选．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题．
4、B
【解析】
试题分析：由已知得，，故，选B．
考点：集合的运算．
5、D
【解析】
利用向量的数量积运算及向量的模运算即可求出．
【详解】
∵||=3，||=2，|+|=4，
∴|+|2=||2+||2+2=16，
∴2=3，
∴|﹣|2=||2+||2﹣2=9+4﹣3=10，
∴|﹣|=，
故选D．
本题考查了向量的数量积运算和向量模的计算，属于基础题．
6、D
【解析】
根据线面平行的性质和面面垂直的判定可知②④正确.
【详解】
对于①，若，，或，故①错；
对于②，过作一个平面，它与平面交于，则，因为，故，

因为，故，故②成立；
对于③，由面面垂直的性质定理可知前提条件缺少，故③错；
对于④，如图所示，如果分别于平面斜交，且斜足分别为，
在直线上分别截取斜线段、，使得，
过分别作平面的垂线，垂足分别为，连接，
则分别为与平面所成的角、与平面所成的角，
因为，故，所以，故.
当分别垂直于时，；
当分别平行于时，；
故与所成的角和与所成的角相等，故④正确.
故选D.

本题考查空间中的点、线、面的位置关系，正确判断这些命题的真假的前提是熟悉公理、定理的前提条件，同时需要动态考虑它们的位置关系，观察是否有不同的情况出现.
7、C
【解析】
试题分析：,故选C.
考点：平面向量的线性运算．
8、D
【解析】
解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4
可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）由余弦定理可得，CosC=,选D
9、C
【解析】
由于故，故，所以.由于，由于，所以，故.综上所述选.
10、A
【解析】
分别计算出每个面积，相加得到答案.
【详解】

故答案选A
本题考查了图像的表面积，意在考查学生的计算能力.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据向量的坐标即可求出，根据向量夹角的公式即可求出．
【详解】
∵，，，
，∴，
又，∴．
故答案为：．
考查向量坐标的数量积运算，向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，属于基础题．
12、4
【解析】
利用余弦定理变形可得，从而求得结果.
【详解】
由余弦定理得：

本题正确结果：
本题考查余弦定理的应用，关键是能够熟练应用的变形，属于基础题.
13、
【解析】
根据极限存在得出，对分、和三种情况讨论得出与之间的关系，可得出的取值范围.
【详解】
由于，则.
①当时，则，；
②当时，则，；
③当时，，解得.
综上所述：首项的取值范围是，故答案为：.
本题考查极限的应用，要结合极限的定义得出公比的取值范围，同时要对公比的取值范围进行分类讨论，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
14、1．
【解析】
利用等差数列前项和公式能求出的值．
【详解】
解：∵等差数列的前项和为，若，
．
故答案为：．
本题考查等差数列前项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15、
【解析】
试题分析：=,又，，代入可得8，所以
考点：向量的数量积运算.
16、
【解析】
利用商数关系式化简即可．
【详解】
，故填．
利用同角的三角函数的基本关系式可以化简一些代数式，常见的方法有：
（1）弦切互化法：即把含有正弦和余弦的代数式化成关于正切的代数式，也可以把含有正切的代数式化为关于余弦和正弦的代数式；
（2）“1”的代换法：有时可以把看成．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）要求直线与平面所成角的正切值，先要找到直线在平面上的射影，即在直线上找一点作平面的垂线，结合已知与图形，转化为证明平面再求解；（2）三棱锥的体积计算在于选取合适的底和高，此题以为底，与的中点的连线为高计算更为快速，从而转化为证明平面再求解.
【详解】
（1）平面，平面
又，，平面，平面
所以平面，所以为直线与平面所成角。
易证是一个直角三角形，
所以.
（2）如图，设的中点为，则，
平面，平面 , 又，
，, 又，，，
所以平面， 所以为三棱锥的高.
因此可求

本题主要考察线面角与三棱锥体积的计算.线面角的关键在于找出直线在平面上的射影，一般转化为直线与平面的垂直；三棱锥体积的计算主要在于选择合适的底和高.
18、（1）否；（2）；（3）；
【解析】
（1）根据数列中与的关系式，即可求解数列的通项公式，再结合等差数列的定义，即可求解；
（2）由（1）知，求得当时，，当时，，利用等差数列的前项和公式，分类讨论，即可求解.
（3）由（1）得到当时，，当时，，结合裂项法，求得，即可求解.
【详解】
（1）由题意，数列的前项和（），
当时，，
当，
所以数列的通项公式为，
所以数列不是等差数列.
（2）由（1）知，令，解得，
所以当时，，当时，，
①当时，

②当时，

综上可得.
（3）由（1）可得，当时，，
当时，，

，
要使得不等式对一切正整数总成立，则，
即.
本题主要考查了数列中与的关系式，等差数列的定义，数列的绝对值的和，以及“裂项法”的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.
19、（1）函数的最小正周期为π;函数的减区间为[kπ，kπ]，k∈Z（2）m∈[﹣2，1]
【解析】
（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和单调性，得出结论；
（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得的范围，进而可得的范围.
【详解】
（1）函数f（x）＝2cosx（sinx﹣cosx）sin2x﹣（1+cos2x）＝2sin（2x）﹣1，
故函数的最小正周期为π.
令2kπ2x2kπ，求得kπx≤kπ，可得函数的减区间为[kπ，kπ]，k∈Z.
（2）将f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数g（x）＝2sin（2x）﹣1＝2sin（2x）﹣1的图象.
在区间[0，]上，2x∈[，]，sin（2x）∈[，1]，f（x）∈[﹣2，1].
若方程g（x）＝m在区间[0，]上有解，则m∈[﹣2，1].
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，函数的恒成立问题，正弦函数的定义域和值域，属于中档题.
20、（1）；（2） .
【解析】
（1）首先求出x，y的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，根据样本中心点满足线性回归方程，代入已知数据求出a的值，写出线性回归方程．（2）由古典概型列举基本事件求解即可
【详解】
(1)

，
因此，所求回归直线方程为：.
(2)
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70

30.5
43.5
50
56.5
69.5
基本事件：共10个，
两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5：共3个
所以两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5的概率为 .
本题考查回归分析的初步应用，考查求线性回归方程，考查古典概型，是基础题
21、（1）（2）单调增区间为,()；x取值集合,()
【解析】
（1）先由函数的最大值求出的值，再由图中对称轴与相邻对称中心之间的距离得出最小正周期，于此得出，再将点代入函数的解析式结合的范围得出的值，于此可得出函数的解析式；
（2）解不等式可得出函数的单调递增区间，由可求出函数取最小值时的取值集合．
【详解】
（1）由图象可知，.
因为，所以.所以. 解得.
又因为函数的图象经过点，所以，
解得.
又因为，所以，所以.
（2），，解得,，
的单调增区间为,()，
的最小值为-2，取得最小值时x取值集合,().
本题考查由三角函数图象求解析式，以及三角函数的基本性质问题，在利用图象求三角函数的解析式时，其基本步骤如下：
（1）求、：，；
（2）求：；
（3）求：将顶点或对称中心点代入函数解析式求，但是在代对称中心点时需要结合函数在所找对称中心点附近的单调性来考查．