2025年广东省云浮数学高一下期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2025年广东省云浮数学高一下期末质量跟踪监视试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，分别是角的对边,若,且，则的值为( )
A．2 B． C． D．4
3．要得到函数的图象，只要将函数的图象( )
A．向左平行移动个单位 B．向右平行移动个单位
C．向右平行移动个单位 D．向左平行移动个单位
4．在△ABC中，三个顶点分别为A（2，4），B（﹣1，2），C（1，0），点P（x，y）在△ABC的内部及其边界上运动，则y﹣x的最小值是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
5．如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中CN与BM所成角为（ ）

A．30° B．45° C．60° D．90°
6．在三棱锥中，平面，，，点M为内切圆的圆心，若，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知满足条件，则目标函数的最小值为
A．0 B．1 C． D．
8．若且，则的最小值是（ ）
A．6 B．12 C．24 D．16
9．已知，若将它的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴的方程为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，下列结论错误的是( )
A．既不是奇函数也不是偶函数 B．在上恰有一个零点
C．是周期函数 D．在上是增函数
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x∈[0,1]的概率为　　　　.
12．计算：__________.
13．函数的反函数为__________.
14．在等比数列中,若,则__________.
15．函数的图象过定点______.
16．一圆柱的侧面展开图是长、宽分别为3、4的矩形，则此圆柱的侧面积是________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在三棱锥中，，分别为棱，上的三等份点，，.

（1）求证：平面；
（2）若，平面，求证：平面平面.
18．在正△ABC中，AB＝2，（t∈R）.
（1）试用，表示：
（2）当•取得最小值时，求t的值.
19．已知等差数列的首项为，公差为，前n项和为，且满足，.
（1）证明；
（2）若，，当且仅当时，取得最小值，求首项的取值范围.
20．某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：
组号
分组
频数
频率
第1组
[50，60)
5
0.05
第2组
[60，70)

0.35
第3组
[70，80)
30

第4组
[80，90)
20
0.20
第5组
[90，100]
10
0.10
合计

100
1.00
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5组中按分层抽样的方法抽取6人参加市汉字听写比赛，并从中选出2人做种子选手，求2人中至少有1人是第4组的概率．
21．正项数列：，满足：是公差为的等差数列，是公比为2的等比数列.
（1）若，求数列的所有项的和；
（2）若，求的最大值；
（3）是否存在正整数，满足?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
利用不等式的性质、对数、指数函数的图像和性质，对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】
对于选项A, 不一定成立，如a=1＞b=-2,但是，所以该选项是错误的；
对于选项B, 所以该选项是错误的；
对于选项C,ab符号不确定，所以不一定成立，所以该选项是错误的；
对于选项D, 因为a>b,所以，所以该选项是正确的.
故选D
本题主要考查不等式的性质，考查对数、指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2、A
【解析】
由正弦定理，化简求得，解得，再由余弦定理，求得，即可求解，得到答案．
【详解】
在中，因为,且，
由正弦定理得，
因为，则，
所以，即，解得，
由余弦定理得，
即，解得，故选A．
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
3、B
【解析】
把化简即得解.
【详解】
由题得，
所以要得到函数的图象，只要将函数的图象向右平行移动个单位，
故选：B
本题主要考查三角函数的图像变换，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
4、B
【解析】
根据线性规划的知识求解．
【详解】
根据线性规划知识，的最小值一定在的三顶点中的某一个处取得，分别代入的坐标可得的最小值是．
故选B．
本题考查简单的线性规划问题，属于基础题．
5、C
【解析】
把展开图再还原成正方体如图所示:由于BE和CN平行且相等，故∠EBM (或其补角)为所求.再由△BEM是等边三角形，可得∠EBM=60°,从而得出结论.
【详解】
把展开图再还原成正方体如图所示:

由于BE和CN平行且相等，故异面直线CN与BM所成的角就是BE和BM所成的角，故∠EBM (或其补角)为所求,
再由BEM是等边三角形，可得∠EBM=60,
故选：C
本题主要考查了求异面直线所成的角，体现了转化的数学思想，属于中档题.
6、C
【解析】
求三棱锥的外接球的表面积即求球的半径，则球心到底面的距离为，根据正切和MA的长求PA，再和MA的长即可通过勾股定理求出球半径R，则表面积.
【详解】
取BC的中点E，连接AE（图略）.因为，所以点M在AE上，因为，，所以，则的面积为，解得，所以.因为，所以.设的外接圆的半径为r，则，解得.因为平面ABC，所以三棱锥的外接球的半径为，故三棱锥P-ABC的外接球的表面积为.
此题关键点通过题干信息画出图像，平面ABC和底面的内切圆圆心确定球心的位置，根据几何关系求解即可，属于三棱锥求外接球半径基础题目．
7、C
【解析】
作出不等式区域如图所示：

求目标函数的最小值等价于求直线的最小纵截距.
平移直线经过点A(-2,0)时最小为-2.
故选C.
8、D
【解析】
试题分析：，当且仅当时等号成立，所以最小值为16
考点：均值不等式求最值
9、B
【解析】
分析：由左加右减，得出解析式，因为解析式为正弦函数，
所以令，解出，对k进行赋值，得出对称轴.
详解：由左加右减可得，
解析式为正弦函数，则令，
解得：，令，则 ，故选B.
点睛：三角函数图像左右平移时，需注意要把x放到括号内加减，求三角函数的对称轴，则令等于正弦或余弦函数的对称轴公式，求出x解析式，即为对称轴方程.
10、B
【解析】
将函数利用同角三角函数的基本关系，化成，再对选项进行一一验证，即可得答案.
【详解】
∵，
对A，∵，∴既不是奇函数也不是偶函数，故A命题正确；
对B，令，解关于的一元二次方程得：，∵，∴方程存在两个根，∴在上有两个零点，故B错误；
对C，显然是函数的一个周期，故C正确；
对D，令，则，∵在单调递减，且，
又∵在单调递减，∴在上是增函数，故D正确；
故选：B
本题考查复合函数的单调性、奇偶性、周期性、零点，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意复合函数周增异减原则.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
直接利用长度型几何概型求解即可.
【详解】
因为区间总长度为，
符合条件的区间长度为，
所以，由几何概型概率公式可得，
在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x∈[0,1]的概率为，
故答案为：.
解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度.
12、0
【解析】
直接利用数列极限的运算法则，分子分母同时除以，然后求解极限可得答案.
【详解】
解：，
故答案为：0.
本题主要考查数列极限的运算法则，属于基础知识的考查.
13、
【解析】
由得，即，把与互换即可得出
【详解】
由得
所以
把与互换，可得
故答案为：
本题考查的是反函数的求法，较简单.
14、80
【解析】
由即可求出
【详解】
因为是等比数列，
所以， 所以
即
故答案为：80
本题考查的是等比数列的性质，较简单
15、
【解析】
令真数为，求出的值，代入函数解析式可得出定点坐标.
【详解】
令，得，当时，.
因此，函数的图象过定点.
故答案为：.
本题考查对数型函数图象过定点问题，一般利用真数为来求得，考查计算能力，属于基础题.
16、12
【解析】
直接根据圆柱的侧面展开图的面积和圆柱侧面积的关系计算得解.
【详解】
因为圆柱的侧面展开图的面积和圆柱侧面积相等，
所以此圆柱的侧面积为.
故答案为：12
本题主要考查圆柱的侧面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)见证明；(2)见证明
【解析】
（1）由，，得，进而得即可证明平面. （2）平面得，由，，得，进而证明平面，则平面平面
【详解】
证明：（1）因为，，所以，
所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为平面，平面，
所以.
因为，，所以，
又，所以平面.
又平面，所以平面平面.
本题考查线面平行的判定，面面垂直的判定，考查空间想象及推理能力，熟记判定定理是关键，是基础题
18、（1）（2）
【解析】
（1）根据即可得出，从而解得；
（2）由（1）得，根据得，从而进行数量积的运算得出，配方即可得出当时，取最小值.
【详解】
（1）∵；
∴；
∴；
（2）∵△ABC是正三角形，且AB＝2；
∴；
∵；
∴；
∴
∴时，取最小值.
本题考查向量减法、加法的几何意义，向量的数乘运算，以及向量的数量积运算及计算公式，配方法解决二次函数问题的方法，属于基础题.
19、（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）根据等差数列的前n项和公式,变形可证明为等差数列.结合条件,,可得,进而表示出.由为等差数列,表示出,化简变形后结合不等式性质即可证明.
（2）将三角函数式分组,提公因式后结合同角三角函数关系式化简.再由平方差公式及正弦的和角与差角公式合并.根据条件等式,结合等差数列性质,即可求得.由,即可确定.当且仅当时，取得最小值,可得不等式组,即可得首项的取值范围.
【详解】
（1）证明:等差数列的前n项和为,
则
所以,,
故为等差数列,
因为,,所以
,解得,
因为,
得
故,从而.
（2）而

.
由条件
又由等差数列性质知：
所以,
因为,所以,那么.
等差数列,当且仅当时,取得最小值.
,
所以.
本题考查了等差数列前n项和公式的应用,等差数列通项公式定义及变形式应用.三角函数式变形,正弦和角与差角公式的应用,不等式组的解法,综合性强,属于难题.
20、 (1) 35，0.30;(2).
【解析】
试题分析：（Ⅰ）直接利用频率和等于1求出b，用样本容量乘以频率求a的值；
（Ⅱ）由分层抽样方法求出所抽取的6人中第三、第四、第五组的学生数，利用列举法写出从中任意抽取2人的所有方法种数，查出2人至少1人来自第四组的事件个数，然后利用古典概型的概率计算公式求解．
试题解析：
（Ⅰ）a＝100－5－30－20－10＝35，b＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30
（Ⅱ ）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，
每组分别为，第3组：×30＝3人，第4组：×20＝2人，第5组：×10＝1人，
所以第3、4、5组应分别抽取3人、2人、1人
设第3组的3位同学为A1、A2、A3，第4组的2位同学为B1、B2，第5组的1位同学为C1，则从6位同学中抽2位同学有15种可能，如下：
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．其中第4组被入选的有9种，
所以其中第4组的2位同学至少有1位同学入选的概率为＝
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
21、（1）84；（2）1033；（3）存在，
【解析】
（1）由题意可得：， 即为：2，4，6，8，10，12，14，16，8，4； 可得的值；
（2）由题意可得，故有；即，即必是2的整数幂，要最大，必需最大，，可得出的最大值；
（3）由是公差为的等差数列，是公比为2的等比数列，可得与，可得k与m的方程，一一验算k的值可得答案.
【详解】
解：（1）由已知，
故为：2，4，6，8，10，12，14，16；公比为2，则对应的数为2，4，8，16，
从而即为：2，4，6，8，10，12，14，16，8，4；
此时
（2）是首项为2，公差为2 的等差数列，
故，从而，
而首项为2，公比为2的等比数列且，
故有；即，即必是2的整数幂
又，要最大，必需最大，，故的最大值为，
所以，即的最大值为1033
（3）由数列是公差为的等差数列知，，而
是公比为2的等比数列，则，故，即，
又，，则
，即，则，即
显然，则，所以，将，代入验证知，
当时，上式右端为8，等式成立，此时，
综上可得：当且仅当时，存在满足等式
本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及等差数列、等比数列前n项的和，属于难题，注意灵活运用各公式解题与运算准确.