山东省枣庄市第三中学2024-2025学年数学高一下期末考试试题含解析.doc

山东省枣庄市第三中学2024-2025学年数学高一下期末考试试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设是等比数列，有下列四个命题：
①是等比数列； ②是等比数列；
③是等比数列； ④是等差数列．
其中正确命题的个数是( )
A． B． C． D．
2．已知各项为正数的等比数列中，，，则公比q＝
A．4 B．3 C．2 D．
3．若函数（）的最大值与最小正周期相同，则下列说法正确的是（ ）
A．在上是增函数 B．图象关于直线对称
C．图象关于点对称 D．当时，函数的值域为
4．与直线垂直于点的直线的一般方程是 （ ）
A． B． C． D．
5．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．在复平面内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．在三棱锥中，已知所有棱长均为，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线的方程为，，则直线的倾斜角范围（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数，其图像相邻的两个对称中心之间的距离为，且有一条对称轴为直线，则下列判断正确的是 （ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在区间上单调递增
D．函数的图像关于点对称
10．已知x，y∈R，且x>y>0，则（ ）
A． B．
C． D．lnx+lny>0
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图为函数（，，，）的部分图像，则函数解析式为________

12．已知变量，满足，则的最小值为________.
13．若满足约束条件 则的最大值为__________．
14．在中，为上的一点，且，是的中点，过点的直线，是直线上的动点， ，则_________.

15．如图，矩形中，，，是的中点，将沿折起，使折起后平面平面，则异面直线和所成的角的余弦值为__________．

16．如图所示为函数的部分图像，其中、分别是函数图像的最高点和最低点，且，那么________．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某网站推出了关于扫黑除恶情况的调查，调查数据表明，扫黑除恶仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占.现从参与关注扫黑除恶的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组:第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示.

(1)求出的值；
(2)求这人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位).
18．已知无穷数列，是公差分别为、的等差数列，记（），其中表示不超过的最大整数，即.
（1）直接写出数列，的前4项，使得数列的前4项为：2，3，4，5；
（2）若，求数列的前项的和；
（3）求证：数列为等差数列的必要非充分条件是.
19．某厂生产产品的年固定成本为250万元，每生产千件需另投人成本万元.当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，万元，每千件产品的售价为50万元，该厂生产的产品能全部售完.
（1）写出年利润万元关于千件的函数关系式；
（2）当年产量为多少千件时该厂当年的利润最大？
20．某地合作农场的果园进入盛果期，果农利用互联网电商渠道销售苹果，苹果单果直径不同则单价不同，为了更好的销售，现从该合作农场果园的苹果树上随机摘下了50个苹果测量其直径，经统计，其单果直径分布在区间内（单位：)，统计的茎叶图如图所示：

（Ⅰ)按分层抽样的方法从单果直径落在，的苹果中随机抽取6个，则从，的苹果中各抽取几个？
（Ⅱ)从（Ⅰ)中选出的6个苹果中随机抽取2个，求这两个苹果单果直径均在内的概率；
（Ⅲ)以此茎叶图中单果直径出现的频率代表概率，若该合作农场的果园有20万个苹果约5万千克待出售，某电商提出两种收购方案：方案：所有苹果均以5.5元/千克收购；方案：按苹果单果直径大小分3类装箱收购，每箱装25个苹果，定价收购方式为：单果直径在内按35元/箱收购，在内按45元/箱收购，在内按55元/箱收购.包装箱与分拣装箱费用为5元/箱（该费用由合作农场承担).请你通过计算为该合作农场推荐收益最好的方案.
21．若不等式恒成立，求实数a的取值范围。
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
设，得到，，，再利用举反例的方式排除③
【详解】
设，则：
，故是首项为，公比为的等比数列，①正确
，故是首项为，公比为的等比数列，②正确
取，则，不是等比数列，③错误.
，故是首项为，公差为的等差数列，④正确
故选：C
本题考查了等差数列，等比数列的判断，找出反例可以快速的排除选项，简化运算，是解题的关键.
2、C
【解析】
由，利用等比数列的性质，结合各项为正数求出，从而可得结果.
【详解】
，，
，
，故选C.
本题主要考查等比数列的性质，以及等比数列基本量运算，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，属于简单题.
3、A
【解析】
先由函数的周期可得，再结合三角函数的性质及三角函数值域的求法逐一判断即可得解.
【详解】
解：由函数（）的最大值与最小正周期相同，
所以，即，
即，
对于选项A，令，解得：，
即函数的增区间为，当时，函数在为增函数，即A正确，
对于选项B，令，解得，即函数的对称轴方程为：，又无解，则B错误，
对于选项C，令，解得，即函数的对称中心为：，又无解，则C错误，
对于选项D，，则，即函数的值域为，即D错误，
综上可得说法正确的是选项A，
故选：A.
本题考查了三角函数的性质，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题.
4、A
【解析】
由已知可得这就是所求直线方程，故选A.
5、A
【解析】
设外接圆半径为，三棱锥外接球半径为，∵，∴，∴，∴
，∴，由题意知，平面，则将三棱锥补成三棱柱可得，，∴，故选A．
点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．
6、A
【解析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
【详解】
由z（1﹣i）=2，得z=，
∴．
则z的共轭复数对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．
故选D．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
7、A
【解析】
取的中点，连接、，于是得到异面直线与所成的角为，然后计算出的三条边长，并利用余弦定理计算出，即可得出答案．
【详解】
如下图所示，取的中点，连接、，

由于、分别为、的中点，则，且，
所以，异面直线与所成的角为或其补角，
三棱锥是边长为的正四面体，则、均是边长为的等边三角形，
为的中点，则，且，同理可得，
在中，由余弦定理得，
因此，异面直线与所成角的余弦值为，故选A．
本题考查异面直线所成角的计算，利用平移法求异面直线所成角的基本步骤如下：
（1）一作：平移直线，找出异面直线所成的角；
（2）二证：对异面直线所成的角进行说明；
（3）三计算：选择合适的三角形，并计算出三角形的边长，利用余弦定理计算所求的角．
8、B
【解析】
利用直线斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】
由直线的方程为，
所以，
即直线的斜率，由.
所以 ，又直线的倾斜角的取值范围为，
由正切函数的性质可得：直线的倾斜角为.
故选：B
本题考查了直线的斜率与倾斜角之间的关系，同时考查了正弦函数的值域以及正切函数的性质，属于基础题.
9、C
【解析】
本题首先可根据相邻的两个对称中心之间的距离为来确定的值，然后根据直线是对称轴以及即可确定的值，解出函数的解析式之后，通过三角函数的性质求出最小正周期、对称轴、单调递增区间以及对称中心，即可得出结果．
【详解】
图像相邻的两个对称中心之间的距离为，即函数的周期为，由得，所以，又是一条对称轴，所以，，得，又，得，所以.
最小正周期，项错误；
令，，得对称轴方程为，，选项错误；
由，，得单调递增区间为，，项中的区间对应，故正确；
由，，得对称中心的坐标为，，选项错误，
综上所述，故选C．
本题考查根据三角函数图像性质来求三角函数解析式以及根据三角函数解析式得出三角函数的相关性质，考查对函数的相关性质的理解，考查推理能力，是中档题．
10、A
【解析】
结合选项逐个分析，可选出答案.
【详解】
结合x，y∈R，且x>y>0，对选项逐个分析：
对于选项A，，，故A正确；
对于选项B，取，，则，故B不正确；
对于选项C，，故C错误；
对于选项D，，当时，，故D不正确.
故选A.
本题考查了不等式的性质，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由函数的部分图像，先求得，得到，再由，得到，结合，求得，即可得到函数的解析式.
【详解】
由题意，根据函数的部分图像，
可得，所以，又由，即，
又由，即，
解得，即，
又因为，所以，所以.
故答案为：.
本题主要考查了利用三角函数的图象求解函数的解析式，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.
12、0
【解析】
画出可行域，分析目标函数得，当在y轴上截距最小时，即可求出的最小值.
【详解】
作出可行域如图：

联立 得
化目标函数为，
由图可知，当直线过点时，在y轴上的截距最小,
有最小值为，故填.
本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题.
13、
【解析】
作出可行域，根据目标函数的几何意义可知当时，.
【详解】
不等式组表示的可行域是以为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数的最大值必在顶点处取得，易知当时，.

线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择及填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.
14、
【解析】
用表示出,由对应相等即可得出．
【详解】

因为，所以解得得．
本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的三角形法则，平面上任意不共线的一组向量可以作为一组基底．
15、
【解析】
取中点为，中点为，连接，则异面直线和所成角为 .在中，利用边长关系得到余弦值.
【详解】
由题意，
取中点，连接，则，可得直线和所成角的平面角为，（如图）

过作垂直于，平面⊥平面，
，
平面，，
且，结合平面图形可得：,
,,
又=, ∴=,

∴在中，=,
∴△DFC是直角三角形且，
可得．
本题考查了异面直线的夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
16、
【解析】
由图可知：，因为，由周期公式得到，结合以及诱导公式即可求解.
【详解】
由图可知：，因为
所以 ，即
由题意可知：，即

故答案为：

本题主要考查了正弦型函数的图像的性质以及求值，关键是从图像得出周期，最值等，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)0.035 (2)平均数为：41.5岁 中位数为：42.1岁
【解析】
（1）根据频率之和为1，结合题中条件，直接列出式子计算，即可得出结果；
（2）根据每组的中间值乘该组的频率再求和，即可得出平均数；根据中位数两边的频率之和相等，即可求出中位数.
【详解】
(1)由题意可得：，
解得；
(2)由题中数据可得：岁，
设中位数为，则，
∴岁.
本题主要考查完善频率分布直方图，以及由频率分布直方图求平均数，中位数等，熟记频率的性质，以及平均数与中位数的计算方法即可，属于常考题型.
18、（1）的前4项为1，2，3，4，的前4项为1，1，1，1；（2）；（3）证明见解析
【解析】
（1）根据定义，选择，的前4项，尽量选用整数计算方便；（2）分别考虑，的前项的规律，然后根据计算的运算规律计算；（3）根据必要不充分条件的推出情况去证明即可.
【详解】
（1）由的前4项为：2，3，4，5，选、的前项为正整数：的前4项为1，2，3，4，的前4项为1，1，1，1；
（2）将的前项列举出：；将的前项列举出：；
则；
（3）充分性：取，此时，将的前项列举出：，将前项列出：，此时的前项为：，显然不是等差数列，充分性不满足；必要性：设，，当为等差数列时，因为，所以 ，又因为，所以有：
，且，所以；，，
不妨令，则有如下不等式：；
当时，令，则当时，
，此时无解；
当时，令，则当时，
，此时无解；
所以必有：，故：必要性满足；
综上：数列为等差数列的必要非充分条件是
本题考查数列的定义以及证明，难度困难.对于充分必要条件的证明，需要对充分性和必要性同时分析，不能取其一分析；新定义的数列问题，可通过定义先理解定义的含义，然后再分析问题.
19、（1）（2）100
【解析】
（1）由于每生产千件需另投人成本受产量的影响有变化，根据题意，所以分当时和当时，两种情况进行讨论，然后根据利润的定义写出解析式.
（2）根据（1）的利润函数为，当时，用二次函数法求最大值；当时，用基本不等式求最大值.最后两段中取最大的为利润函数的最大值，相应的x的取值即为此时最大利润时的产量.
【详解】
（1）根据题意
当时， ，
当时， ，
综上： .
（2）由（1）知，
当时， ，
当 时，的最大值为950万.
当时， ，
当且仅当即时取等号，的最大值为1000万.
综上：当产量为100千件时，该厂当年的利润最大.
本题主要考查了分段函数的实际应用，还考查了建模，运算求解的能力，属于骠题.
20、（Ⅰ)4个；（Ⅱ)；（Ⅲ）方案是
【解析】
（Ⅰ）单果直径落在，，，的苹果个数分别为6，12，分层抽样的方法从单果直径落在，，，的苹果中随机抽取6个，单果直径落在，，，的苹果分别抽取2个和4个；（Ⅱ）从这6个苹果中随机抽取2个，基本事件总数，这两个苹果单果直径均在，内包含的基本事件个数，由此能求出这两个苹果单果直径均在，内的概率；（Ⅲ）分别求出按方案与方案该合作农场收益，比较大小得结论．
【详解】
（Ⅰ)由茎叶图可知，单果直径落在，的苹果分别为6个，12个，
依题意知抽样比为，所以单果直径落在的苹果抽取个数为个，
单果直径落在的苹果抽取个数为个
（Ⅱ）记单果直径落在的苹果为，，记单果直径落在的苹果为，若从这6个苹果中随机抽取2个，则所有可能结果为：，，，，，，，，，，，，，，，即基本事件的总数为15个.
这两个苹果单果直径均落在内包含的基本事件个数为6个，
所以这两个苹果单果直径均落在内的概率为.
（Ⅲ）按方案：该合作农场收益为：（万元）；
按方案：依题意可知合作农场的果园共有万箱，即8000箱苹果，
则该合作农场收益为：元，
即为31.36万元 因为，
所以为该合作农场推荐收益最好的方案是.
本题考查概率、最佳方案的确定，考查茎叶图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21、
【解析】
恒成立的条件下由于给定了的范围，故可考虑对进行分类，同时利用参变分离法求解的范围.
【详解】
由题意得
(1),时，
恒成立
(2),等价于
又
∴
∴实数a的取值范围是
含有分式的不等式恒成立问题，要注意到分母的正负对于不等号的影响；若是变量的范围给出了，可针对于变量的范围做具体分析，然后去求解参数范围.