2024-2025学年河南省百校联盟数学高一第二学期期末教学质量检测试题含解析.doc

2024-2025学年河南省百校联盟数学高一第二学期期末教学质量检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（ ）
A．8岁 B．11岁 C．20岁 D．35岁
2．要得到函数的图象，只要将函数的图象( )
A．向左平行移动个单位 B．向右平行移动个单位
C．向右平行移动个单位 D．向左平行移动个单位
3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若2Sn＝an+1﹣1（n∈N*），则首项a1为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．若直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示的程序框图，若执行的运算是，则在空白的执行框中，应该填入

A． B．
C． D．
6．同时掷两枚骰子，则向上的点数相等的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知等差数列的前n项和为，则
A．140 B．70 C．154 D．77
8．展开式中的常数项为（ ）
A．1 B．21 C．31 D．51
9．已知数列中，，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的值域为__________．
12．某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取_____人．
13．已知,且关于的方程有实数根，则与的夹角的取值范围是 ______.
14．各项均为实数的等比数列的前项和为,已知成等差数列,则数列的公比为________.
15．若，，则__________．
16．5人排成一行合影，甲和乙不相邻的排法有______种．（用数字回答）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设递增数列共有项，定义集合，将集合中的数按从小到大排列得到数列；
（1）若数列共有4项，分别为，，，，写出数列的各项的值；
（2）设是公比为2的等比数列，且，若数列的所有项的和为4088，求和的值；
（3）若，求证：为等差数列的充要条件是数列恰有7项；
18．在等差数列中，，
（1）求的通项公式；
（2）求的前n项和
19．已知为等差数列，前项和为，是首项为的等比数列，且公比大于，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前项和.
20．已知：（，为常数）．
（1）若，求的最小正周期；
（2）若在，上最大值与最小值之和为3，求的值．
21．已知函数.
（1）当时，判断并证明函数的奇偶性；
（2）当时，判断并证明函数在上的单调性.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
九个儿子的年龄成等差数列，公差为1．
【详解】
由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为1．记最小的儿子年龄为，则，解得．
故选B．
本题考查等差数列的应用，解题关键正确理解题意，能用数列表示题意并求解．
2、B
【解析】
把化简即得解.
【详解】
由题得，
所以要得到函数的图象，只要将函数的图象向右平行移动个单位，
故选：B
本题主要考查三角函数的图像变换，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
3、A
【解析】
等比数列的公比设为，分别令，结合等比数列的定义和通项公式，解方程可得所求首项.
【详解】
等比数列的公比设为，由，
令，可得，，
两式相减可得，即，又
所以.
故选：A.
本题考查数列的递推式的运用，等比数列的定义和通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
4、B
【解析】
根据题意可得：，所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将代入计算即可求出值．
【详解】
由于直线的倾斜角为，所以，
则
故答案选B
本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
5、D
【解析】
试题分析：解：运行第一次：，不成立；
运行第二次：，不成立；
运行第三次：，不成立；
运行第四次：，不成立；
运行第四次：，成立；
输出
所以应选D.
考点：循环结构.
6、D
【解析】
利用古典概型的概率公式即可求解.
【详解】
同时掷两枚骰子共有种情况，其中向上点数相同的有种情况，
其概率为.
故选：D
本题考查了古典概型的概率计算公式，解题的关键是找出基本事件个数，属于基础题.
7、D
【解析】
利用等差数列的前n项和公式，及等差数列的性质，即可求出结果.
【详解】
等差数列的前n项和为，
.
故选D.
本题考查等差数列的前n项和的求法和等差数列的性质，属于基础题.
8、D
【解析】
常数项有三种情况，都是次，或者都是次，或者都是二次，故常数项为
9、A
【解析】
由递推关系，结合，，可求得，，的值，可得数列是一个周期为6的周期数列，进而可求的值。
【详解】
因为，由，，得；
由，，得；
由，，得；
由，，得；
由，，得；
由，，得
由此推理可得数列是一个周期为6的周期数列，所以，故选A。
本题考查由递推关系求数列中的项，考查数列周期的判断，属基础题。
10、A
【解析】
在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为.
【详解】
根据对称性，点 关于 轴对称的点的坐标为.
故选A.
本题考查空间直角坐标系和点的对称，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
本题首先可通过三角恒等变换将函数化简为，然后根据的取值范围即可得出函数的值域．
【详解】

因为，所以.
本题考查通过三角恒等变换以及三角函数性质求值域，考查二倍角公式以及两角和的正弦公式，考查化归与转化思想，是中档题．
12、1．
【解析】
先求得高三学生占的比例，再利用分层抽样的定义和方法，即可求解.
【详解】
由题意，高三学生占的比例为，
所以应从高三年级学生中抽取的人数为.
本题主要考查了分层抽样的定义和方法，其中解答中熟记分层抽样的定义和抽取的方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
13、
【解析】
先由得出，再根据即可求出与的夹角的取值范围.
【详解】
因为关于的方程有实数根，所以，即，设与的夹角为，所以，因为，所以，即与的夹角的取值范围是
本题主要考查平面向量的夹角公式的应用等，属基础题.
14、
【解析】
根据成等差数列得到，计算得到答案.
【详解】
成等差数列，
则
故答案为：
本题考查了等差数列，等比数列的综合应用，意在考查学生对于数列公式的灵活运用.
15、
【解析】
由等比数列前n项公式求出已知等式左边的和，再求解．
【详解】
易知不合题意，∴，
若，则，不合题意，
∴，
，
∴，，又，∴．
故答案为：．
本题考查等比数列的前n项和公式，解题时需分类讨论，首先对的情形进行说明，然后按是否为1分类．
16、72
【解析】
先对其中3个人进行全排列有种，再对甲和乙进行插空有种，利用乘法原理得到排法总数为.
【详解】
先对其中3个人进行全排列有种，再对甲和乙进行插空有种，
利用乘法原理得到排法总数为种，故答案为72
本题考查排列、组合计数原理的应用，考查基本运算能力.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），，，，；（2），；（3）证明见解析；
【解析】
(1)根据题意从小到大计算中的值即可.
(2)易得数列的所有项的和等于中的每个项重复加了次,再根据等比数列求和即可.
(3)分别证明当时,若为等差数列则数列恰有7项以及当数列恰有7项证明为等差数列即可.
【详解】
(1)易得当,,,时, ,
,,,
.
(2)若是公比为2的等比数列,且,则数列的所有项的和等于中每一项重复加了次,故.即,又,故,易得随着的增大而增大.
当时,
当时,
当时,
故,此时.
(3)证明：
先证明充分性：若,且为等差数列,不妨设,则数列也为等差数列为的等差数列.且最小值为,最大值为.
故数列恰有7项.
再证明必要性：
若数列恰有7项.
则因为.
故的7项分别为.
又,可得,即.
同理有,故为等差数列.
综上可知, 若,则为等差数列的充要条件是数列恰有7项
本题主要考查了数列综合运用,需要根据题意分析与的关系,将中的通项用中的项表达,再计算即可.同时也考查了推理证明的能力.属于难题.
18、（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）根据已知数列为等差数列，结合数列的性质可知：前3项和，所以，又因为，所以公差，再根据等差数列通项公式，可以求得．本问考查等差数列的通项公式及等差数列的性质，属于对基础知识的考查，为容易题，要求学生必须掌握．（2）由于为等差数列，所以可以根据重要结论得知：数列为等比数列，可以根据等比数列的定义进行证明，即，符合等比数列定义，因此数列是等比数列，首项为，公比为2，所以问题转化为求以4为首项，2为公比的等比数列的前n项和，根据公式有．本问考查等比数列定义及前n项和公式．属于对基础知识的考查．
试题解析：（1）又

（2）由（1）知得：
是以4为首项2为公比的等比数列

考点：1.等差数列；2.等比数列．
19、（1），，；（2），.
【解析】
（1）由等差数列和等比数列的基本量法求数列的通项公式；
（2）用错位相减法求和．
【详解】
（1）数列公比为，则，∵，∴，
∴，
的公差为，首项是，
则，，
∴，解得．
∴．
（2），数列的前项和记为，
，①
，②
①－②得：
，
∴．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查等差数列的前n项和及错位相减法求和．在求等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式时，基本量法是最基本也是最重要的方法，务必掌握，数列求和时除公式法外，有些特殊方法也需掌握：错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法等等．
20、（1）；（2）1
【解析】
（1）利用二倍角和辅助角公式化简，即可求出最小正周期；
（2）根据在，上，求解内层函数范围，即可求解最值，由最大值与最小值之和为3，求的值．
【详解】
解：

，
（1）的最小正周期；
（2），，
当时，即，取得最小值为，
当时，即，取得最大值为，
最大值与最小值之和为3，，，
故的值为1．
本题主要考查三角函数的性质和图象的应用，属于基础题．
21、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
（1）将代入函数的解析式，利用函数的奇偶性定义来证明出函数的奇偶性；
（2）将函数的解析式化为，然后利用函数单调性的定义证明出函数在上的单调性.
【详解】
（1）当时，，函数为上的奇函数.
证明如下：，其定义域为，
则，故函数为奇函数；
（2）当时，函数在上单调递减.
证明如下：，任取，
则，
又由，则，则有，即.
因此，函数为上的减函数．
本题考查函数单调性与奇偶性的判定与证明，在利用定义证明函数的单调性与奇偶性时，要熟悉定义法证明函数奇偶性与单调性的基本步骤，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.