2024-2025学年河南省南阳市六校高一下数学期末调研试题含解析.doc

2024-2025学年河南省南阳市六校高一下数学期末调研试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：
①与平行 ②与是异面直线
③与成角    ④与是异面直线
以上四个命题中，正确命题的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
2．中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第五天走的路程为（ ）
A．48里 B．24里 C．12里 D．6里
3．如图，正四棱柱中（底面是正方形，侧棱垂直于底面），，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
4．在，，，是边上的两个动点，且，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
5．公比为2的等比数列{} 的各项都是正数，且 =16，则= ( )
A．1 B．2 C．4 D．8
6．为了调查某工厂生产的一种产品的尺寸是否合格，现从500件产品中抽出10件进行检验，先将500件产品编号为000，001，002，…，499，在随机数表中任选一个数开始，例如选出第6行第8列的数4开始向右读取（为了便于说明，下面摘取了随机数表附表1的第6行至第8行)，即第一个号码为439，则选出的第4个号码是（ )

A．548 B．443 C．379 D．217
7．已知数列是等差数列，，则 (     )
A．36 B．30 C．24                          D．1
8．如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )

A． B． C． D．
9．已知数列的前项和为，且，若，，则的值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
10．延长正方形的边至，使得．若动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，下列判断正确的是（ ）

A．满足的点必为的中点
B．满足的点有且只有一个
C．的最小值不存在
D．的最大值为
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．将角度化为弧度：________.
12．已知a，b为常数，若，则______；
13．已知等比数列中，，，若数列满足，则数列的前项和＝________．
14．在△ABC中，点M，N满足，若，则x＝________，y＝________.
15．已知为数列{an}的前n项和，且，，则{an}的首项的所有可能值为______
16．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为__________.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，角，，所对的边分别为，，，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若的面积为，其外接圆的半径为，求的周长.
18．设函数，其中.
（1）在实数集上用分段函数形式写出函数的解析式；
（2）求函数的最小值.
19．已知
（Ⅰ）化简；
（Ⅱ）若是第三象限角，且，求的值.
20．已知圆过点，，圆心在直线上，是直线上任意一点．
（1）求圆的方程；
（2）过点向圆引两条切线，切点分别为，，求四边形的面积的最小值．
21．向量函数．
（1）求的最小正周期及单调增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值及取最值时的值．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案．
【详解】
把平面展开图还原原几何体如图：

由正方体的性质可知，与异面且垂直，故①错误；
与平行，故②错误；
连接，则，为与所成角，连接，可知为正三角形，则，故③正确；
由异面直线的定义可知，与是异面直线，故④正确．
∴正确命题的个数是2个．
故选：B．
本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．
2、C
【解析】
根据等比数列前项和公式列方程，求得首项的值，进而求得的值.
【详解】
设第一天走，公比，所以，解得，所以.故选C.
本小题主要考查等比数列前项和的基本量计算，考查等比数列的通项公式，考查中国古典数学文化，属于基础题.
3、A
【解析】
试题分析：连结，异面直线所成角为，

设,在中

考点：异面直线所成角
4、A
【解析】
由题意，可以点为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点的坐标分别为，直线的方程为，不妨设点的坐标分别为，，不妨设，由，所以，整理得，则，即，所以当时，有最小值，当时，有最大值.故选A.

点睛：此题主要考查了向量数量积的坐标运算，以及直线方程和两点间距离的计算等方面的知识与技能，还有坐标法的运用等，属于中高档题，也是常考考点.根据题意，把运动（即的位置在变）中不变的因素（）找出来，通过坐标法建立合理的直角坐标系，把点的坐标表示出来，再通过向量的坐标运算，列出式子，讨论其最值，从而问题可得解.
5、A
【解析】
试题分析：在等比数列中，由知，，故选A．
考点：等比数列的性质．
6、D
【解析】
利用随机数表写出每一个数字即得解.
【详解】
第一个号码为439，第二个号码为495，第三个号码为443，第四个号码为217.
故选：D
本题主要考查随机数表，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
7、B
【解析】
通过等差中项的性质即可得到答案.
【详解】
由于，故，故选B.
本题主要考查等差数列的性质，难度较小.
8、C
【解析】
根据三视图还原直观图，根据长度关系计算表面积得到答案.
【详解】
根据三视图还原直观图，如图所示：

几何体的表面积为：
故答案选C
本题考查了三视图，将三视图转化为直观图是解题的关键.
9、B
【解析】
推导出数列是等差数列，由解得，由此利用能求出的值.
【详解】
数列的前项和为，且
数列是等差数列

解得

解得
故选：
本题考查等差数列的判定和基本量的求解，属于基础题.
10、D
【解析】
试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则的坐标为，则设，由得
，所以，当在线段上时，，此时，此时，所以；当在线段上时，，此时，此时，所以；当在线段上时，，此时，此时，所以；当在线段上时，，此时，此时，所以；由以上讨论可知，当时，可为的中点，也可以是点，所以A错；使的点有两个，分别为点与中点，所以B错，当运动到点时，有最小值，故C错，当运动到点时，有最大值，所以D正确，故选D．

考点：向量的坐标运算．
【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据角度和弧度的互化公式求解即可.
【详解】
.
故答案为：.
本题考查角度和弧度的互化公式，属于基础题.
12、2
【解析】
根据极限存在首先判断出的值，然后根据极限的值计算出的值，由此可计算出的值.
【详解】
因为，所以，
又因为，所以，
所以.
故答案为：.
本题考查根据极限的值求解参数，难度较易.
13、
【解析】
试题分析：根据题意，由于等比数列中，，，则可知公比为，那么可知等比数列中，，，故可知，那么可知数列的前项和＝1=，故可知答案为．
考点：等比数列
点评：主要是考查了等比数列的通项公式以及数列的求和的运用，属于基础题．
14、
【解析】
特殊化，不妨设，利用坐标法，以A为原点，AB为轴，为轴，建立直角坐标系，，，则，.

考点：本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题.
15、
【解析】
根据题意，化简得，利用式相加，得到，进而得到，即可求解结果.
【详解】
因为，所以，
所以，
将以上各式相加，得，
又，所以，解得或.
本题主要考查了数列的递推关系式应用，其中解答中利用数列的递推关系式，得到关于数列首项的方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
16、1
【解析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【详解】
模拟程序的运行，可得
S=1，i=1
满足条件S<40，执行循环体，S=3，i=2
满足条件S<40，执行循环体，S=7，i=3
满足条件S<40，执行循环体，S=15，i=4
满足条件S<40，执行循环体，S=31，i=5
满足条件S<40，执行循环体，S=13，i=1
此时，不满足条件S<40，退出循环，输出i的值为1．
故答案为：1．
本题主要考查的是程序框图，属于基础题．在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由由正弦定理得，进而得到，求得，即可求解；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和正弦定理，求得，再由余弦定理得，利用三角形的面积公式，求得，进而求得的值，得出三角形的周长.
【详解】
（Ⅰ）由题意，因为，
由正弦定理，得，
即，
由，得，
又由，则，
所以，解得，
又因为，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，且外接圆的半径为，
由正弦定理可得，解得，
由余弦定理得，可得，
因为的面积为，解得，
所以，解得：，
所以的周长.
本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）令，解得的范围，再结合的意义分段函数形式写出函数的解析式即可.
（2）利用的奇偶性，只需要考虑的情形，只需分两种情形讨论：，当时，分别求出的最小值即可.
【详解】
（1），
令，得，
解得或，

（2）因为是偶函数，所以只需考虑的情形，
当时，，当时，
当时，，当时，，
时，.
本题主要考查函数单调性的应用、函数解析式的求法、不等式的解法等基本知识，考查了运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想，属于基础题.
19、（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）利用诱导公式进行化简即可，注意符号正负；
（Ⅱ）根据化简的的结果以及给出的条件，利用同角的三角函数的基本关系求解.
【详解】
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）∵，∴代入 得
∵是第三象限角，∴
（1）诱导公式的使用方法：奇变偶不变，符号看象限，这里的奇变和偶不变主要是看的倍数是奇数还是偶数，符号看象限是指将角看成锐角时，原来三角函数的正负就是化简后式子的正负；
（2）同角三角函数的基本关系：.
20、（1）（2）
【解析】
（1）首先列出圆的标准方程，根据条件代入，得到关于的方程求解；（2）根据切线的对称性，可知，，这样求面积的最小值即是求的最小值，当点是圆心到直线的距离的垂足时，最小.
【详解】
解：（1）设圆的方程为．
由题意得解得
故圆的方程为．
另解：先求线段的中垂线与直线的交点，即解得从而得到圆心坐标为，再求，故圆的方程为．
（2）设四边形的面积为，则．
因为是圆的切线，所以，
所以，即．
因为，所以．
因为是直线上的任意一点，所以，
则，即．
故四边形的面积的最小值为．
本题考查了圆的标准方程，和与圆，切线有关的最值的计算，与圆有关的最值计算，需注意数形结合.
21、（1），（2），最大值为；，最小值为0
【解析】
（1）用已知的向量表示出，再进行化简整理，可得；（2）由正弦函数的值域可得。
【详解】
（1）由题得，，化简整理得，因此的最小正周期为，由得，则单调增区间为.（2）若，则，当，即时，取最大值，当，即时，取最小值0.综上，当时，取最大值，当时，取最小值0.
本题考查向量的运算和函数的周期，单调区间以及最值，知识点考查全面，难度不大。