山东省普通高中2025届高一数学第二学期期末学业质量监测试题含解析.doc

山东省普通高中2025届高一数学第二学期期末学业质量监测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知是锐角，那么2是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．小于的正角 D．第一象限或第二象限
2．若平面∥平面，直线∥平面,则直线与平面的关系为( )
A．∥ B． C．∥或 D．
3．已知实数列-1,x,y,z,-2成等比数列,则xyz等于
A．-4 B． C． D．
4．已知则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点为，将绕坐标原点逆时针旋转至，过点作轴的垂线，垂足为．记线段的长为，则函数的图象大致是( )

A． B．
C． D．
6．在直三棱柱（侧棱垂直于底面）中，若，，，则其外接球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
7．若圆与圆外切，则（ ）
A．21 B．19 C．9 D．-11
8．已知均为实数，则 “”是“构成等比数列”的 （ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．在中，已知，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n ∈N＋)，那么a4的值为( )．
A．4 B．8 C．15 D．31
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知 ，则 __________．
12．设Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝(－1)nan－，n∈N，则a3＝________．
13．如图所示，分别以为圆心，在内作半径为2的三个扇形，在内任取一点，如果点落在这三个扇形内的概率为，那么图中阴影部分的面积是____________.

14．有一个底面半径为2，高为2的圆柱，点，分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点或的距离不大于1的概率是________.
15．已知数列是首项为，公差为的等差数列，若数列是等比数列，则___________.
16．数列通项公式，前项和为，则________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．对于函数和实数，若存在，使成立，则称为函数关于的一个“生长点”.若为函数关于的一个“生长点”，则______.
18．在中，内角A、B、C所对的边分别为，，，已知．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设，，求．
19．(1)已知，且为第三象限角，求的值
(2)已知，计算 的值.
20．在中，，点D在边AB上，，且.

（1）若的面积为，求CD；
（2）设，若，求证：.
21．已知.
（1）若三点共线，求的关系；
（2）若,求点的坐标.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
是锐角,∴，∴是小于的正角
2、C
【解析】
利用空间几何体，发挥直观想象，易得直线与平面的位置关系.
【详解】
设平面为长方体的上底面，平面为长方体的下底面，
因为直线∥平面，所以直线通过平移后，可能与平面平行，也可能平移到平面内，所以∥或.
空间中点、线、面位置关系问题，常可以借助长方体进行研究，考查直观想象能力.
3、C
【解析】
.
4、B
【解析】
根据条件式,判断出,,且.由不等式性质、基本不等式性质或特殊值即可判断选项.
【详解】
因为
所以可得,,且
对于A,由对数函数的图像与性质可知,,所以A错误;
对于B,由基本不等式可知,即
由于,则,所以B正确;
对于C,由条件可得,所以C错误;
对于D,当时满足条件,但,所以D错误.
综上可知,B为正确选项
故选:B
本题考查了不等式性质的综合应用,根据基本不等式求最值,属于基础题.
5、B
【解析】
，所以选B.
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．
6、A
【解析】
根据题意，将直三棱柱扩充为长方体，其体对角线为其外接球的直径，可得半径，即可求出外接球的表面积．
【详解】
∵，，∠ABC=90∘，
∴将直三棱柱扩充为长、宽、高为2、2、3的长方体,
其体对角线为其外接球的直径,
长度为，
∴其外接球的半径为,表面积为=17π.
故选：A.
本题考查几何体外接球，通常将几何体进行割补成长方体，几何体外接球等同于长方体外接球，利用长方体外接球直径等于体对角线长求出半径，再求出球的体积和表面积即可，属于简单题.
7、C
【解析】
试题分析：因为,所以且圆的圆心为,半径为,根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得
,故选C.
考点：圆与圆之间的外切关系与判断
8、A
【解析】
解析：若构成等比数列，则，即是必要条件；但时，不一定有成等比数列，如，即是不充分条件．应选答案A．
9、B
【解析】
根据三角形的面积公式求解即可.
【详解】
的面积.
故选：B
本题主要考查了三角形的面积公式,属于基础题.
10、C
【解析】
试题分析：，，，故选C.
考点：数列的递推公式

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】

12、－
【解析】当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝－a3－，则a1＋a2＋2a3＝－，当n＝4时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a4－，两式相减得a3＝－.
13、
【解析】
先求出三块扇形的面积,再由概率计算公式求出的面积,进而求出阴影部分的面积.
【详解】
∵,
∴三块扇形的面积为:,
设的面积为,
∵在内任取一点,点落在这三个扇形内的概率为,
,
∴图中阴影部分的面积为:,
故答案为:.
本题主要考查几何概型的应用,属于几何概型中的面积问题,难度不大.
14、
【解析】
本题利用几何概型求解．先根据到点的距离等于1的点构成图象特征，求出其体积，最后利用体积比即可得点到点，的距离不大于1的概率；
【详解】
解：由题意可知，点P到点或的距离都不大于1的点组成的集合分别以、为球心，1为半径的两个半球，其体积为，又该圆柱的体积为，则所求概率为.
故答案为：
本题主要考查几何概型、圆柱和球的体积等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思想．关键是明确满足题意的测度为体积比．
15、或
【解析】
由等比数列的定义得出，可得出，利用两角和与差的余弦公式化简可求得的值.
【详解】
由于数列是首项为，公差为的等差数列，则，，
又数列是等比数列，则，
即，
即，
即，整理得，
即，可得，，因此， 或.
故答案为：或.
本题考查利用等差数列和等比数列的定义求参数，同时也涉及了两角和与差的余弦公式的化简计算，考查计算能力，属于中等题.
16、1
【解析】
利用裂项求和法求出，取极限进而即可求解.
【详解】
，
故，
所以，
故答案为：1
本题考查了裂项求和法以及求极限值，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、
【解析】
由为函数关于的一个“生长点”，得到
由诱导公式可得答案.
【详解】
解：为函数关于的一个“生长点”，

，
故答案为：.
本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，及函数的创新题型，属于中档题.
18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ） 在△ABC中，利用正弦定理及其．可得，利用和差公式化简整理可得B．
（Ⅱ）在△ABC中，利用余弦定理即可得出b．
【详解】
（Ⅰ） 在△ABC中，由正弦定理，
又．
可得，
∴sinBcosBsinB，
则．
又∵B∈（0，π），可得．
（Ⅱ） 在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，，
∴b2＝a2+c2﹣2accosB＝4+9﹣2×2×3×cos7，
解得．
本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19、（1）；（2）
【解析】
（1）由，结合为第三象限角，即可得解；
（2）由，代入求解即可.
【详解】
（1）,∴,又∵是第三象限.
∴
（2）.
本题主要考查了同角三角函数的基本关系，属于基础题.
20、（1） （2）证明见解析
【解析】
（1）直接利用三角形的面积公式求得，再由余弦定理列方程求出结果；（2）两次利用正弦定理，结合两角差的正弦公式、二倍角的正弦公式进行恒等变换求出结果．
【详解】
（1）因为, 即，
又因为,，所以．
在△中,由余弦定理得，
即，解得．
（2）在△中，，因为，则，又，
由正弦定理，有， 所以．
在△中, ，
由正弦定理得，，即，
化简得展开并整理得

以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
21、（1）a+b=2；（2）(5,-3).
【解析】
（1）求出和的坐标，然后根据两向量共线的等价条件可得所求关系式．（2）求出的坐标，根据得到关于的方程组，解方程组可得所求点的坐标．
【详解】
由题意知，，．
（1）∵三点共线，
∴∥，
∴，
∴．
(2)∵，
∴，
∴，解得，
∴点的坐标为．
本题考查向量共线的应用，解题的关键是把共线表示为向量的坐标的形式，进而转化为数的运算的问题，属于基础题．