内蒙古师范大学附属学校2025届数学高一第二学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

内蒙古师范大学附属学校2025届数学高一第二学期期末质量跟踪监视试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知点，则P在平面直角坐标系中位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知、都是单位向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．当前，我省正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张问题．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为（ ）
A．30 B．40 C．20 D．36
4．已知如图正方体中，为棱上异于其中点的动点，为棱的中点，设直线为平面与平面的交线，以下关系中正确的是（ ）

A． B．
C．平面 D．平面
5．如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，若，则（ ）

A． B．3 C．1 D．
6．已知数列的通项公式是，则等于（ ）
A．70 B．28 C．20 D．8
7．如图所示，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高度是60m，则河流的宽度等于（ ）

A．m B．m C．m D．m
8．在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，，数列的前项和为，则取最大值时，的值为（ ）
A． B． C． D．或
9．等比数列的各项均为正数，且，则（）
A．3 B．6 C．9 D．81
10．，，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是
A．， B．，
C．，，共面 D．，，共点，，共面
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．四名学生按任意次序站成一排，则和都在边上的概率是___________.
12．已知两点，则线段的垂直平分线的方程为_________.
13．求的值为________．
14．已知球为正四面体的外接球，，过点作球的截面，则截面面积的取值范围为____________________．
15．已知数列满足则的最小值为__________.
16．已知，若数列满足，，则等于________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在数列中，，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和．
18．某电子科技公司由于产品采用最新技术，销售额不断增长，最近个季度的销售额数据统计如下表（其中表示年第一季度，以此类推）：
季度

季度编号x

销售额y（百万元）

（1）公司市场部从中任选个季度的数据进行对比分析，求这个季度的销售额都超过千万元的概率；
（2）求关于的线性回归方程，并预测该公司的销售额.
附：线性回归方程：其中，
参考数据：.
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M点为圆心的圆及其上一点.

（1）设圆N与y轴相切，与圆M外切，且圆心在直线上，求圆N的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点且，求直线l的方程.
20．已知.
（1）若三点共线，求实数的值；
（2）证明：对任意实数，恒有成立.
21．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为

（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
利用特殊角的三角函数值的符号得到点的坐标，直接判断点所在象限即可．
【详解】
，
．
在平面直角坐标系中位于第二象限．
故选B．
本题考查了三角函数值的符号，考查了三角函数的诱导公式的应用，是基础题．
2、B
【解析】
由、都是单位向量，由向量的数量积和共线的定义可判断出正确选项.
【详解】
由、都是单位向量，所以.设、的夹角为.
则，所以A，D不正确.
当时，、同向或反向，所以C不正确.
,所以B正确.
故选：B
本题考查了单位向量的概念，属于概念考查题，应该掌握．
3、A
【解析】
先求出每个个体被抽到的概率,再由乙社区的低收入家庭数量乘以每个个体被抽到的概率,即可求解
【详解】
每个个体被抽到的概率为,
乙社区由270户低收入家庭,故应从乙中抽取低收入家庭的户数为,
故选:A
本题考查分层抽样的应用,属于基础题
4、C
【解析】
根据正方体性质，以及线面平行、垂直的判定以及性质定理即可判断.
【详解】
因为在正方体中，，且平面，平面，
所以平面，因为平面，且平面平面，
所以有，而，则与不平行，故选项不正确；
若，则，显然与不垂直，矛盾，故选项不正确；
若平面，则平面，显然与正方体的性质矛盾，故不正确；
而因为平面，平面，
所以有平面，所以选项C正确，.
本题考查了线线、线面平行与垂直的关系判断，属于中档题.
5、A
【解析】
根据图像，将表示成的线性和形式，由此求得的值，进而求得的值.
【详解】
根据图像可知，所以，故选A.
本小题主要考查平面向量的线性运算，考查平面向量基本定理，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
6、C
【解析】
因为，
所以，
所以=20.
故选C.
7、A
【解析】
在直角三角形中，利用锐角三角函数求出的长，在直角三角形中，利用锐角三角函数求出的长，最后利用进行求解即可.
【详解】
在直角三角形中，.
在直角三角形中，
.
所以有.
故选：A

本题考查了锐角三角函数的应用，考查了数学运算能力.
8、D
【解析】
利用等比数列的性质求出、的值，可求出和的值，利用等比数列的通项公式可求出，由此得出，并求出数列的前项和，然后求出，利用二次函数的性质求出当取最大值时对应的值.
【详解】
由题意可知，由等比数列的性质可得，解得，
所以，解得，，，
则数列为等差数列，，
，，
因此，当或时，取最大值，故选：D.
本题考查等比数列的性质，同时也考查了等差数列求和以及等差数列前项和的最值，在求解时将问题转化为二次函数的最值求解，考查方程与函数思想的应用，属于中等题.
9、A
【解析】
利用等比数列性质可求得，将所求式子利用对数运算法则和等比数列性质可化为，代入求得结果.
【详解】
且

本题正确选项：
本题考查等比数列性质的应用，关键是灵活利用等比中项的性质，属于基础题.
10、B
【解析】
解：因为如果一条直线平行于两条垂线中的一条，必定垂直于另一条．
选项A，可能相交．选项C中，可能不共面，比如三棱柱的三条侧棱，选项D，三线共点，可能是棱锥的三条棱，因此错误．选B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
写出四名学生站成一排的所有可能情况，得出和都在边上的情况即可求得概率.
【详解】
四名学生按任意次序站成一排，所有可能的情况为：
，
，
，
，共24种情况，
其中和都在边上共有，4种情况，
所以和都在边上的概率是.
故答案为：
此题考查古典概型，根据古典概型求概率，关键在于准确求出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.
12、
【解析】
求出直线的斜率和线段的中点，利用两直线垂直时斜率之积为可得出线段的垂直平分线的斜率，然后利用点斜式可写出中垂线的方程．
【详解】
线段的中点坐标为，直线的斜率为，
所以，线段的垂直平分线的斜率为，其方程为，即.
故答案为.
本题考查线段垂直平分线方程的求解，有如下两种方法求解：
（1）求出中垂线的斜率和线段的中点，利用点斜式得出中垂线所在直线方程；
（2）设动点坐标为，利用动点到线段两端点的距离相等列式求出动点的轨迹方程，即可作为中垂线所在直线的方程．
13、44.5
【解析】
通过诱导公式，得出，依此类推，得出原式的值．
【详解】
，
，
同理，
，故答案为44.5.
本题主要考查了三角函数中的诱导公式的运用，得出是解题的关键，属于基础题．
14、
【解析】
在平面中，过圆内一点的弦长何时最长，何时最短，类比在空间中，过球内一点的球的大圆面积最大，与此大圆垂直的截面小圆面积最小.利用正四面体的性质及球的性质求正四面体外接球的半径、小圆半径，确定答案.
【详解】
因为正四面体棱长为AB=3，所以正四面体外接球半径R=.由球的性质，当过E及球心O时的截面为球的大圆，面积最大，最大面积为；当过E的截面与EO垂直时面积最小，取△BCD的中心，因为为正四面体，所以平面BCD ,O在上，，所以,
在三角形中，由,，,，
由余弦定理
在直角三角形中
所以过E且与EO垂直的截面圆的半径r为，截面面积为.
所以所求截面面积的范围是.
本题考查空间想象能力，逻辑推理能力，空间组合体的关系，正四面体、球的性质，考查计算能力，属于难题.
15、
【解析】
先利用累加法求出an＝1+n2﹣n，所以，设f（n），由此能导出n＝5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．
【详解】
解：∵an+1﹣an＝2n，∴当n≥2时，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2[1+2+…+（n﹣1）]+1＝n2﹣n+1
且对n＝1也适合，所以an＝n2﹣n+1．
从而
设f（n），令f′（n），
则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，
因为n∈N+，所以当n＝5或6时f（n）有最小值．
又因为，，
所以的最小值为
故答案为
本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．
16、
【解析】
根据首项、递推公式，结合函数的解析式，求出的值，可以发现数列是周期数列，求出周期，利用数列的周期性可以求出的值.
【详解】

，所以数列是以5为周期的数列，
因为20能被5整除，所以.
本题考查了数列的周期性，考查了数学运算能力.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)证明见解析.
(2).
【解析】
（1）根据数列通项公式的特征，我们对，两边同时除以，得到，利用等差数列的定义，就可以证明出数列是等差数列；
（2）求出数列的通项公式，利用裂项相消法，求出数列的前n项和．
【详解】
（1）的两边同除以，得
，又，
所以数列是首项为4，公差为2的等差数列．
(2)由（1）得，即,
故，
所以
本题考查了证明等差数列的方法以及用裂项相消法求数列前和．
已知，都是等差数列，那么数列的前和就可以用裂项相消法来求解．
18、（1）；（2）关于的线性回归方程为，预测该公司的销售额为百万元.
【解析】
（1）列举出所有的基本事件，并确定事件“这个季度的销售额都超过千万元”然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率；
（2）计算出和的值，然后将表格中的数据代入最小二乘法公式，计算出和的值，可得出关于的线性回归方程，然后将代入回归直线方程即可得出该公司的销售额的估计值.
【详解】
（1）从个季度的数据中任选个季度，这个季度的销售额有种情况：、、、、、、、、、
设“这个季度的销售额都超过千万元”为事件，事件包含、、，种情况，所以；
（2），，
，.
所以关于的线性回归方程为，
令，得（百万元）
所以预测该公司的销售额为百万元．
本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，同时也考查了利用最小二乘法求回归直线方程，同时也考查了回归直线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.
19、（1）（2）或.
【解析】
（1）根据由圆心在直线y=6上，可设，再由圆N与y轴相切，与圆M外切得到圆N的半径为和得解.
（2）由直线l平行于OA，求得直线l的斜率，设出直线l的方程，求得圆心M到直线l的距离，再根据垂径定理确定等量关系，求直线方程.
【详解】
（1）圆M的标准方程为，所以圆心M（7，6），半径为5,.
由圆N圆心在直线y=6上，可设
因为圆N与y轴相切，与圆M外切
所以，圆N的半径为
从而
解得.
所以圆N的标准方程为.
（2）因为直线l平行于OA，所以直线l的斜率为.
设直线l的方程为，即
则圆心M到直线l的距离

因为
而
所以
解得 或.
故直线l的方程为或.
本题主要考查了直线方程，圆的方程，直线与直线，直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力和数形结合的思想，属于中档题.
20、 (1)-3；(2)证明见解析.
【解析】
分析：（1）由题意可得，结合三点共线的充分必要条件可得.
（2）由题意结合平面向量数量积的坐标运算法则可得，则恒有成立.
详解：（1），∵三点共线，
∴，∴.
（2），
∴，∴恒有成立.
点睛：本题主要考查平面向量数量积的运算法则，二次函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
21、（Ⅰ）0.006；（Ⅱ）；（Ⅲ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为，可求；（Ⅱ）在频率分布直方图中先求出50名受访职工评分不低于80的频率为，由频率与概率关系可得该部门评分不低于80的概率的估计值为;（Ⅲ）受访职工评分在[50,60)的有3人，记为，受访职工评分在[40,50)的有2 人，记为，列出从这5人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率.
试题解析：（Ⅰ）因为，所以……..4分)
（Ⅱ）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为，
所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为………8分
（Ⅲ）受访职工评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3（人），即为;
受访职工评分在[40,50)的有： 50×0.004×40＝2（人），即为.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是
又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即，故所求的概率为
考点：1.频率分布直方图；2.概率和频率的关系；3.古典概型.
本题考查频率分布直方图、概率与频率关系、古典概型，属中档题；利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重、漏的情况.