山西省忻州实验中学2025年数学高一第二学期期末学业水平测试试题含解析.doc

山西省忻州实验中学2025年数学高一第二学期期末学业水平测试试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知是平面内两个互相垂直的向量，且，若向量满足，则的最大值是（ ）
A．1 B． C．3 D．
2．过曲线的左焦点且和双曲线实轴垂直的直线与双曲线交于点A,B,若在双曲线的虚轴所在的直线上存在—点C,使得,则双曲线离心率e的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．对某班学生一次英语测试的成绩分析，各分数段的分布如下图（分数取整数），由此，估计这次测验的优秀率（不小于80分）为（ ）

A．92% B．24% C．56% D．76%
4．《九章算术》中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递减），上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？（　）
A．二升 B．三升 C．四升 D．五升
5．如图，设是正六边形的中心，则与相等的向量为（ ）

A． B． C． D．
6．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
7．已知直线经过，两点，则直线的斜率为
A． B． C． D．
8．函数的定义域是（ ）．
A． B． C． D．
9．要得到函数的图象，只要将函数的图象( )
A．向左平行移动个单位 B．向右平行移动个单位
C．向右平行移动个单位 D．向左平行移动个单位
10．正六边形的边长为，以顶点为起点，其他顶点为终点的向量分别为；以顶点为起点，其他顶点为终点的向量分别为．若分别为的最小值、最大值，其中，则下列对的描述正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．己知函数，，则的值为______.
12．不共线的三个平面向量，，两两所成的角相等，且，，则__________．
13．已知是奇函数，且，则_______．
14．关于的不等式，对于恒成立，则实数的取值范围为_______.
15．已知向量，的夹角为，若，，则________.
16．如图甲是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，则此数列的通项公式为_____．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．
18．已知数列前项和为， ，且满足（）．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，设数列前项和为，求证： ．
19．已知边长为2的等边，是边的中点，以为旋转中心，逆时针旋转得对应，与所在直线交于.

（1）任意旋转角，判断是否是定值.若是，求此定值；若不是，说明理由.
（2）求的最小值.
20．已知的内角所对的边分别为，且，.
（1）若，求角的值；
（2）若,求的值.
21．如图，在以、、、、、为顶点的五面体中，面是等腰梯形，，面是矩形，平面平面，，.

（1）求证：平面平面；
（2）若三棱锥的体积为，求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
设出平面向量的夹角，求出的夹角，最后利用平面向量数量积的运算公式进行化简等式，最后利用辅助角公式求出的最大值.
【详解】
设平面向量的夹角为，因为是平面内两个互相垂直的向量，所以平面向量的夹角为，因为是平面内两个互相垂直的向量，所以.
，
，
，其中，显然当时，有最大值，即.
故选：D
本题考查平面向量数量积的性质及运算，属于中档题.
2、C
【解析】
设双曲线的方程为：，（a＞0，b＞0），依题意知当点C在坐标原点时，∠ACB最大，∠AOF1≥45°，利用tan∠AOF1，即可求得双曲线离心率e的取值范围．求出最小值．
【详解】
设双曲线的方程为：，（a＞0，b＞0），
∵双曲线关于x轴对称，且直线AB⊥x轴，设左焦点F1（﹣c，0），则A（﹣c，），B（﹣c，），
∵△ABC为直角三角形，
依题意知，当点C在坐标原点时，∠ACB最大，
∴∠AOF1≥45°，
∴tan∠AOF11，
整理得：（）21≥0，即e2﹣e﹣1≥0，
解得：e．
即双曲线离心率e的最小值为：．
故选：C

本题考查双曲线的简单性质，分析得到当点C在坐标原点时，∠ACB最大是关键，得到∠AOF1≥45°是突破口，属于中档题．
3、C
【解析】
试题分析：．故C正确．
考点：频率分布直方图．
4、B
【解析】
由题意可得，上、中、下三节的容量成等差数列．再利用等差数列的性质，求出中三节容量，即可得到答案．
【详解】
由题意，上、中、下三节的容量成等差数列，上三节容四升，下三节容二升，
则中三节容量为，故选B．
本题主要考查了等差数列的性质的应用，其中解答中熟记等差数列的等差中项公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
5、D
【解析】
容易看出，四边形是平行四边形，从而得出.
【详解】
根据图形看出，四边形是平行四边形

故选：
本题考查相等向量概念辨析，属于基础题.
6、B
【解析】
分析：由公式计算可得
详解：设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，
则
因为
所以，
故选B.
点睛：本题主要考查事件的基本关系和概率的计算，属于基础题．
7、C
【解析】
由两点法求斜率的公式可直接计算斜率值．
【详解】
直线经过，两点，直线的斜率为.
本题考查用两点法求直线斜率，属于基础题．
8、C
【解析】
函数的定义域即让原函数有意义即可；原式中有对数，则
故得到定义域为 .
故选C.
9、B
【解析】
把化简即得解.
【详解】
由题得，
所以要得到函数的图象，只要将函数的图象向右平行移动个单位，
故选：B
本题主要考查三角函数的图像变换，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
10、A
【解析】
利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，从而得到结论．
【详解】
由题意，以顶点A为起点，其他顶点为终点的向量分别为，
以顶点D为起点，其他顶点为终点的向量分别为，
则利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，
又因为分别为的最小值、最大值，
所以，故选A．
本题主要考查了向量的数量积运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，分析出向量数量积的正负是关键，着重考查了分析解决问题的能力，属于中档试题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】
将代入函数计算得到答案.
【详解】
函数

故答案为：1
本题考查了三角函数的计算，属于简单题.
12、4
【解析】

故答案为：4
本题主要考查向量的位置关系，考查向量模的运算的处理方法.由于三个向量两两所成的角相等，故它们两两的夹角为，由于它们的模都是已知的，故它们两两的数量积也可以求出来，对后平方再开方，就可以计算出最后结果.
13、
【解析】
根据奇偶性定义可知，利用可求得，从而得到；利用可求得结果.
【详解】
为奇函数
又
即，解得：
本题正确结果：
本题考查根据函数的奇偶性求解函数值的问题，属于基础题.
14、或
【解析】
利用换元法令，则对任意的恒成立，再对分两种情况讨论，令求出函数的最小值，即可得答案.
【详解】
令，则对任意的恒成立，
（1）当，即时，上式显然成立；
（2）当，即时，
令
①当时，，显然不成立，故不成立；
②当时，，
∴解得：
综上所述：或.
故答案为：或.
本题考查含绝对值函数的最值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意分段函数的最值求解.
15、
【解析】
由，展开后进行计算，得到的值，从而得到答案.
【详解】
因为向量，的夹角为，若，，
所以

，
所以.
故答案为：.
本题考查求向量的模长，向量的数量积运算，属于简单题.
16、
【解析】
由图可知，由勾股定理可得,利用等差数列的通项公式求解即可.
【详解】
根据图形，
因为都是直角三角形，
,
是以1为首项，以1为公差的等差数列，
，
，故答案为.
本题主要考查归纳推理的应用，等差数列的定义与通项公式，以及数形结合思想的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于与中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ） 或 .
【解析】
分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.
【详解】
详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，
所以.
（Ⅱ）由角的终边过点得，
由得.
由得，
所以或.
点睛：三角函数求值的两种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
18、（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析
【解析】【试题分析】（1）借助递推关系式，运用等比数列的定义分析求解；（2）依据题设条件运用列项相消求和法进行求解：
（Ⅰ），由（），得（），
两式相减得．
由，得,又，
所以是以为首项，3为公比的等比数列，
故．
（Ⅱ），
，

．
19、（1）是，0；（2）.
【解析】
（1）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，得出的坐标，计算得出，进而得出；
（2）根据得出点的轨迹是以为直径的圆，由圆的对称性得出的最小值.
【详解】
（1）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系

则
，即

∴
设，则
所以为定值，定值为
（2）由（1）知，故在以为直径的圆上
设的中点，则，以为直径的圆的半径
由圆的对称性可知，的最小值是.
本题主要考查了计算向量的数量积以及圆对称性的应用，属于中档题.
20、（1）或；（2）、.
【解析】
（1）由先求的值，再求角即可；（2）先由求出，再根据求出即可.
【详解】
（1）由已知，又，所以，即，或；（2）因为，由可得，又因为，所以，即，总之、.
本题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的应用，属常规考题.
21、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）由面面垂直的性质定理得出平面，可得出，再推导出，利用线面垂直的判定定理得出平面，然后利用面面垂直的判定定理可得出平面平面；
（2）推导出平面，计算出的面积，然后利用锥体体积公式可求得三棱锥的体积，进而得解.
【详解】
（1）因为四边形是矩形，故，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又面，所以，

在等腰梯形中，，，
因，故，，即，
又，故平面，
平面，所以平面平面；
（2）的面积为，
，平面，所以，平面，
，故.
本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用三棱锥体积求参数，考查推理能力与计算能力，属于中等题.