2025届吉林省白山市长白县实验中学高一数学第二学期期末达标检测试题含解析.doc

2025届吉林省白山市长白县实验中学高一数学第二学期期末达标检测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知一组数1，1，2，3，5，8，，21，34，55，按这组数的规律，则应为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
2．已知数据，2的平均值为2，方差为1，则数据相对于原数据( )
A．一样稳定 B．变得比较稳定
C．变得比较不稳定 D．稳定性不可以判断
3．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．2021年某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，则事件与事件（ ）
A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，不是互斥事件
C．既是互斥事件，也是对立事件 D．既不是互斥事件也不是对立事件
5．已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，那么原中的大小是（ ）．

A． B． C． D．
6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）

A．54 B． C．90 D．81
7．已知样本数据为3，1，3，2，3，2，则这个样本的中位数与众数分别为（ ）
A．2，3 B．3，3 C．2.5，3 D．2.5，2
8．袋中有个大小相同的小球，其中个白球，个红球，个黑球，现在从中任意取一个，则取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品”为事件，则的对立事件是（ ）
A．至多有一件次品 B．两件全是正品 C．两件全是次品 D．至多有一件正品
10．若数列{an}前8项的值各异，且an+8=an对任意n∈N*都成立，则下列数列中可取遍{an}前8项值的数列为 （ ）
A．{a2k+1} B．{a3k+1} C．{a4k+1} D．{a6k+1}
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．等差数列中，则此数列的前项和 _________.
12．设向量，若，，则 .
13．已知，，则当最大时，________.
14．在数列中，，，则________.
15．某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．
16．已知为等差数列,,前n项和取得最大值时n的值为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排宽的绿化，绿化造价为200元/，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/.设矩形的长为.

（1）设总造价（元）表示为长度的函数；
（2）当取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.
18．已知函数，
（1）若，求a的值，并判断的奇偶性；
（2）求不等式的解集.
19．若直线与轴，轴的交点分别为，圆以线段为直径.
（Ⅰ）求圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线过点，与圆交于点，且，求直线的方程.
20．直线经过点，且与圆相交与两点，截得的弦长为，求的方程.
21．如图是某神奇“黄金数学草”的生长图．第1阶段生长为竖直向上长为1米的枝干，第2阶段在枝头生长出两根新的枝干，新枝干的长度是原来的，且与旧枝成120°，第3阶段又在每个枝头各长出两根新的枝干，新枝干的长度是原来的，且与旧枝成120°，……，依次生长，直到永远．

（1）求第3阶段“黄金数学草”的高度；
（2）求第13阶段“黄金数学草”的高度；
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
易得从第三项开始数列的每项都为前两项之和,再求解即可.
【详解】
易得从第三项开始数列的每项都为前两项之和,故.
故选：C
该数列为“斐波那契数列”,从第三项开始数列的每项都为前两项之和,属于基础题.
2、C
【解析】
根据均值定义列式计算可得的和，从而得它们的均值，再由方差公式可得，从而得方差．然后判断．
【详解】
由题可得：平均值为2，
由，，
所以变得不稳定.
故选：C.
本题考查均值与方差的计算公式，考查方差的含义．属于基础题．
3、D
【解析】
对于A，利用线面平行的判定可得A正确.对于B，利用线面垂直的性质可得B正确.对于C，利用面面垂直的判定可得C正确.根据平面与平面的位置关系即可判断D不正确.
【详解】
对于A，根据平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，
则这条直线平行于这个平面，可判定A正确.
对于B，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，判定B正确.
对于C，根据一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直，
可判定C正确.
对于D，若，则或相交，所以D不正确.
故选：D
本题主要考查了线面平行和面面垂直的判定，同时考查了线面垂直的性质，属于中档题.
4、A
【解析】
事件与事件不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案.
【详解】
事件与事件不能同时发生，是互斥事件
他还可以选择化学和政治，不是对立事件
故答案选A
本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解.
5、C
【解析】
根据斜二测画法还原在直角坐标系的图形，进而分析出的形状，可得结论．
【详解】
如图：

根据斜二测画法可得：
，
故原是一个等边三角形
故选
本题是一道判定三角形形状的题目，主要考查了平面图形的直观图，考查了数形结合的思想
6、A
【解析】
由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正方形为底面的斜四棱柱，进而得到答案．
【详解】
由三视图可知，该多面体是一个以正方形为底面的斜四棱柱，
四棱柱的底面是边长为3的正方形，四棱柱的高为6，
则该多面体的体积为.
故选：A.
本题考查三视图知识及几何体体积的计算，根据三视图判断几何体的形状，再由几何体体积公式求解，属于简单题.
7、C
【解析】
将样本数据从小到大排列即可求得中位数，再找出出现次数最多的数即为众数.
【详解】
将样本数据从小到大排列：1，2，2，3，3，3，中位数为，众数为3.
故选：C.
本题考查了中位数和众数的概念，属于基础题.
8、D
【解析】
利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.
【详解】
从袋中个球中任取一个球，取出的球恰好是一个红色或黑色小球的基本事件数为，
因此，取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为，故选D.
本题考查古典概型概率的计算，解题时要确定出全部基本事件数和所求事件所包含的基本事件数，并利用古典概型的概率公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.
9、B
【解析】
根据对立事件的概念，选出正确选项.
【详解】
从四件正品、两件次品中随机取出两件，“至少有一件次品”的对立事件为两件全是正品.
故选：B
本小题主要考查对立事件的理解，属于基础题.
10、B
【解析】
数列是周期为8的数列；，
；
故选B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、180
【解析】
由,
,可知.
12、
【解析】
利用向量垂直数量积为零列等式可得，从而可得结果.
【详解】
因为，且，
所以，
可得，
又因为，
所以，故答案为.
利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.
13、
【解析】
根据正切的和角公式，将用的函数表示出来，利用均值不等式求最值，求得取得最大值的，再用倍角公式即可求解.
【详解】

故可得
则
当且仅当，即时，

此时有
故答案为：.
本题考查正切的和角公式，以及倍角公式，涉及均值不等式的使用.
14、
【解析】
由递推公式可以求出 ，可以归纳出数列的周期，从而可得到答案.
【详解】
由，
，.
,
可推测数列是以3为周期的周期数列.
所以。
故答案为：
本题考查数量的递推公式同时考查数列的周期性，属于中档题.
15、分层抽样.
【解析】
分析：由题可知满足分层抽样特点
详解：由于从不同龄段客户中抽取，故采用分层抽样
故答案为分层抽样．
点睛：本题主要考查简单随机抽样，属于基础题．
16、20
【解析】
先由条件求出，算出，然后利用二次函数的知识求出即可
【详解】
设的公差为，由题意得

即，①

即，②
由①②联立得
所以
故当时，取得最大值400
故答案为：20
等差数列的是关于的二次函数，但要注意只能取正整数.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），（2）当时，总造价最低为元
【解析】
（1）根据题意得矩形的长为，则矩形的宽为，中间区域的长为，宽为列出函数即可．
（2）根据（1）的结果利用基本不等式即可．
【详解】
（1）由矩形的长为，则矩形的宽为，
则中间区域的长为，宽为，则定义域为
则
整理得，
（2）
当且仅当时取等号，即
所以当时，总造价最低为元
本题主要考查了函数的表示方法，以及基本不等式的应用．在利用基本不等式时保证一正二定三相等，属于中等题．
18、（1），，是偶函数（2）或
【解析】
（1）先由已知求出，然后结合利用定义法判断函数的奇偶性即可；
（2）讨论当时，当时对数函数的单调性求解不等式即可.
【详解】
解：（1）由题意得，，即，则，，
则，函数的定义域为，
则，是偶函数；
（2）当时，在上是减函数， ，，解得，
所以原不等式的解集为；
当时，在上是增函数，
，，即，
所以原不等式的解集为，
综上所述，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为.
本题考查了利用定义法判断函数的奇偶性，主要考查了利用对数函数的单调性求解不等式，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.
19、（Ⅰ）；（Ⅱ）或.
【解析】
(1)本题首先根据直线方程确定、两点坐标，然后根据线段为直径确定圆心与半径，即可得出圆的标准方程；
(2)首先可根据题意得出圆心到直线的距离为，然后根据直线的斜率是否存在分别设出直线方程，最后根据圆心到直线距离公式即可得出结果。
【详解】
(1)令方程中的，得，令，得.
所以点的坐标分别为.
所以圆的圆心是，半径是，
所以圆的标准方程为.
(2)因为，圆的半径为，所以圆心到直线的距离为.
若直线的斜率不存在，直线的方程为，符合题意.
若直线的斜率存在，设其直线方程为，即.
圆的圆心到直线的距离，解得.
则直线的方程为，即.
综上，直线的方程为或.
本题考查圆的标准方程与几何性质，考查直线和圆的位置关系，当直线与圆相交时，半径、弦长的一半以及圆心到直线距离可构成直角三角形，考查计算能力，在计算过程中要注意讨论直线的斜率是否存在，是中档题。
20、或
【解析】
直线截圆得的弦长为，结合圆的半径为5，利用勾股定理可得圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式列方程求出直线斜率，由点斜式可得结果.
【详解】
设直线的方程为，即，
因为圆的半径为5，截得的弦长为
所以圆心到直线的距离，
即或，
∴所求直线的方程为或.
本题主要考查点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.
21、（1）
（2）
【解析】
（1）根据示意图，计算出第阶段、第阶段生长的高度，即可求解出第阶段“黄金数学草”的高度；
（2）考虑第偶数阶段、第奇数阶段“黄金数学草”高度的生长量之间的关系，构造数列，利用数列求和完成第阶段“黄金数学草”的高度的计算.
【详解】
（1）因为第一阶段： ，
所以第阶段生长：，第阶段的生长：，
所以第阶段“黄金数学草”的高度为：；
（2）设第个阶段生长的“黄金数学草”的高度为，则第个阶段生长的“黄金数学草”的高度为，第阶段“黄金数学草”的高度为，
所以，
所以数列按奇偶性分别成公比为等比数列，
所以
.
所以第阶段“黄金数学草”的高度为：.
本题考查等比数列以及等比数列的前项和的实际应用，难度较难.处理数列的实际背景问题，第一步要能从实际背景中分离出数列的模型，然后根据给定的条件处理对应的数列计算问题，这对分析问题的能力要求很高.