河北省定州中学2025年高一下数学期末检测模拟试题含解析.doc

河北省定州中学2025年高一下数学期末检测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．的三内角所对的边分别为，若，则角的大小是（ ）
A． B． C． D．
3．已知的三个顶点都在一个球面上，，且该球的球心到平面的距离为2，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则函数的解析式是（　　）
A． B．
C． D．
5．若实数 满足，则的最小值为( )
A．4 B．8 C．16 D．32
6．已知直线m，n，平面α，β，给出下列命题：
①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β
②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β
③若m∥α，n∥β，且α∥β，且m∥n
④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n
其中正确的命题是（　　　　）
A．②③ B．①③ C．①④ D．③④
7．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为、、人，该校为了了解本校学生视力情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为（ ）
A． B． C． D．
8．棱柱的侧面一定是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
9．在数列中,,则数列的前n项和的最大值是（ ）
A．136 B．140 C．144 D．148
10．已知锐角△ABC的面积为，BC=4，CA=3，则角C的大小为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．计算：__________.
12．已知圆上有两个点到直线的距离为3，则半径的取值范围是________
13．某扇形的面积为1，它的周长为4cm，那么扇形的圆心角的大小为____________.
14．在中，，则______．
15．函数，的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_____.
16．将边长为1的正方形(及其内部)绕旋转一周形成圆柱,点､分别是圆和圆上的点, 长为,长为,且与在平面的同侧,则与所成角的大小为______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知为等边角形，.点满足，，.设.
试用向量和表示;
若,求的值.
18．在已知数列中，，.
（1）若数列中，，求证：数列是等比数列；
（2）设数列、的前项和分别为、，是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.
19．某厂每年生产某种产品万件，其成本包含固定成本和浮动成本两部分.已知每年固定成本为20万元，浮动成本，.若每万件该产品销售价格为40万元，且每年该产品产销平衡.
（1）设年利润为（万元），试求与的关系式；
（2）年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？并求出最大利润.
20．已知数列中，.
(1)求证：是等比数列，求数列的通项公式；
(2)已知：数列，满足
①求数列的前项和；
②记集合若集合中含有个元素，求实数的取值范围.
21．在区间内随机取两个数，则关于的一元二次方程有实数根的概率为__________．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
利用余弦定理化简后可得，再利用正弦定理把边角关系化为角的三角函数的关系式，从而得到，因此，结合的范围可得所求的取值范围.
【详解】

，
因为为锐角三角形，所以，
，
，故,选B.
在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.
2、C
【解析】
将进行整理，反凑余弦定理，即可得到角.
【详解】
因为
即
故可得
又
故.
故选：C.
本题考查余弦定理的变形，属基础题.
3、C
【解析】
先算出的外接圆的半径，然后根据勾股定理可得球的半径，由此即可得到本题答案.
【详解】
设点O为球心，因为，所以的外接圆的圆心为AC的中点M，且半径，又因为该球的球心到平面的距离为2，即，在中，，所以该球的半径为，则该球的表面积为.

故选：C
本题主要考查球的表面积的相关问题.
4、C
【解析】
由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论．
【详解】
由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，
可得.
故选C．
本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型.
5、B
【解析】
由可以得到，利用基本不等式可求最小值.
【详解】
因为，故，
因为，故，
故，当且仅当时等号成立，
故的最小值为8，
故选B.
应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.
6、C
【解析】
根据线线、线面和面面有关定理，对选项逐一分析，由此得出正确选项.
【详解】
对于①，两个平面的垂线垂直，那么这两个平面垂直.所以①正确.
对于②，与可能相交，此时并且与两个平面的交线平行.所以②错误.
对于③，直线可能为异面直线，所以③错误.
对于④，两个平面垂直，那么这两个平面的垂线垂直.所以④正确.
综上所述，正确命题的序号为①④.
故选：C
本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性的判断，属于基础题.
7、C
【解析】
设从高三年级抽取的学生人数为，根据总体中和样本中高三年级所占的比例相等列等式求出的值.
【详解】
设从高三年级抽取的学生人数为，由题意可得，解得，
因此，应从高三年级抽取的学生人数为，故选：C.
本题考查分层抽样中的相关计算，解题时要利用总体中每层的抽样比例相等或者总体或样本中每层的所占的比相等来列等式求解，考查运算求解能力，属于基础题.
8、A
【解析】
根据棱柱的性质可得：其侧面一定是平行四边形，故选A.
9、C
【解析】
可得数列为等差数列且前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，可得前8或9项和最大，由求和公式计算可得．
【详解】
解：∵在数列中,，
，即数列为公差为−4的等差数列，
，
令可得，
∴递减的等差数列中前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，
∴数列的前8或9项和最大，
由求和公式可得
故选：C．
本题考查等差数列的求和公式和等差数列的判定，属基础题．
10、B
【解析】
试题分析：由三角形的面积公式，得，即，解得，又因为三角形为锐角三角形，所以.
考点：三角形的面积公式.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、0
【解析】
直接利用数列极限的运算法则，分子分母同时除以，然后求解极限可得答案.
【详解】
解：，
故答案为：0.
本题主要考查数列极限的运算法则，属于基础知识的考查.
12、
【解析】
由圆上有两个点到直线的距离为3，先求出圆心到直线的距离，得到不等关系式，即可求解．
【详解】
由题意，圆的圆心坐标为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
又因为圆上有两个点到直线的距离为3，
则，解得，即圆的半径的取值范围是．
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中合理应用圆心到直线的距离，结合图象得到半径的不等关系式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．
13、
【解析】
根据扇形的面积和周长列方程组解得半径和弧长，再利用弧长公式可求得结果.
【详解】
设扇形的半径为，弧长为，圆心角为，
则，解得，
所以.
故答案为：
本题考查了扇形的面积公式，考查了扇形中弧长公式，属于基础题.
14、
【解析】
由已知求得，进一步求得，即可求出．
【详解】
由，
得，
即，，
则，
，，则．
本题主要考查应用两角和的正切公式作三角函数的恒等变换与化简求值．
15、
【解析】
作出其图像，可只有两个交点时k的范围为.
故答案为
16、
【解析】
画出几何体示意图，将平移至于直线相交，在三角形中求解角度.
【详解】
根据题意，过B点作BH//交弧于点H，作图如下：

因为BH//，故即为所求异面直线的夹角，
在中，，
在中，因为，故
该三角形为等边三角形，即：，
在中，，，且母线BH垂直于底面，故：
，又异面直线夹角范围为，
故，
故答案为：.
本题考查异面直线的夹角求解，一般解决方法为平移至直线相交，在三角形中求角.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) ； ；(2) .
【解析】
（1）根据向量线性运算法则可直接求得结果；（2）根据（1）的结论将已知等式化为；根据等边三角形边长和夹角可将等式变为关于的方程，解方程求得结果.
【详解】
（1）

（2）
为等边三角形且 ，

即：，解得：
本题考查平面向量线性运算、数量积运算的相关知识；关键是能够将等式转化为已知模长和夹角的向量的数量积运算的形式，根据向量数量积的定义求得结果.
18、（1）见解析；（2）存在，.
【解析】
（1）利用等比数列的定义结合数列的递推公式证明出为非零常数，即可证明出数列为等比数列，并可求出数列的通项公式；
（2）求出数列的通项公式，利用分组求和法与等比数列的求和公式分别求出数列、，设，列出关于、、的方程组，解出即可.
【详解】
（1）在数列中，，，则，
，
且，数列是以为首项，为公比的等比数列，
；
（2），
整理得，，
，
，
所以，，
若数列为等差数列，可设，则，
即，则，解得，
因此，存在实数，使得数列为等差数列.
本题考查等差数列的证明、数列求和以及等差数列的存在性问题，熟悉等差数列的定义和通项公式的结构是解题的关键，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.
19、（1）；（2）产量（万件）时，该厂所获利润最大为100万元．
【解析】
（1）由销售收入减去成本可得利润；
（2）分段求出的最大值，然后比较可得．
【详解】
（1）由题意；
即；
（2）时，，时，，
当时，在是递增，在上递减，
时，
综上，产量（万件）时，该厂所获利润最大为100万元．
本题考查函数模型的应用，根据所给函数模型求出函数解析式，然后由分段函数性质分段求出最大值，比较后得出函数 最大值．考查学生的应用能力．
20、 (1) 证明见解析， (2)①②
【解析】
(1)计算得到： 得证.
(2) ①计算的通项公式为，利用错位相减法得到.
②将代入集合M，化简并分离参数得，确定数列的单调性，根据集合中含有个元素得到答案.
【详解】
(1) ，
为等比数列，其中首项，公比为.
所以，.
(2)①数列的通项公式为
①
②
①-②
化简后得.
②将代入得
化简并分离参数得，
设，则

易知
由于中含有个元素，所以实数要小于等于第5大的数，且比第6大的数大.
，，
综上所述.
本题考查了数列的证明，数列的通项公式，错位相减法，数列的单调性，综合性强计算量大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
21、
【解析】
试题分析：解：在平面直角坐标系中，以轴和轴分别表示的值，
因为m、n是中任意取的两个数，所以点与右图中正方形内的点一一对应，即正方形内的所有点构成全部试验结果的区域．设事件表示方程有实根，
则事件，
所对应的区域为图中的阴影部分，

且阴影部分的面积为．故由几何概型公式得
，即关于的一元二次方程有实根的概率为．
考点：本题主要考查几何概型概率的计算．
点评：几何概型概率的计算，关键是明确基本事件空间及发生事件的几何度量，有面积、体积、角度数、线段长度等．本题涉及到了线性规划问题中平面区域．