2025届山西省吕梁育星中学高一数学第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2025届山西省吕梁育星中学高一数学第二学期期末学业质量监测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．将函数的图象向左平移个长度单位后，所得到的图象关于（　　）对称．
A．轴 B．原点 C．直线 D．点
2．阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为( )

A． B． C． D．
3．边长为2的正方形内有一封闭曲线围成的阴影区域.向正方形中随机地撒200粒芝麻，大约有80粒落在阴影区域内，则此阴影区域的面积约为（ ）
A． B． C． D．
4．设变量满足约束条件：，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图像与函数，的图像的交点个数为（）
A． B． C． D．
6．公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ，则等于 （ ）
A．18 B．24 C．60 D．90
7．直线：与圆的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
8．中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第五天走的路程为（ ）
A．48里 B．24里 C．12里 D．6里
9．已知a＞0，x，y满足约束条件,若z=2x+y的最小值为1，则a=
A． B． C．1 D．2
10．不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．或 B． C． D．或
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．不等式的解集为________.
12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，M为B1C1中点，连接A1B，D1M，则异面直线A1B和D1M所成角的余弦值为________________________．

13．已知x、y满足约束条件，则的最小值为________.
14．一组数据2，4，5，，7，9的众数是7，则这组数据的中位数是__________．
15．若关于的不等式的解集为，则__________
16．某公司当月购进、、三种产品，数量分别为、、，现用分层抽样的方法从、、三种产品中抽出样本容量为的样本，若样本中型产品有件，则的值为_______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知角的终边经过点，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
18．在平面立角坐标系中，过点的圆的圆心在轴上，且与过原点倾斜角为的直线相切.
(1)求圆的标准方程；
(2)点在直线上，过点作圆的切线、，切点分别为、，求经过、、、四点的圆所过的定点的坐标.
19．平面内给定三个向量＝(3,2)，＝(－1,2)，＝(4,1)．
(1)求满足的实数m，n；
(2)若，求实数k；
20．知两条直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8，求当m为何值时，l1与l2：
（1）垂直；
（2）平行，并求出两平行线间的距离．
21．已知圆过点,且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）平面上有两点，点是圆上的动点，求的最小值；
（3）若是轴上的动点，分别切圆于两点，试问：直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
先利用辅助角公式将未变换后的函数解析式化简，再根据图象变换规律得出变换后的函数的解析式为，结合余弦函数的对称性来进行判断。
【详解】
，
函数的图象向左平移个长度单位后得到，
函数的图象关于轴对称，故选：A．
本题考查三角函数的图象变换，以及三角函数的对称性，在考查三角函数的基本性质问题时，应该将三角函数的解析式化为一般形式，并借助三角函数的图象来理解。
2、D
【解析】
按照程序框图运行程序，直到时输出结果即可.
【详解】
按照程序框图运行程序
输入，，则，满足
，，则，满足
，，则，满足
，，则，满足
，，则，满足
，，则，不满足，输出
故选：
本题考查根据程序框图计算输出结果的问题，属于基础题.
3、B
【解析】
依题意得，豆子落在阴影区域内的概率等于阴影部分面积与正方形面积之比，即可求出结果.
【详解】
设阴影区域的面积为，由题意可得，则.
故选：B.
本题考查随机模拟实验，根据几何概型的意义进行模拟实验计算阴影部分面积，关键在于掌握几何概型的计算公式.
4、D
【解析】
如图作出可行域，知可行域的顶点是A（－2，2）、B()及C(－2，－2)，
平移，当经过A时，
的最小值为-8，故选D.

5、A
【解析】
在同一坐标系中画出两函数的图象，根据图象得到交点个数.
【详解】

可得两函数图象如下图所示：

两函数共有个交点
本题正确选项：
本题考查函数交点个数的求解，关键是能够根据两函数的解析式，通过平移和翻折变换等知识得到函数的图象，采用数形结合的方式得到结果.
6、C
【解析】
由等比中项的定义可得，根据等差数列的通项公式及前n项和公式，列方程解出和，进而求出.
【详解】
因为是与的等比中项，
所以，
即，
整理得，
又因为，所以，故，
故选C.
该题考查的是有关等差数列求和问题，涉及到的知识点有等差数列的通项，等比中项的定义，等差数列的求和公式，正确应用相关公式是解题的关键.
7、C
【解析】
求出圆的圆心坐标和半径，然后运用点到直线距离求出的值和半径进行比较，判定出直线与圆的关系.
【详解】
因为圆，所以圆心，半径，所以圆心到直线的距离为，则直线与圆相交.故选
本题考查了直线与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式求出和半径比较，得到直线与圆的位置关系.
8、C
【解析】
根据等比数列前项和公式列方程，求得首项的值，进而求得的值.
【详解】
设第一天走，公比，所以，解得，所以.故选C.
本小题主要考查等比数列前项和的基本量计算，考查等比数列的通项公式，考查中国古典数学文化，属于基础题.
9、B
【解析】
画出不等式组表示的平面区域如图所示：

当目标函数z=2x+y表示的直线经过点A时，取得最小值，而点A的坐标为（1，），所以
，解得，故选B.
【考点定位】
本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.
10、A
【解析】
不等式的解集为,
的两根为，，且，
即,解得
则不等式可化为
解得
故选

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
将三阶矩阵化为普通运算，利用指数函数的性质即可求出不等式的解集.
【详解】
不等式化为，
整理得，
，，即，
，即不等式的解集为
故答案为：
此题考查了其他不等式的解法，指数函数的性质，以及三阶矩阵，是一道中档题.
12、.
【解析】
连接、，取的中点，连接，可知，且是以为腰的等腰三角形，然后利用锐角三角函数可求出的值作为所求的答案．
【详解】
如下图所示：

连接、，取的中点，连接，
在正方体中，，则四边形为平行四边形，
所以，则异面直线和所成的角为或其补角，
易知，由勾股定理可得，，
为的中点，则，在中，，
因此，异面直线和所成角的余弦值为，故答案为．
本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，求解异面直线所成的角一般利用平移直线法求解，遵循“一作、二证、三计算”，在计算时，一般利用锐角三角函数的定义或余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．
13、－3
【解析】
作出可行域，目标函数过点时，取得最小值.
【详解】
作出可行域如图表示：

目标函数，化为，
当过点时，取得最大值，
则取得最小值，
由，解得，即，
的最小值为.
故答案为:
本题考查二元一次不等式组表示平面区域，以及线性目标函数的最值，属于基础题.
14、6
【解析】
由题得x=7，再利用中位数的公式求这组数据的中位数.
【详解】
因为数据2，4，5，，7，9的众数是7，
所以，
则这组数据的中位数是．
故答案为6
本题主要考查众数的概念和中位数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
15、1
【解析】
根据二次不等式和二次方程的关系，得到是方程的两根，由根与系数的关系得到的值.
【详解】
因为关于的不等式的解集为
所以是方程的两根，
，
由根与系数的关系得，解得
本题考查一元二次不等式和一元二次方程之间的关系，根与系数之间的关系，属于简单题.
16、.
【解析】
利用分层抽样每层抽样比和总体的抽样比相等，列等式求出的值.
【详解】
在分层抽样中，每层抽样比和总体的抽样比相等，则有，
解得，故答案为：.
本题考查分层抽样中的相关计算，解题时要充分利用各层抽样比与总体抽样比相等这一条件列等式求解，考查运算求解能力，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）由利用任意角的三角函数的定义，列等式可求得实数的值；（2）由（1）可得，利用诱导公式可得原式＝，根据同角三角函数的关系，可得结果.
【详解】
（1）由三角函数的定义可知

（2）由（1）知可得
原式＝
＝
＝＝
本题主要考查诱导公式的应用以及三角函数的定义，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.
18、（1）（2）经过、、、四点的圆所过定点的坐标为、
【解析】
(1)先算出直线方程，根据相切和过点，圆心在轴上联立方程解得答案.
(2) 取线段的中点 ，经过、、、四点的圆是以线段为直径的圆，设点的坐标为，则点的坐标为，将圆方程表示出来，联立方程组解得答案.
【详解】
(1)由题意知，直线的方程为，整理为一般方程可得
由圆的圆心在轴上，可设圆的方程为，
由题意有，解得：，，
故圆的标准方程为.
(2)由圆的几何性质知，，，取线段的中点，由直角三角形的性质可知，故经过、、、四点的圆是以线段为直径的圆，
设点的坐标为，则点的坐标为
有
则以为直径的圆的方程为：，整理为
可得.
令，解得或，
故经过、、、四点的圆所过定点的坐标为、.
本题考查了圆的方程，切线问题，四点共圆，定点问题，综合性强，技巧性高，意在考查学生的综合应用能力.
19、（1）； （2）.
【解析】
(1)由及已知得,由此列方程组能求出实数；(2)由 ,可得，由此能求出的值.
【详解】
(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以，解得；
(2)∵a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.∴k＝.
本题主要考查相等向量与共线向量的性质，属于简单题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.
20、 (1) m (2) m＝﹣7，距离为
【解析】
（1）由题意利用两条直线垂直的性质，求出m的值．
（2）由题意利用两条直线平行的性质，求出m的值，再利用两平行线间的距离公式，求出结果．
【详解】
（1）两条直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8，
当（3+m ）•2+4（5+m）＝0时，即6m+26＝0时，l1与l2垂直，
即m时，l1与l2垂直．
（2）当 时，l1与l2平行，
即 m＝﹣7时，l1与l2平行，此时，两条直线l1：﹣2x+2y＝13，l2：﹣2x+2y＝﹣8，
此时，两平行线间的距离为 ．
本题主要考查两条直线垂直、平行的性质，两条平行线间的距离公式，属于基础题．
21、（1）；（2）26；（3）直线恒过定点．证明见解析
【解析】
（1）设圆心，根据则，求得和圆的半径，即可得到圆的方程；
（2）设，化简得，根据圆的性质，即可求解；
（3）设，圆方程，根据两圆相交弦的性质，求得相交弦的方程，进而可判定直线恒过定点．
【详解】
（1）由题意知，圆心在直线上，设圆心为，
又因为圆过点,
则，即，解得，
所以圆心为，半径，
所以圆方程为．
（2）设，则，
又由，
所以，
即的最小值为．
（3）设，则以为直径的圆圆心为，半径为，
则圆方程为，
整理得，
直线为圆与圆的相交弦，
两式相减，可得得直线方程，
即，
令，解得，即直线恒过定点．
本题主要考查了圆的综合应用，其中解答中涉及到圆的标准方程的求解，圆的最值问题的求解，以及两圆的相交弦方程的求解及应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．