2025届山东省淄博第七中学高一数学第二学期期末质量检测试题含解析.doc

2025届山东省淄博第七中学高一数学第二学期期末质量检测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知数据，2的平均值为2，方差为1，则数据相对于原数据( )
A．一样稳定 B．变得比较稳定
C．变得比较不稳定 D．稳定性不可以判断
2．已知三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B．4 C． D．
3．在区间内随机取一个实数a，使得关于x的方程有实数根的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．函数的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
5．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量＝，＝(cosA，sinA)，若与夹角为，则acosB＋bcosA＝csinC，则角B等于(　　)
A． B． C． D．
6．在1和19之间插入个数，使这个数成等差数列，若这个数中第一个为，第个为，当取最小值时，的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P﹣ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD，E为棱PA的中点，则异面直线AB与CE所成角的正弦值为（　　）

A． B． C． D．
8．将数列中的所有项排成如下数阵:其中每一行项数是上一行项数的倍，且从第二行起每-行均构成公比为的等比数列，

记数阵中的第列数构成的数列为，为数列的前项和，若，则等于( )
A． B． C． D．
9．在中，若，则此三角形为（ ）三角形．
A．等腰 B．直角 C．等腰直角 D．等腰或直角
10．如图，在正方体中，，分别是中点，则异面直线与所成角大小为（ ）．

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若三边长分别为3，5，的三角形是锐角三角形，则的取值范围为______.
12．若的两边长分别为和，其夹角的余弦为，则其外接圆的面积为______________；
13．已知等比数列的前项和为，若，且，则_____．
14．设函数满足，当时，，则=________.
15．已知扇形的面积为，圆心角为，则该扇形半径为__________．
16．若直线上存在点可作圆的两条切线，切点为，且，则实数的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．将正弦曲线如何变换可以得到函数的图像，请写出变换过程，并画出一个周期的闭区间的函数简图.
18．已知向量，，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
19．已知向量，向量，向量，记与的夹角为．
(Ⅰ)求
(Ⅱ)求向量与向量的夹角的取值范围．
20．关于的不等式的解集为.
（1）求实数的值；
（2）若，求的值.
21．已知圆，过点的直线与圆相交于不同的两点，．
（1）若，求直线的方程．
（2）判断是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
根据均值定义列式计算可得的和，从而得它们的均值，再由方差公式可得，从而得方差．然后判断．
【详解】
由题可得：平均值为2，
由，，
所以变得不稳定.
故选：C.
本题考查均值与方差的计算公式，考查方差的含义．属于基础题．
2、B
【解析】
依据题中数据，利用勾股定理可判断出从而可得三棱锥各面都为直角三角形，进而可知外接圆的直径，即可求出三棱锥的外接球的表面积
【详解】

如图，因为 ,
又，,
从而可得三棱锥各面都为直角三角形，CD是三棱锥的外接球的直径，
在中，,,
即 ，，故选B．
本题主要考查学生空间想象以及数学建模能力，能够依据条件建立合适的模型是解题的关键．
3、C
【解析】
由关于x的方程有实数根，求得，再结合长度比的几何概型，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，关于x的方程有实数根，
则满足，解得，
所以在区间内随机取一个实数a，
使得关于x的方程有实数根的概率为.
故选：C.
本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
4、D
【解析】
由可求得所处的范围，进而得到函数最大值.
【详解】

的最大值为
故选：
本题考查函数最值的求解，关键是明确余弦型函数的值域，属于基础题.
5、B
【解析】
根据向量夹角求得角 的度数，再利用正弦定理求得 即得解.
【详解】
由已知得：
所以 所以
由正弦定理得：
所以
又因为
所以 因为
所以
所以
故选B.
本题考查向量的数量积和正弦定理，属于中档题.
6、B
【解析】
设等差数列公差为,可得,再利用基本不等式求最值,从而求出答案.
【详解】
设等差数列公差为,则,从而,
此时,故,
所以,
即,当且仅当,即时取“=”,
又,解得,
所以,所以,
故选:B.
本题主要考查数列和不等式的综合运用,需要学生对所学知识融会贯通,灵活运用.
7、B
【解析】
由异面直线所成角的定义及求法，得到为所求，连接，由为直角三角形，即可求解．
【详解】
在四棱锥中，，可得即为异面直线与所成角，
连接，则为直角三角形，
不妨设，则，所以,
故选B．

本题主要考查了异面直线所成角的作法及求法，其中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
8、C
【解析】
先确定为第11行第2个数，由可得，最后根据从第二行起每一行均构成公比为的等比数列即可得出结论．
【详解】
∵其中每一行项数是上一行项数的倍，第一行有一个数，
前10行共计个数，即为第11行第2个数，
又∵第列数构成的数列为，，
∴当时，，
∴第11行第1个数为108，
∴，
故选：C.
本题主要考查数列的性质和应用，本题解题的关键是为第11行第2个数，属于中档题．
9、B
【解析】
由条件结合正弦定理即可得到，由此可得三角形的形状．
【详解】
由于在中，有，根据正弦定理可得；
所以此三角形为直角三角形；、
故答案选B
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
10、C
【解析】
通过中位线定理可以得到在正方体中，可以得到所以这样找到异面直线与所成角，通过计算求解．
【详解】
分别是中点，所以有而，因此
异面直线与所成角为在正方体中，,
所以，故本题选C．
本题考查了异面直线所成的角．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由三边长分别为3，5，的三角形是锐角三角形，若5是最大边，则，解得范围，若是最大边，则，解得范围，即可得出．
【详解】
解：由三边长分别为3，5，的三角形是锐角三角形，
若5是最大边，则，解得．
若是最大边，则，解得．
综上可得：的取值范围为．
故答案为：．
本题考查了不等式的性质与解法、余弦定理、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12、
【解析】
首先根据余弦定理求第三边，再求其对边的正弦值，最后根据正弦定理求半径和面积.
【详解】
设第三边为，，
解得：，
设已知两边的夹角为，，那么，
根据正弦定理可知，,
外接圆的面积.
故填：.
本题简单考查了正余弦定理，考查计算能力，属于基础题型.
13、4或1024
【解析】
当时得到，当时，代入公式计算得到，得到答案.
【详解】
比数列的前项和为，
当时：易知，代入验证，满足，故
当时：

故答案为：4或1024
本题考查了等比数列，忽略掉的情况是容易发生的错误.
14、
【解析】
由已知得f（）=f（）+sin=f（）+sin+sin=f（）+sin+sin+sin，由此能求出结果．
【详解】
∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx，
当0≤x＜π时，f（x）=0，
∴f（）=f（）+sin
=f（）+sin+sin
=f（）+sin+sin+sin
=0+
=．
故答案为：．
本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
15、2
【解析】
将圆心角化为弧度制，再利用扇形面积得到答案.
【详解】
圆心角为
扇形的面积为
故答案为2
本题考查了扇形的面积公式，属于简单题.
16、
【解析】
试题分析：若，则，直线上存在点可作和的两条切线等价于直线与圆有公共点，由圆心到直线的距离公式可得,解之可得.
考点：点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系的运用.
【方法点晴】本题主要考查了点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系的运用，涉及到圆心到直线的距离公式和不等式的求解，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，本题的解答中直线上存在点可作和的两条切线等价于直线与圆有公共点是解答的关键．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、答案见解析
【解析】
利用函数函数的图像变换规律和五点作图法可解.
【详解】
由函数的图像上的每一点保持纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数的图像,
再将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像.
然后再把函数的图像上每一个点的横坐标保持不变，纵坐标扩大为原来的2倍，得到函数的图像.
作函数的图像
列表得

0
1
0

0
函数图像为

本题考查函数的图像变换的过程叙述和作出函数的一个周期的简图，属于基础题.
18、（1）；（2）
【解析】
（1）由向量垂直的坐标运算可得，再求解即可；
（2）利用三角函数诱导公式可得原式，再构造齐次式求解即可.
【详解】
解：（1）因为，所以，
因为，，所以，
即，故.
（2）

.
本题考查了向量垂直的坐标运算，重点考查了三角函数诱导公式及构造齐次式求值，属中档题.
19、 (Ⅰ) ； (Ⅱ) .
【解析】
（Ⅰ）由向量夹角公式可求，再由三角函数的诱导公式，化简得原式，利用三角函数的基本关系式，即可求解.
（Ⅱ）作出图象，结合直角中，求得，进而得到， ，即可求得向量与向量的夹角的取值范围.
【详解】
（Ⅰ）由向量夹角公式可求，
又由，
因为 ，所以，
故原式=．
（Ⅱ）如图所示，向量的终点在以点为圆心、半径为的圆上，是圆的两条切线，切点分别为，
在直角中，，可得，即
所以，
因为， 所以， ，
所以向量与向量的夹角的取值范围是.

本题主要考查了向量的数量积的运算公式，向量的夹角公式的应用，以及诱导公式的化简求值问题，其中解答中熟记向量的夹角公式和向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
20、（1）；（2）.
【解析】
（1）由行列式的运算法则，得原不等式即，而不等式的解集为，采用比较系数法，即可得到实数的值；
（2）把代入，求得，进一步得到，再由两角差的正切公式即可求解.
【详解】
（1）原不等式等价于，
由题意得不等式的解集为，故是方程的两个根，
代入解得，所以实数的值为.
（2）由，得，即.
，

本题考查了行列式的运算法则、由一元二次不等式的解集求参数值、二倍角的正切公式以及两角差的正切公式，需熟记公式，属于基础题.
21、（1）或．（2）是，定值．
【解析】
（1）根据题意设出，再联立直线方程和圆的方程，得到，，然后由列式，再将的值代入求解，即可求出；
（2）先根据特殊情况，当直线与轴垂直时，求出，再说明当直线与轴不垂直时， 是否成立，即可判断．
【详解】
（1）由已知得不与轴垂直，不妨设，，．
联立消去得，
则有
，
又，，

，解得或．
所以，直线的方程为或．
（2）当直线与轴垂直时（斜率不存在），，的坐标分别为，，
此时．
当不与轴垂直时，
又由（1），，且，
所以．
综上，为定值．
本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，韦达定理的应用，数量积的坐标表示，以及和圆有关的定值问题的解法的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．