山东省无棣县鲁北高新技术开发区实验学校2025年高一下数学期末调研试题含解析.doc

山东省无棣县鲁北高新技术开发区实验学校2025年高一下数学期末调研试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，边上的高，且，则等于( )
A． B． C． D．
2．若直线的倾斜角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，，分别是轴和轴上的动点，若直线恰好与以为直径的圆相切，则圆面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．函数的值域为
A．[1, ] B．[1,2] C．[ ,2] D．[
5．已知角以坐标系中为始边，终边与单位圆交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，且，，则( )
A． B． C． D．
7．下列函数中周期为，且图象关于直线对称的函数是( )
A． B．
C． D．
8．若两等差数列，前项和分別为，，满足，则的值为( ).
A． B． C． D．
9．在中，内角，，所对的边分别为，，.若的面积为，则角=（ ）
A． B．
C． D．
10．设定义域为的奇函数是增函数，若对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．有五条线段,长度分别为2,3,5,7,9,从这五条线段中任取三条,则所取三条线段能构成一个三角形的概率为___________．
12．一个扇形的圆心角是2弧度，半径是4，则此扇形的面积是______.
13．若是等比数列，，，且公比为整数，则______.
14．下列命题：
①函数的最小正周期是；
②在直角坐标系中，点，将向量绕点逆时针旋转得到向量，则点的坐标是；
③在同一直角坐标系中，函数的图象和函数的图象有两个公共点；
④函数在上是增函数．
其中，正确的命题是________（填正确命题的序号）．
15．在平面直角坐标系中，点，，若直线上存在点使得，则实数的取值范围是_____．
16．假设我国国民生产总值经过10年增长了1倍，且在这10年期间我国国民生产总值每年的年增长率均为常数，则______.（精确到）（参考数据）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数的图象过点.
（1）求的值；
（2）判断的奇偶性并证明.
18．在四棱锥中，，．
（1）若点为的中点，求证：平面；
（2）当平面平面时，求二面角的余弦值．

19．如图，在半径为、圆心角为的扇形的弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点在上，设矩形的面积为,
（1）按下列要求写出函数的关系式：
① 设，将表示成的函数关系式；
② 设，将表示成的函数关系式，
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出的最大值．
20．在中，内角所对的边分别为.已知，.
（I）求的值；
（II）求的值.
21．如图，在四边形中，.

（1）若为等边三角形，且是的中点，求.
（2）若，，求.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
在中得到，，在中得到，利用面积公式计算得到.
【详解】
如图所示：
在中：，根据勾股定理得到
在中：利用勾股定理得到
， 故
故选A

本题考查了勾股定理，面积公式，意在考查学生解决问题的能力.
2、B
【解析】
根据题意可得：，所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将代入计算即可求出值．
【详解】
由于直线的倾斜角为，所以，
则
故答案选B
本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
3、A
【解析】
根据题意画出图像，数形结合，根据圆面积最小的条件转化为直径等于原点到直线的距离，再求解圆面积即可.
【详解】
根据题意画出图像如图所示，

圆心为线段中点，
为直角三角形，所以，
作直线且交于点，
直线与圆相切，所以，
要使圆面积的最小，即使半径最小，
由图知，当点、、共线时，圆的半径最小，
此时原点到直线的距离为，
由点到直线的距离公式： ，解得，
所以圆面积的最小值.
故选：A
本题主要考查点到直线距离公式和圆切线的应用，考查学生分析转化能力和数形结合的思想，属于中档题.
4、D
【解析】
因为函数，平方求出的取值范围，再根据函数的性质求出的值域.
【详解】
函数定义域为： ，
因为，
又，
所以的值域为.
故选D.
本题考查函数的值域，此题也可用三角换元求解.求函数值域常用方法：单调性法，换元法，判别式法，反函数法，几何法，平方法等.
5、A
【解析】
根据题意可知的值，从而可求的值.
【详解】
因为，，则.
故选A.
本题考查任意角的三角函数的基本计算，难度较易. 若终边与单位圆交于点，则.
6、C
【解析】
根据同角公式求出，后，根据两角和的正弦公式可得.
【详解】
因为，所以，
因为，所以.
因为，所以，
因为，所以.
所以

.
故选：C
本题考查了同角公式，考查了两角和的正弦公式，拆解是解题关键，属于中档题.
7、B
【解析】
因为，所以选项A,B,C,D的周期依次为又当时，选项A,B,C,D的值依次为所以只有选项A,B关于直线对称，因此选B.
考点：三角函数性质
8、B
【解析】
解：因为两等差数列、前项和分别为、，满足，故
,选B
9、C
【解析】
由三角形面积公式,结合所给条件式及余弦定理,即可求得角A.
【详解】
中,内角,,所对的边分别为,,
则
由余弦定理可知
而由题意可知,
代入可得
所以
化简可得
因为
所以
故选:C
本题考查了三角形面积公式的应用,余弦定理边角转化的应用,属于基础题.
10、A
【解析】
由题意可得，即为，
可得恒成立，讨论是否为0，结合换元法和基本不等式，可得所求范围．
【详解】
解：由题意可得，
即为，
可得恒成立，
当时，上式显然成立；
当时，可得，
设，，
可得，
由，可得，
可得，即，
故选：A．
本题主要考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和换元法，考查化简运算能力，属于中档题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
列出所有的基本事件，并找出事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事件，再利用古典概型的概率公式计算出所求事件的概率．
【详解】
所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共个，
其中，事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事件有：、、，共个，
由古典概型的概率公式可知，事件“所取三条线段能构成一个三角形”的概率为，
故答案为．
本题考查古典概型的概率的计算，解题的关键就是列举基本事件，常见的列举方法有：枚举法和树状图法，列举时应遵循不重不漏的基本原则，考查计算能力，属于中等题．
12、16
【解析】
利用公式直接计算即可.
【详解】
扇形的面积.
故答案为：.
本题考查扇形的面积，注意扇形的面积公式有两个：，其中为扇形的半径，为圆心角的弧度数，为扇形的弧长，可根据题设条件合理选择一个，本题属于基础题.
13、512
【解析】
由题设条件知和是方程的两个实数根，解方程并由公比q为整数，知，，由此能够求出公比，从而得到.
【详解】
是等比数列，
，，
，，
和是方程的两个实数根，
解方程，
得，，
公比q为整数，
，，
，解得，
.故答案为：512
本题考查等比数列的通项公式的求法，利用了等比数列下标和的性质，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.
14、①②④
【解析】
由余弦函数的周期公式可判断①；由任意角的三角函数定义可判断②；由余弦函数和一次函数的图象可判断③；由诱导公式和余弦函数的单调性可判断④．
【详解】
函数y＝cos（﹣2x）即y＝cos2x的最小正周期是π，故①正确；
在直角坐标系xOy中，点P（a，b），
将向量绕点O逆时针旋转90°得到向量，
设a＝rcosα，b＝rsinα，可得rcos（90°+α）＝﹣rsinα＝﹣b，
rsin（90°+α）＝rcosα＝a，则点Q的坐标是（﹣b，a），故②正确；
在同一直角坐标系中，函数y＝cosx的图象和函数y＝x的图象有一个公共点，故③错误；
函数y＝sin（x）即y＝﹣cosx在[0，π]上是增函数，故④正确．
故答案为①②④．

本题考查余弦函数的图象和性质，主要是周期性和单调性，考查数形结合思想和化简运算能力，属于基础题．
15、.
【解析】
设由，求出点轨迹方程，可判断其轨迹为圆，点又在直线，转化为直线与圆有公共点，只需圆心到直线的距离小于半径，得到关于的不等式，求解，即可得出结论.
【详解】
设，，，
，
整理得，又点在直线，
直线与圆共公共点，
圆心到直线的距离，
即.
故答案为:.
本题考查求曲线的轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题.
16、
【解析】
根据题意，设10年前的国民生产总值为，则10年后的国民生产总值为，结合题意可得，解可得的值，即可得答案．
【详解】
解：根据题意，设10年前的国民生产总值为，则10年后的国民生产总值为，
则有，
即，
解可得：，
故答案为：．
本题考查函数的应用，涉及指数、对数的运算，关键是得到关于的方程，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），（2）奇函数，证明见解析
【解析】
（1）将代入解析式，解方程即可.
【详解】
（1）由题知：，解得.
（2）.
，定义域为：.
，
.
所以，
所以为奇函数.
本题第一问考查对数的运算，第二问考查函数奇偶的判断，属于中档题.
18、（1）见解析； （2）.
【解析】
(I)结合平面与平面平行判定,得到平面BEM平行平面PAD,结合平面与平面性质,证明结论.(II)建立空间坐标系,分别计算平面PCD和平面PDB的法向量,结合向量数量积公式,计算余弦值,即可.
【详解】
(Ⅰ)取的中点为，连结，.
由已知得，为等边三角形，.
∵，，
∴，
∴，∴.
又∵平面，平面，
∴∥平面.
∵为的中点，为的中点，∴∥.
又∵平面，平面，
∴∥平面.
∵，∴平面∥平面.
∵平面，∴∥平面.

(Ⅱ)连结，交于点，连结，由对称性知，为的中点，且，.
∵平面平面，，
∴平面，，.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.
则(0，，0)，(3，0，0)，(0，0，1).
易知平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
则，，∴，
∵，，∴.
令，得，∴，
∴.
设二面角的大小为，则.
本道题考查了平面与平面平行判定和性质,考查了空间向量数量积公式,关键建立空间坐标系,难度偏难.
19、（Ⅰ），；
（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（1）①通过求出矩形的边长，求出面积的表达式；②利用三角函数的关系，求出矩形的邻边，求出面积的表达式；（2）利用（1）②的表达式，化为一个角的一个三角函数的形式，根据的范围确定矩形面积的最大值.
试题解析：（1）①因为，所以，
所以，．
②当时，，则，又，
所以，
所以，（）．
（2）由②得，，
当时，取得最大值为．
考点：1.三角函数中的恒等变换；2.两角和与差的正弦函数.
【方法点睛】本题主要考查的是函数解析式的求法，三角函数的最值的确定，三角函数公式的灵活运用，计算能力，属于中档题，此题是课本题目的延伸，如果（2）选择（1）①中的解析式，需要用到导数求解，麻烦，不是命题者的本意，因此正确的选择是选择（1）②中的解析式，化成一个角的一个三角函数的形式，根据的范围确定矩形面积的最大值,此类题目选择正确的解析式是求解容易与否的关键.
20、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，
进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.
试题解析：（Ⅰ）解：由，及，得.
由，及余弦定理，得.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.
由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.于是，
，故
.
考点：正弦定理、余弦定理、解三角形
【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
21、（1）（2）
【解析】
（1）先由题意，结合平面向量基本定理，用表示出，再由向量的数量积运算，即可得出结果；
（2）先由向量数量积的运算，求出，再由，结合题中条件，即可得出结果.
【详解】
解：（1）为等边三角形，且，

又
是中点，

又

（2）由题意：，
，，

又

本题主要考查向量数量积的运算，熟记平面向量基本定理，以及向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.