2025年上海市松江一中高一数学第二学期期末学业质量监测试题含解析.doc

2025年上海市松江一中高一数学第二学期期末学业质量监测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图，圆的半径为1，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示成的函数，则在上的图象大致为（ ）

A． B．
C． D．
2．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A．16 B．20 C．24 D．28
3．过点作圆的切线,且直线与平行，则与间的距离是（ ）
A． B． C． D．
4．已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弦长是（ ）
A． B． C． D．
5．设公差不为零的等差数列的前项和为.若，，则
A．10 B．11 C．12 D．13
6．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱全面积与侧面积的比为（ ）
A． B． C． D．
7．椭圆中以点M(1，2)为中点的弦所在直线斜率为（ ）
A． B． C． D．
8．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的（ ）

A．5 B．4 C．3 D．9
9．若是2与8的等比中项，则等于( )
A． B． C． D．32
10．已知函数的值域为，且图象在同一周期内过两点，则的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若,则________.
12．设扇形的半径长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是
13．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________.
14．在锐角△中，角所对应的边分别为，若，则角等于________.
15．与30°角终边相同的角_____________.
16．已知，则的值是______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在平面直角坐标系中，直线，.
(1)直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由;
(2)已知点，若直线上存在点满足条件，求实数的取值范围.
18．已知数列中，．.
（1）写出、、；
（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明．
19．已知圆过点，，圆心在直线上，是直线上任意一点．
（1）求圆的方程；
（2）过点向圆引两条切线，切点分别为，，求四边形的面积的最小值．
20．一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本y（万元）与该月产量x（万件）之间有如下一组数据：
x
1.08
1.12
1.19
1.28
1.36
1.48
1.59
1.68
1.80
1.87
y
2.25
2.37
2.40
2.55
2.64
2.75
2.92
3.03
3.14
3.26
（1）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；
（2）①建立月总成本y与月产量x之间的回归方程；
②通过建立的y关于x的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，此时产品的总成本为多少万元？（均精确到0.001）
附注：①参考数据：=14.45，=27.31，=0.850，=1.042，=1.1．
②参考公式：相关系数：r=．回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=-
21．某校团委会组织某班以小组为单位利用周末时间进行一次社会实践活动，每个小组有5名同学，在活动结束后，学校团委会对该班的所有同学进行了测试，该班的A，B两个小组所有同学得分（百分制）的茎叶图如图所示，其中B组一同学的分数已被污损，但知道B组学生的平均分比A组同学的平均分高一分．

（1）若在B组学生中随机挑选1人，求其得分超过86分的概率；
（2）现从A、B两组学生中分别随机抽取1名同学，设其分数分别为m、n，求的概率．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
计算函数的表达式，对比图像得到答案.
【详解】
根据题意知：

到直线的距离为：

对应图像为B
故答案选B
本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.
2、B
【解析】
根据三视图可还原几何体，根据长度关系依次计算出各个侧面和上下底面的面积，加和得到表面积.
【详解】
有三视图可得几何体的直观图如下图所示：

其中：，，，
则：，，
，，

几何体表面积：
本题正确选项：
本题考查几何体表面积的求解问题，关键是能够根据三视图准确还原几何体，从而根据长度关系可依次计算出各个面的面积.
3、D
【解析】
由题意知点在圆C上，圆心坐标为，
所以，
故切线的斜率为，
所以切线方程为，即．
因为直线l与直线平行，
所以，解得，
所以直线的方程是－4x＋3y－8＝0，即4x－3y＋8＝0.
所以直线与直线l间的距离为．选D．
4、D
【解析】
由弧长公式求出圆半径，再在直角三角形中求解．
【详解】
，如图，设是中点，则，，，∴．
故选D．

本题考查扇形弧长公式，在求弦长时，常在直角三角形中求解．
5、C
【解析】
由等差数列的前n项和公式可得，恰好等于，再根据当时有可得m的值。
【详解】
，，.，，数列的公差不为零，，即.
本题考查等差数列的性质求和前n项和公式及等差数列下标和的性质，属于基础题。
6、A
【解析】
解：设圆柱底面积半径为r，则高为2πr，全面积：侧面积=[（2πr）2+2πr2]：（2πr）2
这个圆柱全面积与侧面积的比为,故选A
7、A
【解析】
先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率．
【详解】
设弦的两端点为，，代入椭圆得，
两式相减得，
即，
即，即，
即，∴弦所在的直线的斜率为，故选A.
本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系．在解决弦长的中点问题，涉及到“中点与斜率”时常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的，属于中档题.
8、B
【解析】
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出，分析循环中各变量的变化情况，可得答案.
【详解】
当时，，，满足进行循环的条件；
当时，，，满足进行循环的条件；
当时，，，满足进行循环的条件；
当时，，，不满足进行循环的条件；
故选：B
本题主要考查程序框图，解题的关键是读懂流程图各个变量的变化情况，属于基础题.
9、B
【解析】
利用等比中项性质列出等式，解出即可。
【详解】
由题意知，，∴．
故选B
本题考查等比中项，属于基础题。
10、C
【解析】
根据值域先求，再代入数据得到最大值和最小值对应相差得到答案.
【详解】
函数的值域为
即
，图象在同一周期内过两点

故答案选C
本题考查了三角函数的最大值最小值，周期，意在考查学生对于三角函数公式和性质的灵活运用和计算能力.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
先求，再代入求值得解.
【详解】
由题得
所以.
故答案为
本题主要考查共轭复数和复数的模的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
12、2
【解析】
试题分析：设扇形圆心角的弧度数为α，
则扇形面积为S=αr2=α×22=4
解得：α=2
考点：扇形面积公式．
13、.
【解析】
先根据正弦定理把边化为角，结合角的范围可得.
【详解】
由正弦定理，得．，得，即，故选D．
本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．
14、
【解析】
试题分析：利用正弦定理化简，得，因为，所以，因为为锐角，所以．
考点：正弦定理的应用．
【方法点晴】本题主要考查了正弦定理的应用、以及特殊角的三角函数值问题，其中解答中涉及到解三角形中的边角互化，转化为三角函数求值的应用，解答中熟练掌握正弦定理的变形，完成条件的边角互化是解答的关键，注重考查了分析问题和解答问题的能力，同时注意条件中锐角三角形，属于中档试题．
15、
【解析】
根据终边相同的角的定义可得答案.
【详解】
与30°角终边相同的角，
故答案为：
本题考查了终边相同的角的定义，属于基础题.
16、
【解析】
根据两角差的正切公式即可求解
【详解】

故答案为：
本题考查两角差的正切公式的用法，属于基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）过定点，定点坐标为；（2）或.
【解析】
(1) 假设直线过定点，则关于恒成立，利用即可结果；(2)直线上存在点,求得 ,故点在以为圆心，2为半径的圆上，根据题意，该圆和直线有交点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，由此求得实数的取值范围.
【详解】
（1）假设直线过定点，
则，即
关于恒成立，
∴，∴，
所以直线过定点，定点坐标为
（2）已知点,，设点，
则，，
∵,∴,∴
所以点的轨迹方程为圆，
又点在直线：上，
所以直线：与圆有公共点，
设圆心到直线的距离为，则，
解得实数的范围为或.
本题主要考查直线过定点问题以及直线与圆的位置关系，属于中档题. 解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.
18、（1），，；（2）猜想，证明见解析.
【解析】
（1）利用递推公式可计算出、、的值；
（2）根据数列的前四项可猜想出，然后利用数学归纳法即可证明出猜想成立.
【详解】
（1），，则，
，；
（2）猜想，下面利用数学归纳法证明.
假设当时成立，即，
那么当时，，
这说明当时，猜想也成立.
由归纳原理可知，.
本题考查利用数列递推公式写出数列中的项，同时也考查了利用数学归纳法证明数列通项公式，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
19、（1）（2）
【解析】
（1）首先列出圆的标准方程，根据条件代入，得到关于的方程求解；（2）根据切线的对称性，可知，，这样求面积的最小值即是求的最小值，当点是圆心到直线的距离的垂足时，最小.
【详解】
解：（1）设圆的方程为．
由题意得解得
故圆的方程为．
另解：先求线段的中垂线与直线的交点，即解得从而得到圆心坐标为，再求，故圆的方程为．
（2）设四边形的面积为，则．
因为是圆的切线，所以，
所以，即．
因为，所以．
因为是直线上的任意一点，所以，
则，即．
故四边形的面积的最小值为．
本题考查了圆的标准方程，和与圆，切线有关的最值的计算，与圆有关的最值计算，需注意数形结合.
20、（1）见解析；（2）①；②3.385万元．
【解析】
（1）由已知条件利用公式，求得的值，再与比较大小即可得结果；（2）根据所给的数据，做出变量的平均数，根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出的值，写出线性回归方程；将代入所求线性回归方程求出对应的的值即可.
【详解】
（1）由已知条件得：，
这说明与正相关，且相关性很强．
（2）①由已知求得，
所以所求回归直线方程为．
②当时，（万元），
此时产品的总成本为3.385万元．
本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
21、（1）（2）
【解析】
（1）求出A组学生的平均分可得B组学生的平均分，设被污损的分数为X，列方程得X，从而得到B组学生的分数，其中有3人分数超过86分，由此能求出B组学生中随机挑选1人，其得分超过86分概率．
（2）利用列举法写出在A、B两组学生中随机抽取1名同学，其分数组成的所有基本事件（m，n），利用古典概型求出|m﹣n|≥8的概率．
【详解】
（1）A组学生的平均分为，所以B组学生的平均分为86分
设被污损的分数为，则，解得
所以B组学生的分数为91、93、83、88、75，其中有3人分数超过86分
在B组学生中随机挑选1人，其得分超过86分概率为.
（2）A组学生的分数分别是94、80、86、88、77,B组学生的分数为91、93、83、88、75，
在A、B两组学生中随机抽取1名同学，其分数组成的基本事件（m，n），有
（94,91），（94,93），（94,83）,（94,88），（94,75），
（80,91），（80,93），（80,83），（80,88），（80,75），
（86,91），（86,93），（86,83），（86,88），（86,75），
（88,91），（88,93），（88,83），（88,88），（88,75），
（77,91），（77,93），（77,83），（77,88），（77,75），共25个
随机各抽取1名同学的分数满足的基本事件有（94,83），（94，75），（80,91），（80,93），（80,88），（86,75），（88,75），（77,91），（77,93），（77,88），共10个
∴的概率为.
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法、茎叶图等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题．