2025届合肥市第六中学数学高一下期末调研试题含解析.doc

2025届合肥市第六中学数学高一下期末调研试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为
A． B． C． D．（）
2．已知，，且，则在方向上的投影为( )
A． B． C． D．
3．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列命题：
①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则.其中正确的命题是（ ）
A．②③ B．①③ C．②④ D．①④
4．若实数满足，则的最大值是（）
A． B． C． D．
5．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢？”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果n=( )

A．2 B．3 C．4 D．5
6．以下有四个说法：
①若、为互斥事件，则；
②在中，，则；
③和的最大公约数是；
④周长为的扇形，其面积的最大值为；
其中说法正确的个数是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，则的值等于( )
A．2 B． C． D．
8．在平行四边形ABCD中，若，则必有（　　）
A． B．或
C．ABCD是矩形 D．ABCD是正方形
9．在计算机BASIC语言中，函数表示整数a被整数b除所得的余数，如.用下面的程序框图，如果输入的，，那么输出的结果是（ ）

A．7 B．21 C．35 D．49
10．奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在等比数列中，，的值为________
12．已知均为正数，则的最大值为______________.
13．过点，且与直线垂直的直线方程为 ．
14．方程的解为_________.
15．设，则函数是__________函数（奇偶性）.
16．已知，，则当最大时，________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，为常数，且，，．
（I）若方程有唯一实数根，求函数的解析式．
（II）当时，求函数在区间上的最大值与最小值．
（III）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18．已知不共线的向量，，，.
（1）求与的夹角的余弦值；
（2）求.
19．在中，角，，的对边分别是，，，， ．

（1）若，求．
（2）若在线段上，且，，求的长．
20．为了解某城市居民的月平均用电量情况，随机抽查了该城市100户居民的月平均用电量（单位：度），得到频率分布直方图（如图所示）.数据的分组依次为、、、、、、.

（1）求频率分布直方图中的值；
（2）求该城市所有居民月平均用电量的众数和中位数的估计值；
（3）在月平均用电量为的四组用户中，采用分层抽样的方法抽取户居民，则应从月用电量在居民中抽取多少户？
21．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点.
（1）求的值；
（2）已知为锐角，，求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
解：

2、C
【解析】
通过数量积计算出夹角，然后可得到投影.
【详解】
，，
即，，
在方向上的投影为，
故选C.
本题主要考查向量的几何背景，建立数量积方程是解题的关键，难度不大.
3、B
【解析】
利用空间中线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定与性质即可作答.
【详解】
垂直于同一条直线的两个平面互相平行,故①对；平行于同一条直线的两个平面相交或平行，故②错；若，，，则或与为异面直线或与为相交直线，故④错；若，则存在过直线的平面，平面交平面于直线，，又因为，所以，又因为平面，所以，故③对.
故选B.
本题主要考查空间中，直线与平面平行或垂直的判定与性质,以及平面与平面平行或垂直的判定与性质，属于基础题型.
4、B
【解析】
根据，将等式转化为不等式，求的最大值.
【详解】
,
，
，
解得，，
的最大值是.
故选B.
本题考查了基本不等式求最值，属于基础题型.
5、C
【解析】
开始，输入，
则，判断，否，循环，，
则，判断，否，循环，
则，判断，否，循环，
则，判断，是，输出，结束.故选择C.
6、C
【解析】
设、为对立事件可得出命题①的正误；利用大边对大角定理和余弦函数在上的单调性可判断出命题②的正误；列出和各自的约数，可找出两个数的最大公约数，从而可判断出命题③的正误；设扇形的半径为，再利用基本不等式可得出扇形面积的最大值，从而判断出命题④的正误.
【详解】
对于命题①，若、为对立事件，则、互斥，则，命题①错误；
对于命题②，由大边对大角定理知，，且，函数在上单调递减，所以，，命题②正确；
对于命题③，的约数有、、、、、，的约数有、、、、、、、，则和的最大公约数是，命题③正确；
对于命题④，设扇形的半径为，则扇形的弧长为，
扇形的面积为，由基本不等式得，
当且仅当，即当时，等号成立，所以，扇形面积的最大值为，命题④错误.故选C.
本题考查命题真假的判断，涉及互斥事件的概率、三角形边角关系、公约数以及扇形面积的最值，判断时要结合这些知识点的基本概念来理解，考查推理能力，属于中等题.
7、D
【解析】
根据分段函数的定义域以及函数解析式的关系，代值即可.
【详解】

故选：D
本题考查了分段函数的求值问题，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题.
8、C
【解析】
由，化简可得，得到,又由四边形为平行四边形，即可得到答案.
【详解】
由，则，
即，化简可得，
所以，即,
又由四边形为平行四边形，所以该四边形为矩形，
故选C.
本题主要考查了向量的基本运算，以及向量的垂直关系的应用，其中解答中熟记向量的基本运算，以及向量的垂直的判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9、B
【解析】
模拟执行循环体，即可得到输出值.
【详解】
，，
，，继续执行得
，，继续执行得
，，结束循环，
输出.
故选：B.
本题考查循环体的执行，属程序框图基础题.
10、A
【解析】

因为函数式奇函数，在上单调递减，
根据奇函数的性质得到在上函数仍是减函数，
再根据可画出函数在上的图像，
根据对称性画出在上的图像．
根据图像得到的解集是：．
故选A．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据等比数列的性质，可得，即可求解.
【详解】
由题意，根据等比数列的性质，可得，解得.
故答案为：
本题主要考查了等比数列的性质的应用，其中解答熟记等比数列的性质，准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
12、
【解析】
根据分子和分母的特点把变形为，运用重要不等式，可以求出的最大值.
【详解】
（当且仅当
且时取等号）,
（当且仅当且时取等号），因此的最大值为.
本题考查了重要不等式，把变形为是解题的关键.
13、
【解析】
直线垂直表示斜率乘积为-1，所以可得新直线斜率，代入点即可．
【详解】
直线的斜率等于-1，所以与之垂直直线斜率，再通过点斜式直线方程：，即．
此题考查直线垂直，直线垂直表示两直线斜率之积为-1，属于简单题目．
14、
【解析】
根据特殊角的三角函数及正切函数的周期为kπ，即可得到原方程的解．
【详解】
则
故答案为：
此题考查学生掌握正切函数的图象及周期性，是一道基础题．
15、偶
【解析】
利用诱导公式将函数的解析式进行化简，即可判断出函数的奇偶性.
【详解】
，因此，函数为偶函数.
故答案为：偶.
本题考查三角函数奇偶性的判断，解题的关键就是利用诱导公式对三角函数解析式进行化简，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
16、
【解析】
根据正切的和角公式，将用的函数表示出来，利用均值不等式求最值，求得取得最大值的，再用倍角公式即可求解.
【详解】

故可得
则
当且仅当，即时，

此时有
故答案为：.
本题考查正切的和角公式，以及倍角公式，涉及均值不等式的使用.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（I）; （II）;; （III）.
【解析】
（I）根据方程ax2+（b-1）x=0有唯一解，以及列方程求解即可;（II）根据二次函数的性质，函数的单调性，即可求得求得最值，（III）分离参数，构造函数，求出函数的最值即可.
【详解】
∵，∴，∴.
（I）方程有唯一实数根，
即方程有唯一解，
∴，解得
∴
（II）∵ ,
∴，,
若 ,
若 .
（III）解法一、当时，不等式恒成立，
即：在区间上恒成立，
设，
显然函数在区间上是减函数，
,
当且仅当时，不等式在区间上恒成立，
因此 .
解法二：因为当时，不等式恒成立,
所以时，的最小值,
当时，在单调递减，恒成立,
而,
所以时不符合题意．
当时，在单调递增，
的最小值为,
所以，即即可,
综上所述，.
18、（1）； （2）.
【解析】
（1）先计算出，再代入公式，求出余弦值；
（2）直接利用公式计算求值.
【详解】
（1）设的夹角为，∵ ，∴，
又，可得，∴.
（2）.
本题考查利用数量积求向量的夹角、模的计算，考查基本运算求解能力.
19、（1）；（2）
【解析】
（1）根据正弦定理化简边角关系式，可整理出余弦定理形式，得到；再根据正弦定理求得，根据同角三角函数得到；根据两角和差公式求得；（2）设，在中利用余弦定理构造方程求得，从而可证得，利用勾股定理求得结果.
【详解】
（1）
由正弦定理得：
整理得：

由正弦定理得：

（2）设，则：，
在中，利用余弦定理得：
，解得：（舍）或
，，又，即

本题考查正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到正弦定理化简边角关系式、同角三角函数求解、两角和差公式的运算，考查对于定理和公式的应用，属于常规题型.
20、（1）；（2）众数为度，中位数为度；（3）户.
【解析】
（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值；
（2）利用频率分布直方图中最高矩形底边的中点值为众数，可得出该城市所有居民月平均用电量的众数，利用中位数左边的矩形面积之和为可求得该城市所有居民月平均用电量的中位数；
（3）计算出月用电量在的用户在月平均用电量为的用户中所占的比例，乘以可得出结果.
【详解】
（1）因为，所以；
（2）月平均用电量众数的估计值为度，
，
故中位数，所以，，解得，
故月平均用电量中位数的估计值为度；
（3）月均用电量在、、、的用户分别为户、户、户、户，
其中，月均用电量为的用户在月平均用电量为的用户中所占的比例为，
所以在月均用电量为的用户中应抽取（户）.
本题考查利用频率分布直方图求参数、中位数、众数，同时也考查了利用分层抽样求样本容量，考查计算能力，属于基础题.
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用三角函数的定义可求出，再根据二倍角的余弦公式即可求解.
（2）由（1）可得，再利用同角三角函数的基本关系可得，由，利用两角差的正切公式即可求解.
【详解】
解：（1）依题意得，，，
所以.
（2）由（1）得，，
故.
因为，，，
所以，
又因为，
所以，.
所以，
所以

.
本小题主要考查同角三角函数关系、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想等.