2025届贵州省贵阳市第二中学高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2025届贵州省贵阳市第二中学高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，根据下列频率分布条形图（部分）可知，该校女教师的人数为（ ）

A．93 B．123 C．137 D．167
3．己知向量，，，则“”是“”的( )
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
5．已知函数向左平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则的最小值为( )
A． B． C． D．
6．如图，在下列四个正方体中，，，，，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与所在平面平行的是( )
A． B．
C． D．
7．已知是锐角，那么2是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．小于的正角 D．第一象限或第二象限
8．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个结论：
①，，，则；②若，，，则；
③若，，，则；④若，，，则.
其中正确结论的序号是
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
9．若直线与圆交于两点，关于直线对称，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
10．若函数在一个周期内的图象如图所示，且在轴上的截距为，分别是这段图象的最高点和最低点，则在方向上的投影为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知四面体的四个顶点均在球 的表面上，为球的直径，，四面体的体积最大值为____
12．设，，，则，，从小到大排列为______
13．___________.
14．在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为________
15．函数在内的单调递增区间为 ____.
16．在中，内角，，的对边分别为，，.若，，成等比数列，且，则________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在四棱锥中，平面，，，，点Q在棱AB上.
（1）证明：平面.
（2）若三棱锥的体积为，求点B到平面PDQ的距离.

18．某地区2012年至2018年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
年份
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
年份代号
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
（1）已知y与x线性相关，求y关于x的线性回归方程；
（2）利用（1）中的线性回归方程，预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入.
（附：线性回归方程中，，，其中为样本平均数）
19．设数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
20．某百货公司1～6月份的销售量与利润的统计数据如下表：
月份
1
2
3
4
5
6
销售量x（万件）
10
11
13
12
8
6
利润y（万元）
22
25
29
26
16
12
附：
（1）根据2～5月份的统计数据，求出关于的回归直线方程
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过万元，则认为得到的回归直线方程是理想的，试问所得回归直线方程是否理想？（参考公式：，）
21．在公比不为1的等比数列中，，且依次成等差数列
（1）求数列的通项公式；
（2）令，设数列的前项和，求证：
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
作出可行域，利用平移法即可求出．
【详解】
作出不等式组表示的平面区域，如图所示：
当直线平移至经过直线与直线的交点时，取得最大值，．
故选：C．
本题主要考查简单线性规划问题的解法应用，属于基础题．
2、C
【解析】
.
3、A
【解析】
先由题意，得到，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.
【详解】
因为，，所以，
若，则，所以；
若，则，所以；
综上，“”是“”的充要条件.
故选：A
本题主要考查向量共线的坐标表示，以及命题的充要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及向量共线的坐标表示即可，属于常考题型.
4、B
【解析】
根据，在直线异侧或其中一点在直线上列不等式求解即可.
【详解】
因为直线与线段相交，
所以，，在直线异侧或其中一点在直线上，
所以，
解得或，故选B.
本题主要考查点与直线的位置关系，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.
5、A
【解析】
根据函数的图象变换规律，三角函数的图象关于轴对称,即为偶函数.，求得的最小值．
【详解】
把函数向左平移个单位长度后.
可得的图象.
再根据所得图象关于轴对称,即为偶函数.
所以
即，
当时，的值最小.
所以的最小值为：
故选：A
本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．
6、A
【解析】
根据线面平行判定定理以及作截面逐个分析判断选择.
【详解】
A中，因为,所以可得平面,又，可得平面，从而平面平面
B中，作截面可得平面平面（H为C1D1中点）,
如图：

C中，作截面可得平面平面（H为C1D1中点）,
如图：

D中，作截面可得为两相交直线，因此平面与平面不平行,
如图：

本题考查线面平行判定定理以及截面，考查空间想象能力与基本判断论证能力，属中档题.
7、C
【解析】
是锐角,∴，∴是小于的正角
8、C
【解析】
利用面面垂直的判定定理判断①；根据面面平行的判定定理判断②；利用线面垂直和线面平行的性质判断③；利用线面垂直和面面平行的性质判断④
【详解】
①，，或，又，则成立，故正确
②若，，或和相交，并不一定平行于，故错误
③若，，则或，若，则并不一定平行于，故错误
④若，，，又，成立，故正确
综上所述，正确的命题的序号是①④
故选
本题主要考查了命题的真假判断和应用，解题的关键是理解线面，面面平行与垂直的判断定理和性质定理，属于基础题．
9、A
【解析】
由题意，得直线是线段的中垂线，则其必过圆的圆心，将圆心代入直线，即可得本题答案．
【详解】
解：由题意，得直线是线段的中垂线，
所以直线过圆的圆心，
圆的圆心为，
，解得.
故选：A.
本题给出直线与圆相交，且两个交点关于已知直线对称，求参数的值．着重考查了直线与圆的位置关系等知识，属于基础题.
10、D
【解析】
根据图象求出函数的解析式，然后求出点的坐标，进而可得所求结果．
【详解】
根据函数在一个周期内的图象，可得，∴．
再根据五点法作图可得，∴，
∴函数的解析式为．
∵该函数在y轴上的截距为，
∴，∴，
故函数的解析式为．
∴，
∴，
又，
∴向量在方向上的投影为．
故选D．
解答本题的关键有两个：一是正确求出函数的解析式，进而得到两点的坐标，此处要灵活运用“五点法”求出的值；二是注意一个向量在另一个向量方向上的投影的概念，属于基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、2
【解析】
为球的直径，可知与均为直角三角形，求出点到直线的距离为，可知点在球上的运动轨迹为小圆.
【详解】
如图所示，四面体内接于球，
为球的直径，，
，，过作于，
，
点在以为圆心，为半径的小圆上运动，
当面面时，四面体的体积达到最大，
.

立体几何中求最值问题，核心通过直观想象，找到几何体是如何变化的？本题求解的突破口在于找到点的运动轨迹，考查学生的空间想象能力和逻辑思维能力.
12、
【解析】
首先利用辅助角公式，半角公式，诱导公式分别求出，，的值，然后结合正弦函数的单调性对，，排序即可.
【详解】
由题知，
，

，
因为正弦函数在上单调递增，
所以.
故答案为：.
本题考查了辅助角公式，半角公式，诱导公式，正弦函数的单调区间，属于基础题.
13、
【解析】
先将写成的形式，再根据诱导公式进行求解.
【详解】
由题意得： .
故答案为：.
考查三角函数的诱导公式.
，，,
,.
14、
【解析】
根据题意结合整除中的余数问题、最小公倍数问题，进行分析求解即可．
【详解】
由题意得：一个数用3除余2，用7除也余2，
所以用3与7的最小公倍数21除也余2，
而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3，即最小的一个数为23，
同时这个数相差又是3，5，7的最小公倍数，即，
即数列的通项公式可以表示为，
故答案为：.
本题以数学文化为背景，利用数列中的整除、最小公倍数进行求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
15、
【解析】
将函数进行化简为，求出其单调增区间再结合，可得结论.
【详解】
解：，
递增区间为：，
可得
，
在范围内单调递增区间为。
故答案为：.
本题考查了正弦函数的单调区间，属于基础题。
16、
【解析】
A,B,C是三角形内角，那么，代入等式中，进行化简可得角A,C的关系，再由，，成等比数列，根据正弦定理，将边的关系转化为角的关系，两式相减可得关于的方程，解方程即得．
【详解】
因为，所以，所以.因为，，成等比数列，所以，所以，则，整理得，解得.
本题考查正弦定理和等比数列运用，有一定的综合性．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）线面垂直只需证明PD和平面内两条相交直线垂直即可，易得，另外中已知三边长通过勾股定理易得,所以平面．（2）点B到平面PDQ的距离通过求得三棱锥的体积和面积即可，而,带入数据求解即可．
【详解】
（1）证明：在中，，，所以.
所以是直角三角形，且，即.
因为平面PAD，平面PAD，所以.
因为，所以平面ABCD.
（2）解：设.
因为.，所以的面积为.
因为平面ABCD，所以三棱锥的体积为，解得.
因为，所以，所以的面积为.
则三棱锥的体积为.
在中，，，，
则.
设点B到平面PDQ的距离为h，则，解得，
即点B到平面PDQ的距离为.
此题考察立体几何的证明，线面垂直只需证明线与平面内的两条相交直线分别垂直即可，第二问考察了三棱锥等体积法，通过变化顶点和底面进行转化，属于中档题目．
18、（1）；（2）6.8千元．
【解析】
（1）由表中数据计算、，求出回归系数，得出关于的线性回归方程；
（2）利用线性回归方程计算2020年对应时的值，即可得出结论．
【详解】
（1）由表中数据，计算，
，
，
，
，
，
关于的线性回归方程为：；
（2）利用线性回归方程，计算时，（千元），
预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
本题考查线性回归方程的求法与应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查数据处理．
19、（1）；（1）.
【解析】
（1）在中，将代得： ，由两式作商得：，问题得解．
（1）利用（1）中结果求得，分组求和，再利用等差数列前项和公式及乘公比错位相减法分别求和即可得解．
【详解】
（1）由n＝1得，
因为，
当n≥1时，，
由两式作商得：（n＞1且n∈N*），
又因为符合上式，
所以（n∈N*）．
（1）设，
则bn＝n＋n·1n，
所以Sn＝b1＋b1＋…＋bn＝（1＋1＋…＋n）＋
设Tn＝1＋1·11＋3·13＋…+（n－1）·1n－1＋n·1n，①
所以1Tn＝11＋1·13＋…（n－1）·1n－1＋（n－1）·1n＋n·1n＋1，②
①－②得：－Tn＝1＋11＋13＋…＋1n－n·1n＋1，
所以Tn＝（n－1）·1n＋1＋1．
所以，
即．
本题主要考查了赋值法及方程思想，还考查了分组求和法及乘公比错位相减法求和，考查计算能力及转化能力，属于中档题．
20、 (1) ；（2）见解析.
【解析】
（1）求出，由公式，得的值，从而求出的值，从而得到关于的线性回归方程；
（2）将月份和月份的销售量值代入回归直线方程，求出预测值，并计算预测值与实际值之间的误差，结合题意来判断（1）中所得回归直线方程是否理想。
【详解】
（1）计算得，
，
，
则 ，
；
故关于的回归直线方程为．
（2）当时，，此时；
当时，，此时．
故所得的回归直线方程是理想的．
本题考查回归直线方程的应用，解题的关键就是弄清楚最小二乘法公式，并准确代入数据计算，着重考察计算能力，属于中等题。
21、 (1) (2) 见证明
【解析】
（1）根据已知条件得到关于的方程组，解方程组得的值，即得数列的通项公式；（2）先求出，，再利用裂项相消法求，不等式即得证.
【详解】
（1）设公比为，，，成等差数列，可得，
即，解得（舍去），或，
又，解得
所以.
（2）
故，
得

本题主要考查等比数列通项的求法，考查等差数列前n项和的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.