2024-2025学年上海市市北高级中学数学高一下期末复习检测模拟试题含解析.doc

2024-2025学年上海市市北高级中学数学高一下期末复习检测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设函数，则是( )
A．最小正周期为 的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
2．在中，角所对的边分别为，若.且，则的值为（ ）
A． B．
C． D．或
3．在中，内角，，的对边分别为，，.若，则
A． B． C． D．
4．在空间四边形中， ， ，，分别是， 的中点 ，，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．过点且垂直于直线的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．下列函数中同时具有性质：①最小正周期是，②图象关于点对称，③在上为减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知数列满足，，则数列的前5项和（ ）
A．15 B．28 C．45 D．66
8． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A． B．
C． D．
9．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积(弦矢+矢).弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，弦长等于的弧田.按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积为（ ）
A． B． C． D．
10．若，则（ ）
A．-4 B．3 C．4 D．-3
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知无穷等比数列的首项为，公比为q，且，则首项的取值范围是________．
12．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，则________.
13．已知，则______；的最小值为______.
14．某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．
15．已知数列满足:其中,若,则的取值范围是______.
16．在正方体中，是的中点，连接、，则异面直线、所成角的正弦值为_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．东莞市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展.通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼，摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如图：

（1）求频率分布直方图中的值，并根据频率分布直方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数和中位数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层抽样的方法，计划从这100件照片中抽出20个最佳作品，并邀请相应作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会.
①在答题卡上的统计表中填出每组相应抽取的人数：
年龄

人数

②若从年龄在的作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人至少有一人的年龄在的概率.
18．某大桥是交通要塞，每天担负着巨大的车流量.已知其车流量（单位：千辆）是时间（，单位：）的函数，记为，下表是某日桥上的车流量的数据：

0
3
6
9
12
15
18
21
24
（千辆）
3.0
1.0
2.9
5.0
3.1
1.0
3.1
5.0
3.1
经长期观察，函数的图象可以近似地看做函数（其中，，，）的图象.
(1)根据以上数据，求函数的近似解析式；
(2)为了缓解交通压力，有关交通部门规定：若车流量超过4千辆时，核定载质量10吨及以上的大货车将禁止通行，试估计一天内将有多少小时不允许这种货车通行？
19．在我国古代数学名著《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”.已知三棱维中，底面.

(1)从三棱锥中选择合适的两条棱填空_________⊥________，则该三棱锥为“鳖臑”;
(2)如图，已知垂足为，垂足为.
(i)证明:平面⊥平面;
(ii)作出平面与平面的交线,并证明是二面角的平面角.(在图中体现作图过程不必写出画法)
20．（1分）设数列{an}是公比为正数的等比数列，a1=2，a3﹣a2=1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．
21．如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱．

（1）证明FO∥平面CDE；
（2）设BC=CD，证明EO⊥平面CDE．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
函数，化简可得f（x）=–cos2x，∴f（x）是偶函数．最小正周期T==π，∴f（x）最小正周期为π的偶函数．故选D．
2、D
【解析】
首先根据余弦定理，得到或.再分别计算即可.
【详解】
因为，所以，
即：，解得：或.
当时，.
当时，.
所以或.
故选：D
本题主要考查余弦定理解三角形，熟记公式为解题的关键，属于中档题.
3、A
【解析】
根据正弦定理将题干等式化为，由C是三角形内角可知，则，有，即得A的值。
【详解】
，所以，因为，，所以，则.
本题考查运用正弦定理求三角形内角，属于基础题。
4、D
【解析】
平移两条异面直线到相交，根据余弦定理求解.
【详解】
如图所示：

设的中点为，连接，
所以，
则是所成的角或其补角，
又
根据余弦定理得：，
所以，
异面直线与所成角的为，
故选D.
本题考查异面直线所成的角和余弦定理.注意异面直线所成的角的取值范围是.
5、C
【解析】
先求出直线的斜率，再求出所求直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解.
【详解】
由题得直线的斜率为，
所以所求的直线的斜率为，
所以所求的直线方程为即.
故选：C
本题主要考查互相垂直直线的性质，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
6、C
【解析】
根据周期公式排除A选项；根据正弦函数的单调性，排除B选项；将代入函数解析式，排除D选项；根据周期公式，将代入函数解析式，余弦函数的单调性判断C选项正确.
【详解】
对于A项，，故A错误；
对于B项， ，，函数在上单调递增，则函数在上单调递增，故B错误；
对于C项，；当时，，则其图象关于点对称；当 ，，函数在区间上单调递减，则函数在区间单调递减，故C正确；
对于D项，当时，，故D错误；
故选：C
本题主要考查了求正余弦函数的周期，单调性以及对称性的应用，属于中档题.
7、C
【解析】
根据可知数列为等差数列,再根据等差数列的求和性质求解即可.
【详解】
因为,故数列是以4为公差,首项的等差数列.
故.
故选：C
本题主要考查了等差数列的判定与等差数列求和的性质与计算,属于基础题.
8、D
【解析】
分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.
详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，
所以，
又，则
故选D.
点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：
（1）定义法，若（）或（）， 数列是等比数列；
（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.
9、C
【解析】
首先根据图形计算出矢，弦，再带入弧田面积公式即可.
【详解】
如图所示：

因为，，为等边三角形.
所以，矢，弦.
.
故选：C
本题主要考查扇形面积公式，同时考查学生对题意的理解，属于中档题.
10、A
【解析】
已知等式左边用诱导公式变形后用正弦和二倍角公式化简，右边用切化弦法变形，再由二倍角公式化简后可得．
【详解】
，
，
∴，．
故选：A．
本题考查诱导公式，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握三角函数恒等变形公式，确定选用公式的顺序是解题关键．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据极限存在得出，对分、和三种情况讨论得出与之间的关系，可得出的取值范围.
【详解】
由于，则.
①当时，则，；
②当时，则，；
③当时，，解得.
综上所述：首项的取值范围是，故答案为：.
本题考查极限的应用，要结合极限的定义得出公比的取值范围，同时要对公比的取值范围进行分类讨论，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
12、
【解析】
讨论斜率不存在和斜率存在两种情况，分别计算得到答案.
【详解】
抛物线的焦点F为，
当斜率不存在时，易知，故；
当斜率存在时，设，故，即，
故，.
综上所述：.
故答案为：.
本题考查了抛物线中线段长度问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
13、5 0
【解析】
由分段函数的表达式，代入计算即可；先求出的表达式，结合分段函数的性质，求最小值即可.
【详解】
由，可得，，所以；
由的表达式，可得，
当时，，此时，
当时，，由二次函数的性质可知，，
综上，的最小值为0.
故答案为：5；0.
本题考查求函数值，考查分段函数的性质，考查函数最值的计算，考查学生的计算能力，属于基础题.
14、分层抽样.
【解析】
分析：由题可知满足分层抽样特点
详解：由于从不同龄段客户中抽取，故采用分层抽样
故答案为分层抽样．
点睛：本题主要考查简单随机抽样，属于基础题．
15、
【解析】
令，逐步计算，即可得到本题答案.
【详解】
1.当时，因为，所以；
2.当时，因为，所以；
3.当时，①若，即，有，
1）当，即，
，由题，有，得，综上，无解；
2）当，即，
，由题，有，得，综上，无解；
②若，，，
1）当，即，
，由题，有，得，综上，得；
2）当，即，
，由题，有，得，综上，得.
所以，.
故答案为： .
本题主要考查由数列递推公式确定参数取值范围的问题，分类讨论思想是解决本题的关键.
16、
【解析】
作出图形，设正方体的棱长为，取的中点，连接、，推导出，并证明出，可得出异面直线、所成的角为，并计算出、，可得出，进而得解.
【详解】
如下图所示，设正方体的棱长为，取的中点，连接、，
为的中点，则，，且，

为的中点，，，
在正方体中，且，则四边形为平行四边形，
，所以，异面直线、所成的角为，
在中，，，.
因此，异面直线、所成角的正弦值为.
故答案为：.
本题考查异面直线所成角的正弦值的计算，考查计算能力，属于中等题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），平均数为，中位数为（2）①见解析②
【解析】
（1）由频率分布直方图各个小矩形的面积之和为1可得，用区间中点值代替可计算均值，中位数把频率分布直方图中小矩形面积等分．
（2）①分层抽样，是按比例抽取人数；②年龄在有2人，在有4人，设在的是，，在的是，可用列举法列举出选2人的所有可能，然后可计算出概率．
【详解】
（1）由频率分布直方图各个小矩形的面积之和为1，
得
在频率分布直方图中，这100位参赛者年龄的样本平均数为：

设中位数为，由，
解得.
（2）①每组应各抽取人数如下表：
年龄

人数
1
2
4
8
5
②根据分层抽样的原理，年龄在有2人，在有4人，设在的是，，在的是，列举选出2人的所有可能如下：
，共15种情况.
设“这2人至少有一人的年龄在区间”为事件，则包含：
共9种情况
则
本题考查频率分布直方图，考查样本数据特征、古典概型，属于基础题型．
18、（1） （2） 8个小时
【解析】
（1）根据函数的最大最小值可求出和，根据周期求出，根据一个最高点的横坐标可求得；
（2）解不等式可得．
【详解】
(1)根据表格中的数据可得:
由，
,解得：
由当时，有最大值，则
即，得.
所以函数的近似解析式
（2）若车流量超过4千辆时，即
所以，则
所以，且.
所以和满足条件.
所以估计一天内将有8小时不允许这种货车通行．
本题考查了根据一些特殊的函数值观察周期特点，求解三角函数解析式以及简单应用，属中档题．
19、（1）或或或.（2）(i) 见证明；(ii)见解析
【解析】
（1）根据已知填或或或均可；（2）(i)先证明平面，再证明平面⊥平面;(ii) 在平面中，记，，连结，则为所求的.再证明是二面角的平面角.
【详解】
（1）或或或.
（2）（i）在三棱锥中，，，，
所以平面，
又平面，所以，
又,，所以平面.
又平面，所以，
因为且，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（ii）

在平面中，记，连结，则为所求的.
因为平面，平面，所以，
因为平面，平面，所以，
又，所以平面.
又平面且平面，所以，.
所以就是二面角的一个平面角.
本题主要考查空间线面位置关系，面面角的作图及证明，属于中档题．
20、（1）；（4）
【解析】
试题分析：（1）设出等比数列的公比，利用条件a1=4，a3﹣a4=1列方程组，求出公比的值，进而得到数列的通项公式；
（4）数列{an+bn}是由一个等差数列和一个等比数列对应项相加得来的，所以可以采用拆项分组的方法，转化为等差数列、等比数列的前n项和问题来解决.
试题解析：解：（1）设数列{an}的公比为q，由a1=4，a3﹣a4=1，
得：4q4﹣4q﹣1=4，即q4﹣q﹣6=4．
解得q=3或q=﹣4，
∵q＞4，
∴q=﹣4不合题意，舍去，故q=3．
∴an=4×3n﹣1；
（4）∵数列{bn}是首项b1=1，公差d=4的等差数列，
∴bn=4n﹣1，
∴Sn=（a1+a4+ +an）+（b1+b4+ +bn）
=+
=3n﹣1+n4．
考点：等差数列与等比数列.
21、 (1)证明见解析；(2) 证明见解析；
【解析】
（1）利用中点做辅助线，构造出平行四边形即可证明线面平行；（2）根据所给条件构造出菱形，再根据两个对应的线段垂直关系即可得到线面垂直.
【详解】
证明：（1）取CD中点M，连结OM，连结EM，
在矩形ABCD中，又,
则,于是四边形EFOM为平行四边形．
∴FO∥EM.
又∵FO平面CDE，且EM平面CDE，
∴FO∥平面CDE．
（2）连结FM,

由（1）和已知条件，在等边ΔCDE中，CM=DM,EM⊥CD
且
因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM.
∵CD⊥OM,CD⊥EM
∴CD⊥平面EOM，
从而CD⊥EO.
而FMCD=M,所以EO⊥平面CDF.
（1）线面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面；
（2）线面垂直的判定定理：一条直线与平面内两条相交直线垂直，则该直线垂直于此平面.