江苏省泰兴市三中2024-2025学年高一下数学期末质量检测模拟试题含解析.doc

江苏省泰兴市三中2024-2025学年高一下数学期末质量检测模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在中, ,是的内心,若,其中,动点的轨迹所覆盖的面积为(   )
A． B． C． D．
2．下列说法错误的是（ ）
A．若样本的平均数为5，标准差为1，则样本的平均数为11，标准差为2
B．身高和体重具有相关关系
C．现有高一学生30名，高二学生40名，高三学生30名，若按分层抽样从中抽取20名学生，则抽取高三学生6名
D．两个变量间的线性相关性越强，则相关系数的值越大
3．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
4．在三棱柱中，底面，是正三角形，若，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．设全集，集合,,则（ ）
A． B．
C． D．
6．在中，角、、所对的边分别为、、，，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
8．某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为
A．5、10、15 B．3、9、18 C．3、10、17 D．5、9、16
9．已知数列，如果，，，……，，……，是首项为1，公比为的等比数列，则=
A． B． C． D．
10．运行如图程序，若输入的是，则输出的结果是（ ）

A．3 B．9 C．0 D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知正四棱锥的底面边长为，高为，则该四棱锥的侧面积是______________
12．已知数列的首项，其前项和为，且，若单调递增，则的取值范围是__________．
13．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为_ ．
14．函数的定义域为A，若时总有为单函数.例如，函数=2x+1（）是单函数.下列命题：
①函数=（xR）是单函数；②若为单函数，且则；③若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；
④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数.其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）
15．七位评委为某跳水运动员打出的分数的茎叶图如图，其中位数为_______.

16．若，则满足的的取值范围为______________；
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数的图象如图所示.

（1）求这个函数的解析式，并指出它的振幅和初相；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值，并指出取得最值时的的值．
18．设函数，定义域为．
（1）求函数的最小正周期，并求出其单调递减区间；
（2）求关于的方程的解集．
19．在中，，且的边a，b，c所对的角分别为A，B，C.
（1）求的值；
（2）若，试求周长的最大值.
20．某专卖店为了对新产品进行合理定价，将该产品按不同的单价试销，调查统计如下表：
售价（元）
4
5
6
7
8
周销量（件）
90
85
83
79
73
（1）求周销量y（件）关于售价x（元）的线性回归方程；
（2）按（1）中的线性关系，已知该产品的成本为2元/件，为了确保周利润大于598元，则该店应该将产品的售价定为多少？
参考公式：，.
参考数据：，
21．已知各项为正数的数列满足：且．
（1）证明：数列为等差数列．
（2）若，证明：对一切正整数n，都有
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
画出图形，由已知条件便知P点在以BD， BP为邻边的平行四边形内，从而所求面积为2
倍的△AOB的面积，从而需求S△AOB：由余弦定理可以求出AB的长为5，根据O为△ABC
的内心，从而O到△ABC三边的距离相等，从而，由面积公式可以求
出△ABC的面积，从而求出△AOB的面积，这样2S△AOB便是所求的面积．
【详解】
如图，根据题意知，P点在以BP，BD为邻边的平行四边形内部，
∴动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△AOB；
在△ABC中，cos，AC=6，BC=7；
∴由余弦定理得，；
解得：AB=5，或AB=（舍去）；
又O为△ABC的内心；
所以内切圆半径r=,
所以
∴==；
∴动点P的轨迹所覆盖图形的面积为．
故答案为：A．

本题主要考查考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，余弦定理，以及三角形内心的定义，三角形的面积公式．意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的解题关键是找到P点所覆盖的区域.
2、D
【解析】
利用平均数和方差的定义，根据线性回归的有关知识和分层抽样原理，即可判断出答案．
【详解】
对于A：若样本的平均数为5，标准差为1，
则样本的平均数2×5+1＝11，标准差为2×1＝2，
故正确
对于B：身高和体重具有相关关系，故正确
对于C：高三学生占总人数的比例为：
所以抽取20名学生中高三学生有名，故正确
对于D：两个变量间的线性相关性越强，应是相关系数的绝对值越大，故错误
故选：D
本题考查了线性回归的有关知识，以及平均数和方差、分层抽样原理的应用问题，是基础题．
3、B
【解析】
根据两角和的正切公式，结合，可以求出的值，用同角的三角函数的关系式中的平方和关系把等式变成分子、分母的齐次式形式，最后代入求值即可.
【详解】
.
.
故选：B
本题考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了二倍角的正弦公式，考查了两角和的正切公式，考查了数学运算能力.
4、C
【解析】
设球心为，的中心为，求出与，利用勾股定理求出外接球的半径，代入球的表面积公式即可.
【详解】
设球心为，的中心为，则，
，球的半径，
所以球的表面积为.
故选：C
本题考查多面体外接球问题，球的表面积公式，属于中档题.
5、A
【解析】
进行交集、补集的运算即可．
【详解】
∁UB＝{x|﹣2＜x＜1}；
∴A∩（∁UB）＝{x|﹣1＜x＜1}．
故选：A．
考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．
6、C
【解析】
利用正弦定理得到答案.
【详解】

故答案选C
本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.
7、C
【解析】
分析：利用一元二次不等式的解法化简集合，由子集的定义可得结果.
详解：，
，，故选C.
点睛：本题主要考查解一元二次不等式，集合的子集的定义，属于容易题，在解题过程中要注意考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.
8、B
【解析】
试题分析：高级职称应抽取；中级职称应抽取；一般职员应抽取．
考点：分层抽样
点评：本题主要考查分层抽样的定义与步骤．分层抽样：当总体是由差异明显的几个部分组成的，可将总体按差异分成几个部分（层），再按各部分在总体中所占比例进行抽样．
9、A
【解析】
分析：累加法求解。
详解：，，
解得
点睛：形如的模型，求通项公式，用累加法。
10、B
【解析】
分析：首先根据框图中的条件，判断-2与1的大小，从而确定出代入哪个解析式，从而求得最后的结果，得到输出的值.
详解：首先判断成立，代入中，
得到，从而输出的结果为9，故选B.
点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，在解题的过程中，需要注意的是要明确自变量的范围，对应的函数解析式应该代入哪个，从而求得最后的结果，属于简单题目.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
四棱锥的侧面积是
12、
【解析】
由可得：
两式相减得：

两式相减可得：
数列，，...是以为公差的等差数列，数列，，...是以为公差的等差数列
将代入及可得：
将代入可得

要使得，恒成立
只需要即可

解得
则的取值范围是
点睛：本题考查了数列的递推关系求通项，在含有的条件中，利用来求通项，本题利用减法运算求出数列隔一项为等差数列，结合和数列为增数列求出结果，本题需要利用条件递推，有一点难度．
13、2
【解析】
试题分析：由题意可得：．
考点：扇形的面积公式．
14、②③
【解析】
命题①：对于函数，设，故和可能相等，也可能互为相反数，即命题①错误；
命题②：假设，因为函为单函数，所以，与已知矛盾，故，即命题②正确；
命题③：若为单函数，则对于任意，，假设不只有一个原象与其对应，设为，则，根据单函数定义，，又因为原象中元素不重复，故函数至多有一个原象，即命题③正确；
命题④：函数在某区间上具有单调性，并不意味着在整个定义域上具有单调性，即命题④错误,
综上可知，真命题为②③.
故答案为②③．
15、85
【解析】
按照茎叶图，将这组数据按照从小到大的顺序排列，找出中间的一个数即可.
【详解】
按照茎叶图，这组数据是79，83，84，85，87，92，93.
把这组数据按照从小到大的顺序排列，最中间一个是85.
所以中位数为85.
故答案为：85
本题考查对茎叶图的认识．考查中位数，属于基础题.
16、
【解析】
本题首先可确定在区间上所对应的的值，然后可结合正弦函数图像得出不等式的解集．
【详解】
当时，令，解得或，

如图，绘出正弦函数图像，结合函数图像可知，
当时，的解集为
本题考查三角函数不等式的解法，考查对正弦函数性质的理解，考查计算能力，体现了基础性，是简单题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）函数的解析式为，其振幅是2，初相是（2）时，函数取得最大值0；时，函数取得最小值勤-2
【解析】
（1）根据图像写出，由周期求出，再由点确定的值．
（2）根据的取值范围确定的取值范围，再由 的单调求出最值
【详解】
（1）由图象知，函数的最大值为2，最小值为-2，∴，
又∵，∴，，∴.
∴函数的解析式为.
∵函数的图象经过点，
∴，∴，
又∵，∴.
故函数的解析式为，其振幅是2，初相是.
（2）∵，∴.
于是，当，即时，函数取得最大值0；
当，即时，函数取得最小值为-2.
本题考查由图像确定三角函数、给定区间求三角函数的最值，属于基础题．
18、（1）最小正周期为，单调递减区间为；
（2）.
【解析】
（1）利用两角差的余弦公式、二倍角降幂公式以及辅助角公式将函数的解析式化简为，由周期公式可得出函数的最小正周期，由
，解出的范围得出函数的单调递减区间；
（2）由，得出，解出该方程可得出结果.
【详解】
（1），
所以，函数的最小正周期为，
由，得，
因此，函数的单调递减区间为；
（2）令，得，
或，
解得或，
因此，关于的方程的解集为.
本题考查三角函数基本性质的求解，解题时要将三角函数解析式利用三角恒等变换思想进行化简，然后再利用相应公式或图象进行求解，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题.
19、（1）（2）
【解析】
（1）利用三角公式化简得到答案.
（2）利用余弦定理得到，再利用均值不等式得到，得到答案.
【详解】
（1）

原式
（2），

时等号成立.
周长的最大值为
本题考查了三角恒等变换，余弦定理，均值不等式，周长的最大值，意在考查学生解决问题的能力.
20、（1）；（2）14元
【解析】
（1）由表中数据求得,结合参考数据可得.再代入方程即可求得线性回归方程.
（2）设售价为元,代入（1）中的回归方程,求得销量.即可求得利润的表达式.由于周利润大于598元,得不等式后,解不等式即可求解.
【详解】
（1）由表可得,因为,
由参考数据,,
所以代入公式可得,
则,
所以线性回归方程；
（2）设售价为元,由（1）知周销量为,
所以利润,
解得,因为,则.
所以为了确保周利润大于598元,则该店应该将产品的售价定为14元.
本题考查了线性回归方程的求法和简单应用,一元二次不等式的解法,属于基础题.
21、（1）证明见解析．（2）证明见解析．
【解析】
（1）根据所给递推公式，将式子变形，即可由等差数列定义证明数列为等差数列.
（2）根据数列为等差数列，结合等差数列通项公式求法求得通项公式，并变形后令.由求得的取值范围，即可表示出，由不等式性质进行放缩，求得后，即可证明不等式成立.
【详解】
（1）证明：各项为正数的数列满足：
则，，
同取倒数可得，
所以，
由等差数列定义可知数列为等差数列．
（2）证明： 由（1）可知数列为等差数列．，
则数列是以为首项，以为公差的等差数列.
则，
令，
因为，
所以，
则，
所以，
所以
，
所以

由不等式性质可知，若，则总成立，
因而，
所以

所以
不等式得证.
本题考查了数列递推公式的应用，由定义证明等差数列，换元法及放缩法在证明不等式中的应用，属于中档题.