广东省汕头市潮南实验学校2025年数学高一下期末经典试题含解析.doc

广东省汕头市潮南实验学校2025年数学高一下期末经典试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”． 给出下列函数：
①； ②；
③； ④．
其中“同簇函数”的是 （ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
2．已知向量，向量，则（ ）
A． B． C． D．
3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知为直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
5．在平面直角坐标系xoy中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数的图象恰好经过个格点，则称函数为阶格点函数.下列函数中为一阶格点函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知中，，，的对边分别是，，，且，，，则边上的中线的长为( )
A． B．
C．或 D．或
7．平面向量与共线且方向相同，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图是某个正方体的平面展开图，，是两条侧面对角线，则在该正方体中，与（ ）

A．互相平行 B．异面且互相垂直 C．异面且夹角为 D．相交且夹角为
9．已知直线与互相垂直，垂足坐标为，且，则的最小值为（ ）
A．1 B．4 C．8 D．9
10．在中，角对应的边分别是，已知，的面积为，则外接圆的直径为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若，方程的解为______.
12．在中，，则______．
13．已知等差数列满足，则__________．
14．直线与圆的位置关系是______.
15．设为三条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列四个判断:
①若则；
②若是在内的射影，，则；
③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
④若球的表面积扩大为原来的16倍，则球的体积扩大为原来的32倍；
其中正确的为___________.
16．已知，则____________________________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知等差数列满足，前项和.
（1）求的通项公式
（2）设等比数列满足，，求的通项公式及的前项和.
18．已知函数的图象过点，，．
（1）求，的值；
（2）若，且，求的值；
（3）若在上恒成立，求实数的取值范围.
19．设数列,，已知，，
（1)求数列的通项公式；
（2)设为数列的前项和,对任意.
（i）求证：；
（ii)若恒成立，求实数的取值范围．
20．已知向量，，，．
（Ⅰ）若四边形是平行四边形，求，的值；
（Ⅱ）若为等腰直角三角形，且为直角，求，的值．
21．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面⊥底面，若分别为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面⊥平面．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
试题分析：对于①中的函数而言，，对于③中的函数而言，
，由“同簇函数”的定义而知，互为“同簇函数”的若干个函数的振幅相等，将②中的函数向左平移个单位长度，得到的新函数解析式为
，故选C.
考点：1.新定义；2.三角函数图象变换
2、C
【解析】
设，根据系数对应关系即可求解
【详解】
设，即，
故选：C
本题考查向量共线的基本运算，属于基础题
3、B
【解析】
由题意和余弦定理可得，再由余弦定理可得，可得角的值．
【详解】
在中，，
由余弦定理可得，
，
，
又，
．
故选：．
本题考查利用余弦定理解三角形，考查了转化思想，属基础题．
4、C
【解析】
利用直线与平面平行、垂直的判断即可。
【详解】
对于A. 若，，则或，所以A错对于B.若，，则，应该为，所以B错对于D.若，，则或，所以D错。所以选择C
本题主要考查了直线与平面垂直和直线与平面平行的性质。属于基础题。
5、A
【解析】
根据题意得，我们逐个分析四个选项中函数的格点个数，即可得到答案．
【详解】
根据题意得：函数y＝sinx图象上只有（0，0）点横、纵坐标均为整数，故A为一阶格点函数；
函数没有横、纵坐标均为整数，故B为零阶格点函数；
函数y＝lgx的图象有（1，0），（10，1），（100，2），…无数个点横、纵坐标均为整数，故C为无穷阶格点函数；
函数y＝x2的图象有…（﹣1，0），（0，0），（1，1），…无数个点横、纵坐标均为整数，故D为无穷阶格点函数.
故选A．
本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中分析出函数的格点个数是解答本题的关键，属于中档题．
6、C
【解析】
由已知利用余弦定理可得，解得a值，由已知可求中线，在中，由余弦定理即可计算AB边上中线的长．
【详解】
解：，
由余弦定理，可得，
整理可得：，解得或1．
如图，CD为AB边上的中线，则，
在中，由余弦定理，可得：，或，
解得AB边上的中线或．
故选C．

本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．
7、C
【解析】
利用向量共线的坐标运算求解，验证得答案．
【详解】
向量与共线，，解得．
当时，，，
与共线且方向相同．
当时，，，
与共线且方向相反，舍去．
故选．
本题考查向量共线的坐标运算，是基础的计算题．
8、D
【解析】
先将平面展开图还原成正方体，再判断求解.
【详解】

将平面展开图还原成正方体如图所示，则B，C两点重合，所以与相交，连接，则为正三角形，所以与的夹角为.
故选D.
本题主要考查空间直线的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
9、B
【解析】
代入垂足坐标，可得，然后根据基本不等式，可得结果.
【详解】
由两条直线的交点坐标为
所以代入
可得，即
又，
所以
即
当且仅当，即时，取等号
故选：B
本题主要考查基本不等式，属基础题.
10、D
【解析】
根据三角形面积公式求得；利用余弦定理求得；根据正弦定理求得结果.
【详解】
由题意得：，解得：
由余弦定理得：
由正弦定理得外接圆的直径为：
本题正确选项：
本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合应用问题，考查学生对于基础公式和定理的掌握情况.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
运用指数方程的解法，结合指数函数的值域，可得所求解．
【详解】
由，即，
因，解得，即.
故答案：.
本题考查指数方程的解法，以及指数函数的值域，考查运算能力，属于基础题.
12、
【解析】
由已知求得，进一步求得，即可求出．
【详解】
由，
得，
即，，
则，
，，则．
本题主要考查应用两角和的正切公式作三角函数的恒等变换与化简求值．
13、
【解析】
由等差数列的性质计算．
【详解】
∵是等差数列，∴，
∴．
故答案为：1．
本题考查等差数列的性质，属于基础题．等差数列的性质如下：在等差数列中，，则．
14、相交
【解析】
由直线系方程可得直线过定点，进而可得点在圆内部，即可得到位置关系.
【详解】
化直线方程为，令，解得，
所以直线过定点，
又圆的圆心坐标为，半径，
而，
所以点在圆内部，故直线与圆的位置关系是相交.
故答案为：相交.
本题考查直线与圆位置关系的判断，考查直线系方程的应用，属于基础题.
15、①②
【解析】
对四个命题分别进行判断即可得到结论
【详解】
①若，垂足为，与确定平面，，则，
，则，
，则，故，故正确
②若，是在内的射影，，根据三垂线定理，可得，故正确
③底面是等边三角形，侧面都是有公共顶点的等腰三角形的三棱锥是正三棱锥，故不正确
④若球的表面积扩大为原来的倍，则半径扩大为原来的倍，则球的体积扩大为原来的倍，故不正确
其中正确的为①②
本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系、球的体积等知识点，数量掌握各知识点然后对其进行判断，较为基础。
16、
【解析】
分子、分母同除以，将代入化简即可.
【详解】
因为，
所以,
故答案为.
本题主要考查同角三角函数之间的关系的应用，属于基础题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2），．
【解析】
（1）设的公差为，则由已知条件得，．
化简得解得故通项公式，即．
（2）由（1）得．设的公比为,则,从而．

故的前项和．
18、 (1) ； (2) ；(3)
【解析】
（1）根据，，两点可确定，的值；
（2）由（1）知，，求出，的值，然后根据，求出其值即可；
（3）在，上恒成立，只需，求出在，上的最大值即可．
【详解】
（1）由得：，即，
由知，，
，
由得：，即，
即，由得，，所以；
（2）由得：，即，
由得：，

（3）由得：，
当时，，
实数的取值范围为.
本题主要考查了三角函数的图象与性质，三角函数值的求法，以及在闭区间上的三角函数的值域问题的求法，意在考查学生整体思想以及转化与化归思想的应用能力．
19、 (1)；(2) （i）见证明；（ii)
【解析】
（1)计算可知数列为等比数列；
（2）（i）要证即证{}恒为0；
（ii)由前两问求出再求出，带入式子，再解不等式.
【详解】
(1)，
又，
是以2为首项，为公比的等比数列，
；
（2）（i），

又恒成立，即
（ii)由,，
两式相加即得：，

，
，，
当n为奇数时，随n的增大而递增，且；
当n为偶数时，随n的增大而递减，且；
的最大值为，的最小值为2，
解得，所以实数p的取值范围为．
本类试题，注意看问题，一般情况，问题都会指明解题方向
20、（Ⅰ）；（Ⅱ）或．
【解析】
（Ⅰ）由得到x,y的方程组，解方程组即得x,y的值; （Ⅱ）由题得和，解方程组即得，的值．
【详解】
（Ⅰ），，，
，，由，，；
（Ⅱ），，为直角，则，，
又，，再由，解得：或．
本题主要考查平面向量的数量积运算和模的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
21、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（Ⅰ）利用线面平行的判定定理，只需证明EF∥PA，即可；（Ⅱ）先证明线面垂直，CD⊥平面PAD，再证明面面垂直，平面PAD⊥平面PDC 即可．
【详解】

（Ⅰ）证明：连结AC，在正方形ABCD中，F为BD中点，正方形对角线互相平分，
∴F为AC中点，
又E是PC中点，
在△CPA中，EF∥PA，且PA⊆平面PAD，
EF⊄平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
（Ⅱ）∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，
平面 ∴CD⊥平面PAD，
∵CD⊂平面PDC，
∴平面PAD⊥平面PDC
本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理，以及平面与平面垂直的判定定理，要求熟练掌握相关的判定定理．