2025届河北省保定市唐县一中数学高一第二学期期末质量检测试题含解析.doc

2025届河北省保定市唐县一中数学高一第二学期期末质量检测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知三角形ABC，如果，则该三角形形状为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上选项均有可能
2．已知满足，则（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
3．在数列中，，，则的值为（ ）
A．4950 B．4951 C． D．
4．已知变量满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．4
5．下列结论正确的是（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
6．在△中，点是上一点，且，是中点，与交点为，又，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．设等比数列的公比，前项和为，则（）
A． B． C． D．
8．在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　)
A． B． C．1 D．3
9．已知，复数，若的虚部为1，则（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
10．若a＜b，则下列不等式中正确的是（　　　　）
A．a2＜b2 B． C．a2+b2＞2ab D．ac2＜bc2
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．求的值为________．
12．利用数学归纳法证明不等式“”的过程中，由“”变到“”时，左边增加了_____项．
13．设为等差数列的前n项和，，则________.
14．已知直线与，当时，实数_______；当时，实数_______.
15．已知，则的最小值是__________．
16．函数的值域为__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在公差不为零的等差数列中，成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，设数列的前项和，求证.
18．在平面直角坐标系中，已知曲线的方程是（，）．
（1）当，时，求曲线围成的区域的面积；
（2）若直线：与曲线交于轴上方的两点，，且，求点到直线距离的最小值．
19．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计的频率分布直方图如图所示．

（1）估计这组数据的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）；
（2）现按分层抽样从质量为[200，250)，[250，300)的芒果中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率；
（3）某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出以下两种收购方案：
方案①：所有芒果以9元/千克收购；
方案②：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，对质量高于或等于250克的芒果以3元/个收购．
通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多．
参考数据：．
20．如图为函数的图象.

(Ⅰ)求函数的解析式；
(Ⅱ)若时，函数有零点，求实数m的取值范围.
21．已知圆，过点的直线与圆相交于不同的两点，．
（1）若，求直线的方程．
（2）判断是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
由正弦定理化简已知可得：，由余弦定理可得，可得为钝角，即三角形的形状为钝角三角形.
【详解】
由正弦定理，，
可得,化简得，
由余弦定理可得：，又，
为钝角，即三角形为钝角三角形.
故选：B.
本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题.
2、B
【解析】
已知两个边和一个角，由余弦定理，可得。
【详解】
由题得，，，代入，化简得，解得（舍）或.
故选：B
本题考查用余弦定理求三角形的边，是基础题。
3、C
【解析】
利用累加法求得，由此求得的表达式，进而求得的值.
【详解】
依题意，所以，所以，当时，上式也满足.所以.
故选：C
本小题主要考查累加法求数列的通项公式，属于基础题.
4、B
【解析】
先画出满足约束条件的平面区域，然后求出目标函数取最大值时对应
的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．
【详解】
满足约束条件的平面区域如下图所示：
作直线
把直线向上平移可得过点时最小
当，时，取最大值 1，
故答案为 1．

本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最
优解点的坐标是解答本题的关键．
5、C
【解析】
分析：根据不等式性质逐一分析即可.
详解：A. 若，则 ,因为不知道c的符号，故错误；B. 若，则
可令a=-1，b=-2，则结论错误；D. 若，则，令a=1，b=2，可得结论错误，故选C.
点睛：考查不等式的基本性质，做此类题型最好的方法就是举例子注意排除即可.属于基础题.
6、D
【解析】
试题分析：因为三点共线，所以可设，又，所以，，将它们代入，即有，由于不共线，从而有，解得，故选择D.
考点：向量的基本运算及向量共线基本定理.
7、C
【解析】
利用等比数列的前n项和公式表示出 ,利用等比数列的通项公式表示出，计算即可得出答案。
【详解】
因为，
所以
故选C
本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式，属于基础题。
8、B
【解析】
根据向量的线性表示逐步代换掉不需要的向量求解.
【详解】
设 ，

所以 所以
故选B.
本题考查向量的线性运算，属于基础题.
9、B
【解析】
，所以，。故选B。
10、C
【解析】
利用特殊值对错误选项进行排除，然后证明正确的不等式.
【详解】
取代入验证可知，A、D选项错误；取代入验证可知，B选项错误.对于C选项，由于，所以，即成立.
故选：C
本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、44.5
【解析】
通过诱导公式，得出，依此类推，得出原式的值．
【详解】
，
，
同理，
，故答案为44.5.
本题主要考查了三角函数中的诱导公式的运用，得出是解题的关键，属于基础题．
12、.
【解析】
分析题意，根据数学归纳法的证明方法得到时，不等式左边的表示式是解答该题的突破口，当时，左边，由此将其对时的式子进行对比，得到结果.
【详解】
当时，左边，
当时，左边，
观察可知，增加的项数是，
故答案是.
该题考查的是有关数学归纳法的问题，在解题的过程中，需要明确式子的形式，正确理解对应式子中的量，认真分析，明确哪些项是添的，得到结果.
13、54.
【解析】
设首项为，公差为，利用等差数列的前n项和公式列出方程组，解方程求解即可.
【详解】
设首项为，公差为,
由题意，可得
解得
所以.
本题主要考查了等差数列的前n项和公式，解方程的思想，属于中档题.
14、
【解析】
根据两直线垂直和平行的充要条件，得到关于的方程，解方程即可得答案.
【详解】
当时，，解得：；
当时，且，解得：.
故答案为：；.
本题考查两直线垂直和平行的充要条件，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.
15、
【解析】
分析：利用题设中的等式，把的表达式转化成，展开后，利用基本不等式求得y的最小值.
详解：因为，所以，所以（当且仅当时等号成立），则的最小值是，总上所述，答案为.
点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情况下求其分式形式和的最值的问题，在求解的过程中，注意相乘，之后应用基本不等式求最值即可，在做乘积运算的时候要注意乘1是不变的，如果不是1，要做除法运算.
16、
【解析】
本题首先可通过三角恒等变换将函数化简为，然后根据的取值范围即可得出函数的值域．
【详解】

因为，所以.
本题考查通过三角恒等变换以及三角函数性质求值域，考查二倍角公式以及两角和的正弦公式，考查化归与转化思想，是中档题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）（Ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）根据题意列出方程组，利用等差数列的通项公式化简求解即可；（Ⅱ）将的通项公式代入所给等式化简求出的通项公式，利用裂项相消法求出，由推出，由数列是递增数列推出.
【详解】
（Ⅰ）设等差数列的公差为（），
因为，所以
解得，
所以.
（Ⅱ）
，

.
因为，所以，
又因为，所以数列是递增数列，于是.
综上，.
本题考查等差数列的基本量的求解，裂项相消法求和，数列性质的应用，属于中档题.
18、 (1)4；(2) ．
【解析】
（1）当，时，曲线的方程是，对绝对值内的数进行讨论，得到四条直线围成一个菱形，并求出面积为4；
（2）对进行讨论，化简曲线方程，并与直线方程联立，求出点的坐标，由得到的关系，再利用点到直线的距离公式求出，从而求得.
【详解】
（1）当，时，曲线的方程是，
当时，，当时，，
当时，方程等价于，
当时，方程等价于，
当时，方程等价于，
当时，方程等价于，
曲线围成的区域为菱形，其面积为；
（2）当，时，有，
联立直线可得，
当，时，有，
联立直线可得，
由可得，
即有，
化为，
点到直线距离
，
由题意可得，，，即，
可得，，
可得当，即时，点到直线距离取得最小值．
解析几何的思想方法是坐标法，通过代数运算解决几何问题，本题对运算能力的要求是比较高的.
19、（1）255；（2）；（3）选择方案②获利多
【解析】
1）由频率分布直方图能求出这组数据的平均数．（2）利用分层抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在[200，250）内的芒果有2个，记为a1，a2，质量在[250，300）内的芒果有3个，记为b1，b2，b3，从抽取的5个芒果中抽取2个，利用列举法能求出这2个芒果都来自同一个质量区间的概率．（3）方案①收入22950元，方案②：低于250克的芒果的收入为8400元，不低于250克的芒果的收入为17400元，由此能求出选择方案②获利多．
【详解】
（1）由频率分布直方图知，各区间频率为0.07，0.15，0.20，0.30，0.25，0.03
这组数据的平均数
．
（2）利用分层抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在[200，250)内的芒果有2个，记为，，质量在[250，300)内的芒果有3个，记为，， ；
从抽取的5个芒果中抽取2个共有10种不同情况：，，，，，，，，，．
记事件为“这2个芒果都来自同一个质量区间”，则有4种不同组合：
，，，
从而，故这2个芒果都来自同一个质量区间的概率为.
（3）方案①收入：（元）；
方案②：低于250克的芒果收入为（元）；
不低于250克的芒果收入为（元）；
故方案②的收入为（元）．
由于，所以选择方案②获利多．
本题考查平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
20、 (Ⅰ)；(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)根据三角函数的图像，得到周期，求出，再由函数零点，得到，结合题中条件，即可求出，从而可得函数解析式；
(Ⅱ)先由题意得到，再将函数有零点，化为方程有实根，从而可求出结果.
【详解】
(Ⅰ)由图象知，
∴，
∵，及得
而，，得
故
(Ⅱ)∵
∴，则
又函数有零点，故方程有实根
∵
∴
因此，实数m的取值范围是.
本题主要考查由三角函数的部分图像求解析式的问题，以及由函数的零点求参数的问题，熟记三角函数的图像与性质即可，属于常考题型.
21、（1）或．（2）是，定值．
【解析】
（1）根据题意设出，再联立直线方程和圆的方程，得到，，然后由列式，再将的值代入求解，即可求出；
（2）先根据特殊情况，当直线与轴垂直时，求出，再说明当直线与轴不垂直时， 是否成立，即可判断．
【详解】
（1）由已知得不与轴垂直，不妨设，，．
联立消去得，
则有
，
又，，

，解得或．
所以，直线的方程为或．
（2）当直线与轴垂直时（斜率不存在），，的坐标分别为，，
此时．
当不与轴垂直时，
又由（1），，且，
所以．
综上，为定值．
本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，韦达定理的应用，数量积的坐标表示，以及和圆有关的定值问题的解法的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．