2025年上海市上海交大附属中学高一下数学期末达标测试试题含解析.doc

2025年上海市上海交大附属中学高一下数学期末达标测试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．（卷号）2397643038875648
（题号）2398229448728576
（题文）
已知直线、，平面、，给出下列命题：
①若，，且，则；②若，，且，则；
③若，，且，则；④若，，且，则.
其中正确的命题是（ ）
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
2．已知一几何体的三视图，则它的体积为 （ ）

A． B． C． D．
3．设是公比为的无穷等比数列，若的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，则数列是（　　）
A．公比为的等比数列
B．公比为的等比数列
C．公比为或的等比数列
D．公比为或的等比数列
4．已知各项均不为零的数列，定义向量，，． 下列命题中真命题是 ( )
A．若对任意的，都有成立，则数列是等差数列
B．若对任意的，都有成立，则数列是等比数列
C．若对任意的，都有成立，则数列是等差数列
D．若对任意的，都有成立，则数列是等比数列
5．已知，则的值为
A． B． C． D．
6．化简结果为（ ）
A． B． C． D．
7．设等比数列的公比，前项和为，则（）
A． B． C． D．
8．在复平面内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．设函数的图象为，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．图象关于直线对称
C．图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
D．函数在区间上是增函数
10．下图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图，这个圆的圆拱跨度米，拱高米，建造时每隔8米需要用一根支柱支撑，则支柱的高度大约是（ ）

A．9.7米 B．9.1米 C．8.7米 D．8.1米
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．底面边长为，高为的直三棱柱形容器内放置一气球，使气球充气且尽可能的膨胀（保持球的形状），则气球表面积的最大值为_______．
12．计算：=_______________.
13．已知不等式的解集为，则________.
14．若满足约束条件，的最小值为，则________．
15．如图，缉私艇在处发现走私船在方位角且距离为12海里的处正以每小时10海里的速度沿方位角的方向逃窜，缉私艇立即以每小时14海里的速度追击，则缉私艇追上走私船所需要的时间是__________小时.

16．平面四边形 中,,则=_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式.
18．已知函数.
（1）若函数的周期，且满足，求及的递增区间；
（2）若，在上的最小值为，求的最小值.
19．已知定义域为的函数是奇函数
（Ⅰ）求值；
（Ⅱ）判断并证明该函数在定义域上的单调性；
（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅳ）设关于的函数有零点，求实数的取值范围.
20．已知数列中，.
(1)求证：是等比数列，求数列的通项公式；
(2)已知：数列，满足
①求数列的前项和；
②记集合若集合中含有个元素，求实数的取值范围.
21．已知点，，均在圆上.
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆相交于,两点，求的长；
（3）设过点的直线与圆相交于、两点，试问：是否存在直线，使得恰好平分的外接圆？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
逐一判断各命题的正误，可得出结论.
【详解】
对于命题①，若，，且，则，该命题正确；
对于命题②，若，，且，则与平行或相交，该命题错误；
对于命题③，若，，且，则与平行、垂直或斜交，该命题错误 ；
对于命题④，若，，且，则，该命题正确.
故选：C.
本题考查线面、面面位置关系有关命题真假的判断，在判断时，可充分利用线面、面面平行或垂直的判定与性质定理，也可以结合几何体模型进行判断，考查推理能力，属于中等题.
2、C
【解析】
所求体积 ，故选C.
3、B
【解析】
根据题意可得，带入等比数列前和即可解决。
【详解】
根据题意，若的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，
则，
又由是公比为的无穷等比数列，则，变形可得，则，
数列为的奇数项组成的数列，则数列为公比为的等比数列；
故选：B．
本题主要考查了利用等比数列前项和计算公比，属于基础题。
4、A
【解析】
根据向量平行的坐标表示，得到，利用累乘法，求得，从而可作出判定，得到答案．
【详解】
由题意知，向量，，，
当时，可得，即，
所以，
所以数列表示首项为，公差为的等差数列．
当，可得，即，
所以，
所以数列既不是等差数列，也不是等比数列.
故选A．
本题主要考查了向量的平行关系的坐标表示，等差数列的定义，以及“累乘法”求解通项公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
5、B
【解析】
利用诱导公式求得tanα，再利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．
【详解】
∵已知tanα，∴tanα，
则，
故选B．
本题主要考查应用诱导公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．
6、A
【解析】
根据指数幂运算法则进行化简即可.
【详解】

本题正确选项：
本题考查指数幂的运算，属于基础题.
7、C
【解析】
利用等比数列的前n项和公式表示出 ,利用等比数列的通项公式表示出，计算即可得出答案。
【详解】
因为，
所以
故选C
本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式，属于基础题。
8、A
【解析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
【详解】
由z（1﹣i）=2，得z=，
∴．
则z的共轭复数对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．
故选D．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
9、B
【解析】
利用函数的周期判断A的正误；通过x=函数是否取得最值判断B的正误；利用函数的图象的平移判断C的正误, 利用函数的单调区间判断D的正误．
【详解】
对于A，f（x）的最小正周期为π,判断A错误；
对于B，当x=，函数f（x）=sin（2×+）=1，∴选项B正确；
对于C，把的图象向左平移个单位，得到函数sin[2（x+）]=sin(2x+，∴选项C不正确．
对于D，由，可得，k∈Z，所以在上不恒为增函数，∴选项D错误；
故选B．
本题考查三角函数的基本性质的应用，函数的单调性、周期性及函数图象变换，属于基本知识的考查．
10、A
【解析】
以为原点、以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，设出圆心坐标与半径，可得圆拱所在圆的方程，将代入圆的方程，可求出支柱的高度
【详解】
由图以为原点、以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，

设圆心坐标为，，，
则圆拱所在圆的方程为，
，解得，，
圆的方程为，
将代入圆的方程，得
.
故选：A
本题考查了圆的标准方程在生活中的应用，需熟记圆的标准方程的形式，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由题意，气球充气且尽可能地膨胀时，气球的半径为底面三角形内切圆的半径
∵底面三角形的边长分别为，∴底面三角形的边长为直角三角形,利用等面积可求得∴气球表面积为4π.
12、
【解析】
试题分析：
考点：两角和的正切公式
点评：本题主要考查两角和的正切公式变形的运用，抓住和角是特殊角，是解题的关键.
13、-7
【解析】
结合一元二次不等式和一元二次方程的性质，列出方程组，求得的值，即可得到答案.
【详解】
由不等式的解集为，可得 ，解得，
所以.
故答案为：.
本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及一元二次方程的性质，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
14、4
【解析】
由约束条件得到可行域，取最小值时在轴截距最小，通过直线平移可知过时，取最小值；求出点坐标，代入构造出方程求得结果.
【详解】
由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：

取最小值时，即在轴截距最小
平移直线可知，当过点时，在轴截距最小
由得：
，解得：
本题正确结果：
本题考查现行规划中根据最值求解参数的问题，关键是能够明确最值取得的点，属于常考题型.
15、
【解析】
设缉私艇追上走私船所需要的时间为小时，根据各自的速度表示出与，由，利用余弦定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值．
【详解】
解：设缉私艇上走私船所需要的时间为小时，则，，
在中，，根据余弦定理知：，
或（舍去），
故缉私艇追上走私船所需要的时间为2小时．
故答案为：．
本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键，属于中档题．
16、
【解析】
先求出，再求出，再利用余弦定理求出AD得解.
【详解】
依题意得中，，故．

在中，由正弦定理可知，，
得．
在中，因为，
故．
则．
在中，由余弦定理可知，，
即．
得．
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、
【解析】
当时，，当时，，即可得出．
【详解】
∵已知数列的前项和为，且，
当时，，
当时，，
检验：当时，不符合上式，

本题考查了数列递推关系、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18、（1），；（2）2.
【解析】
（1）由函数的性质知，关于直线对称，又函数的周期，两个条件两个未知数，列两个方程，所以可以求出，进而得到的解析式，求出的递增区间；
（2）求出的所有解，再解不等式，即可求出的最小值．
【详解】
（1），由知，∴对称轴
∴，又，
,
由，得，
函数递增区间为；
（2）由于，在上的最小值为，
所以，即，
所以，所以.
本题主要考查三角函数解析式、单调区间以及最值的求法，特别注意用代入法求单调区间时，要考虑复合函数的单调性，以免求错．
19、 (Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)（Ⅳ）.
【解析】
试题分析：（1）根据奇函数性质得，解得值；（2）根据单调性定义，作差通分，根据指数函数单调性确定因子符号，最后根据差的符号确定单调性（3）根据奇偶性以及单调性将不等式化为一元二次不等式恒成立问题，利用判别式求实数的取值范围；（4）根据奇偶性以及单调性将方程转化为一元二次方程有解问题，根据二次函数图像与性质求值域，即得实数的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）由题设，需，∴，∴，
经验证，为奇函数，∴.
（Ⅱ）减函数
证明：任取，，且，则，

∵
∴
∴，；
∴，即
∴该函数在定义域上是减函数.
（Ⅲ）由得，
∵是奇函数，∴，
由（Ⅱ）知，是减函数
∴原问题转化为，即对任意恒成立，
∴，得即为所求.
（Ⅳ）原函数零点的问题等价于方程
由（Ⅱ）知，，即方程有解
∵，
∴当时函数存在零点.
点睛:利用函数性质解不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.
20、 (1) 证明见解析， (2)①②
【解析】
(1)计算得到： 得证.
(2) ①计算的通项公式为，利用错位相减法得到.
②将代入集合M，化简并分离参数得，确定数列的单调性，根据集合中含有个元素得到答案.
【详解】
(1) ，
为等比数列，其中首项，公比为.
所以，.
(2)①数列的通项公式为
①
②
①-②
化简后得.
②将代入得
化简并分离参数得，
设，则

易知
由于中含有个元素，所以实数要小于等于第5大的数，且比第6大的数大.
，，
综上所述.
本题考查了数列的证明，数列的通项公式，错位相减法，数列的单调性，综合性强计算量大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
21、（1）；（2）；（3）存在，和.
【解析】
（1）根据圆心在，的中垂线上，设圆心的坐标为，根据求出的值，从而可得结果；
（2）利用点到直线的距离公式以及勾股定理可得结果；
（3）首先验证直线的斜率不存在时符合题意，然后斜率存在时，设出直线方程，与圆的方程联立，利用韦达定理，根据列方程求解即可.
【详解】
解：（1）由题意可得：圆心在直线上，
设圆心的坐标为，则，
解得，即圆心，
所以半径，
所以圆的方程为；
（2）圆心到直线的距离为：，
；
（3）设，
由题意可得：，且的斜率均存在，
即，
当直线的斜率不存在时，，则，
满足，故直线满足题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，消去得，
则，
由得,
即，
即，
解得： ，
所以直线的方程为，
综上所述，存在满足条件的直线和.
本题考查直线和圆的位置关系，注意对于直线要研究其斜率是否存在，另外利用韦达定理可以达到设而不求的目的，本题是中档题.