2025届黑龙江省哈尔滨尚志中学高一下数学期末联考试题含解析.doc

2025届黑龙江省哈尔滨尚志中学高一下数学期末联考试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．两个正实数满足，则满足，恒成立的取值范围（ ）
A． B． C． D．
2．已知满足，且，那么下列选项中一定成立的是( )
A． B． C． D．
3．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A． B． C． D．
4．已知的三个内角所对的边分别为，满足，且，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．顶角为的等腰三角形 D．顶角为的等腰三角形
5．某个命题与自然数有关，且已证得“假设时该命题成立，则时该命题也成立”．现已知当时，该命题不成立，那么（ ）
A．当时，该命题不成立 B．当时，该命题成立
C．当时，该命题不成立 D．当时，该命题成立
6．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
7．如图，在下列四个正方体中，，，，，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与所在平面平行的是( )
A． B．
C． D．
8．若三角形三边的长度为连续的三个自然数，则称这样的三角形为“连续整边三角形”．下列说法正确的是（ ）
A．“连续整边三角形”只能是锐角三角形
B．“连续整边三角形”不可能是钝角三角形
C．若“连续整边三角形”中最大角是最小角的2倍，则这样的三角形有且仅有1个
D．若“连续整边三角形”中最大角是最小角的2倍，则这样的三角形可能有2个
9．执行如图所示的程序框图，若输人的n值为2019，则S＝

A． B． C． D．
10．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（）
A． B．3 C．6 D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若是三角形的内角，且，则等于_____________．
12．函数的图像可由函数的图像至少向右平移________个单位长度得到．
13．棱长为，各面都为等边三角形的四面体内有一点，由点向各面作垂线，垂线段的长度分别为，则=______．
14．两圆交于点和，两圆的圆心都在直线上，则____________；
15．函数y=sin2x+2sin2x的最小正周期T为_______.
16．方程在区间内解的个数是________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．向量函数．
（1）求的最小正周期及单调增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值及取最值时的值．
18．已知数列的前项和（）；
（1）判断数列是否为等差数列；
（2）设，求；
（3）设（），，是否存在最小的自然数，使得不等式对一切正整数总成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由；
19．随着中国经济的加速腾飞，现在手有余钱的中国家庭数量越来越多，在房价居高不下､股市动荡不定的形势下，为了让自己的财富不缩水，很多家庭选择了投资理财.为了了解居民购买理财产品的情况，理财公司抽样调查了该市2018年10户家庭的年收入和年购买理财产品支出的情况，统计资料如下表:
年收入x(万元)
20
40
40
60
60
60
70
70
80
100
年理财产品支出y(万元)
9
14
16
20
21
19
18
21
22
23
（1）由该样本的散点图可知y与x具有线性相关关系，请求出回归方程；（求时利用的准确值，，的最终结果精确到0.01）
（2）若某家庭年收入为120万元，预测某年购买理财产品的支出.（参考数据:，，，）
20．如图，是边长为2的正三角形.若，平面，平面平面，，且.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.
21．设为正项数列的前项和，且满足.
（1）求的通项公式；
（2）令，，若恒成立，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
由基本不等式和“1”的代换，可得的最小值，再由不等式恒成立思想可得小于等于的最小值，解不等式即得m的范围。
【详解】
由，，可得，当且仅当上式取得等号，若恒成立，则有，解得.
故选：B
本题考查利用基本不等式求恒成立问题中的参数取值范围，是常考题型。
2、D
【解析】
首先根据题意得到，，结合选项即可找到答案.
【详解】
因为，所以.
因为，所以.
故选：D
本题主要考查不等式的性质，属于简单题.
3、C
【解析】
分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.
详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
4、D
【解析】
先利用同角三角函数基本关系得，结合正余弦定理得进而得B,再利用化简得,得A值进而得C,则形状可求
【详解】
由题
即，由正弦定理及余弦定理得
即
故 整理得 ，故
故为顶角为的等腰三角形
故选D
本题考查利用正余弦定理判断三角形形状，注意内角和定理，三角恒等变换的应用，是中档题
5、C
【解析】
写出命题“假设时该命题成立，则时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断.
【详解】
由逆否命题可知，命题“假设时该命题成立，则时该命题也成立”的逆否命题为“假设当时该命题不成立，则当时该命题也不成立”，
由于当时，该命题不成立，则当时，该命题也不成立，故选：C.
本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.
6、D
【解析】
四个交点中的任何一个到焦点的距离和都是，然后分析正六边形中的长度和焦距的关系，从而建立等式求解.
【详解】
设椭圆的焦点是，圆与椭圆的四个交点是,
设，，，
，
.
故选D.
本题考查了椭圆的定义和椭圆的性质，属于基础题型
7、A
【解析】
根据线面平行判定定理以及作截面逐个分析判断选择.
【详解】
A中，因为,所以可得平面,又，可得平面，从而平面平面
B中，作截面可得平面平面（H为C1D1中点）,
如图：

C中，作截面可得平面平面（H为C1D1中点）,
如图：

D中，作截面可得为两相交直线，因此平面与平面不平行,
如图：

本题考查线面平行判定定理以及截面，考查空间想象能力与基本判断论证能力，属中档题.
8、C
【解析】
举例三边长分别是的三角形是钝角三角形，否定A，B，通过计算求出最大角是最小角的二倍的三角形，从而可确定C、D中哪个正确哪个错误．
【详解】
三边长分别是的三角形,最大角为，则，是钝角　，三角形是钝角三角形，A，B都错，
如图中，，，是的平分线，则，∴，，∴，
，
又由是的平分线，得，∴，解得，
∴“连续整边三角形”中最大角是最小角的2倍的三角形只有一个，边长分别为4，5，6，C正确，D错误．
故选D．

本题考查余弦定理，考查命题的真假判断，数学上要说明一个命题是假命题，只要举一个反例即可，而要说明它是真命题，则要进行证明．
9、B
【解析】
根据程序框图可知，当时结束计算，此时 .
【详解】
计算过程如下表所示：周期为6
n
2019

k
1
2
…
2018
2019
S

…

k<n
是
是
是
是
否
故选B.
本题考查程序框图，选用表格计算更加直观，此题关键在于判断何时循环结束.
10、C
【解析】
利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示，再利用均值不等式得到答案.
【详解】
设椭圆长轴，双曲线实轴，由题意可知：，
又，，
两式相减，可得：，，
. ，
，当且仅当时等立，
的最小值为6，
故选:C．

本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示是解题的关键，意在考查学生的计算能力.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
∵是三角形的内角，且，
∴
故答案为
点睛：本题是一道易错题，在上，，分两种情况：若，则；若，则有两种情况锐角或钝角.
12、
【解析】
试题分析：因为，所以函数的的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到．
【考点】三角函数图像的平移变换、两角差的正弦公式
【误区警示】在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言，即图像变换要看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少．
13、．
【解析】
根据等积法可得
∴
14、
【解析】
由圆的性质可知，直线与直线垂直，
，直线的斜率，
，解得.
故填：3.
本题考查了相交圆的几何性质，和直线垂直的关系，考查数形结合的思想与计算能力，属于基础题.
15、
【解析】

考点：此题主要考查三角函数的概念、化简、性质，考查运算能力.
16、4.
【解析】
分析：通过二倍角公式化简得到，进而推断或，进而求得结果.
详解：，所以或，
因为，所以或或或，
故解的个数是4.
点睛：该题考查的是有关方程解的个数问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正弦的倍角公式，方程的求解问题，注意一定不要两边除以，最后求得结果.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），（2），最大值为；，最小值为0
【解析】
（1）用已知的向量表示出，再进行化简整理，可得；（2）由正弦函数的值域可得。
【详解】
（1）由题得，，化简整理得，因此的最小正周期为，由得，则单调增区间为.（2）若，则，当，即时，取最大值，当，即时，取最小值0.综上，当时，取最大值，当时，取最小值0.
本题考查向量的运算和函数的周期，单调区间以及最值，知识点考查全面，难度不大。
18、（1）否；（2）；（3）；
【解析】
（1）根据数列中与的关系式，即可求解数列的通项公式，再结合等差数列的定义，即可求解；
（2）由（1）知，求得当时，，当时，，利用等差数列的前项和公式，分类讨论，即可求解.
（3）由（1）得到当时，，当时，，结合裂项法，求得，即可求解.
【详解】
（1）由题意，数列的前项和（），
当时，，
当，
所以数列的通项公式为，
所以数列不是等差数列.
（2）由（1）知，令，解得，
所以当时，，当时，，
①当时，

②当时，

综上可得.
（3）由（1）可得，当时，，
当时，，

，
要使得不等式对一切正整数总成立，则，
即.
本题主要考查了数列中与的关系式，等差数列的定义，数列的绝对值的和，以及“裂项法”的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.
19、（1），（2）万元
【解析】
（1）由题意计算，求出回归系数，写出线性回归方程；
（2）利用回归方程计算时的值即可．
【详解】
（1）由题意，

又，
所以
所以
所以线性回归方程为；
（2）由（1）知，当时，
预测某家庭年收入为120万元时，某年购买理财产品的支出为万元．
本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题．
20、（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）取的中点，连接，由平面平面，得平面，再证即可证明（2）证明平面，再根据面面垂直的判定定理从而进行证明．
【详解】
（1）取的中点，连接，因为，且，.
所以，.又因为平面平面，
所以平面，又平面，所以
又因为平面，平面，所以平面.

（2）连接，由（1）知，
又，，所以四边形是平行四边形，
所以.又是正三角形，为的中点，∴，
因为平面平面，所以平面，
所以平面.
又平面，所以.
因为，，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
本题考查了线面平行的证明，线面垂直，面面垂直的判定定理，考查空间想象和推理能力，熟记定理是关键，是一道中档题．
21、（1）（2）
【解析】
（1）代入求得，根据与的关系可求得，可知数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得结果；验证后可得最终结果；（2）由（1）可得，采用裂项相消的方法求得，可知，从而得到的范围.
【详解】
（1）由题知：，……①
令得：，解得：
当时，……②
①-②得： ∴，即
是以为首项，为公差的等差数列
经验证满足

（2）由（1）知：

即
本题考查等差数列通项公式的求解、裂项相消法求和，关键是能够利用与的关系证得数列为等差数列，从而求得通项公式，属于常规题型.