吉林省辉南县第一中学2025年数学高一下期末质量检测模拟试题含解析.doc

吉林省辉南县第一中学2025年数学高一下期末质量检测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知数列满足，且，其前n项之和为，则满足不等式的最小整数n是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．已知向量，满足，在上的投影（正射影的数量）为-2，则的最小值为（ ）
A． B．10 C． D．8
3．已知数列满足，则（ ）
A．2 B． C． D．
4．在中，若°，°，．则=
A． B． C． D．
5．若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是
A．
B．
C．
D．
6．如图，三棱柱中，侧棱底面ABC，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
7．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球”中的(　　)
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
8．已知随机事件中，与互斥，与对立，且，则（ ）
A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.9
9．直线的倾斜角不可能为（ ）
A． B． C． D．
10．若向量，，则在方向上的投影为（ ）
A．-2 B．2 C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设 为内一点，且满足关系式 ，则 ________.
12．如图，四棱锥中，所有棱长均为2，是底面正方形中心，为中点，则直线与直线所成角的余弦值为____________.

13．《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为__________.
14．设向量与向量共线，则实数等于__________．
15．已知球的表面积为4，则该球的体积为________．
16．函数的定义域为A，若时总有为单函数.例如，函数=2x+1（）是单函数.下列命题：
①函数=（xR）是单函数；②若为单函数，且则；③若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；
④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数.其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，为的中点，且，，.

（1）求证：平面；
（2）若点为线段上一点，且，求四棱锥的体积.
18．如图扇形的圆心角，半径为2，E为弧AB的中点C､D为弧AB上的动点，且，记，四边形ABCD的面积为.

（1）求函数的表达式及定义域；
（2）求的最大值及此时的值
19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝（a2+c2﹣b2）．
（1）求角B的大小；
（2）若边b＝，求a+c的取值范围．
20．函数.
（1）求函数的周期和递增区间；
（2）若，求函数的值域.
21．已知函数
（I）求的值
（II）求的最小正周期及单调递增区间.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
首先分析题目已知3an+1+an=4（n∈N*）且a1=9，其前n项和为Sn，求满足不等式|Sn﹣n﹣6|＜的最小整数n．故可以考虑把等式3an+1+an=4变形得到，然后根据数列bn=an﹣1为等比数列，求出Sn代入绝对值不等式求解即可得到答案．
【详解】
对3an+1+an=4 变形得：3（an+1﹣1）=﹣（an﹣1）
即：
故可以分析得到数列bn=an﹣1为首项为8公比为的等比数列．
所以bn=an﹣1=8×
an=8×+1
所以
|Sn﹣n﹣6|=
解得最小的正整数n=7
故选C．
此题主要考查不等式的求解问题，其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题，属于不等式与数列的综合性问题，判断出数列an﹣1为等比数列是题目的关键，有一定的技巧性属于中档题目．
2、D
【解析】
在上的投影（正射影的数量）为可知，可求出，求的最小值即可得出结果.
【详解】
因为在上的投影（正射影的数量）为，
所以，
即，而，
所以，
因为

所以，即，故选D.
本题主要考查了向量在向量上的正射影，向量的数量积，属于难题.
3、B
【解析】
利用数列的递推关系式，逐步求解数列的即可．
【详解】
解：数列满足，，
所以，
．
故选：B．
本题主要考查数列的递推关系式的应用，属于基础题．
4、A
【解析】
∵在△ABC中,A=45∘,B=60∘，a=2，
∴由正弦定理得：.
本题选择A选项.
5、C
【解析】
试题分析：如图所示：曲线即 （x-2）2+（y-3）2=4（-1≤y≤3），
表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，
直线与圆相切时，圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得=2，
∴b=1+2，b=1-2

当直线过点（4，3）时，直线与曲线有两个公共点，此时b=-1
结合图象可得≤b≤3
故答案为C
6、A
【解析】
以为坐标原点,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,由已知求
与的坐标,由两向量所成角的余弦值求解异面直线与所成角的余弦值．
【详解】

如图,以为坐标原点,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,
由已知得：,,
所以,.
设异面直线与所成角,则
故异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A
本题主要考查了利用空间向量求解线线角的问题,属于基础题.
7、A
【解析】
试题分析：结合互斥事件和对立事件的定义，即可得出结论
解：根据题意，结合互斥事件、对立事件的定义可得，事件“两球都为白球”和事件“两球都不是白球”；事件“两球都为白球”和事件“两球中恰有一白球”；不可能同时发生，故它们是互斥事件．
但这两个事件不是对立事件，因为他们的和事件不是必然事件．
故选A
考点：互斥事件与对立事件．
8、C
【解析】
由对立事件概率关系得到B发生的概率，再由互斥事件的概率计算公式求P(A + B).
【详解】
因为，事件B与C对立，所以，又，A与B互斥，所以，故选C.
本题考查互斥事件的概率，能利用对立事件概率之和为1进行计算，属于基本题.
9、D
【解析】
根据直线方程，分类讨论求得直线的斜率的取值范围，进而根据倾斜角和斜率的关系，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，可得当时，直线方程为，此时倾斜角为；
当时，直线方程化为，则斜率为：，
即，又由，解得或，
又由且，所以倾斜角的范围为，
显然A，B都符合，只有D不符合，
故选D.
本题主要考查了直线方程的应用，以及直线的倾斜角和斜率的关系，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力.
10、A
【解析】
向量，，所以，||=5，所以在方向上的投影为 =-2
故选A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由题意将已知中的向量都用为起点来表示，从而得到32，分别取AB、AC的中点为D、E，可得2，利用平面知识可得S△AOB与S△AOC及S△BOC
与S△ABC的关系，可得所求.
【详解】
∵，
∴32，∴2，分别取AB、AC的中点为D、E，
∴2，
∴S△AOBS△ABFS△ABCS△ABC；
S△AOCS△ACFS△ABCS△ABC；
S△BOCS△ABC，∴
故答案为：．

本题考查向量的加减法运算，体现了数形结合思想，解答本题的关键是利用向量关系画出助解图形．
12、.
【解析】
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与直线所成角的余弦值．
【详解】
解：四棱锥中，所有棱长均为2，是底面正方形中心，为中点，
，平面，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，， ，
∴， ，
设直线与直线所成角为，
则，
直线与直线所成角的余弦值为．
故答案为：．
本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题．
13、
【解析】
由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且平面，可得，．因为为直角三角形，可得，所以，因此，结合几何关系，可求得外接球的半径，，代入公式即可求球的表面积．
【详解】
本题主要考查空间几何体．
由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且平面，
，，，．
因为为直角三角形，
因此或（舍）．
所以只可能是，
此时，因此，
所以平面所在小圆的半径即为，
又因为，
所以外接球的半径，
所以球的表面积为．
本题考查三棱锥的外接球问题，难点在于确定BC的长，即得到，再结合几何性质即可求解，考查学生空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力，属中档题．
14、3
【解析】
利用向量共线的坐标公式,列式求解.
【详解】
因为向量与向量共线,
所以,
故答案为:3.
本题考查向量共线的坐标公式,属于基础题.
15、
【解析】
先根据球的表面积公式求出半径，再根据体积公式求解.
【详解】
设球半径为，则，解得，所以
本题考查球的面积、体积计算，属于基础题.
16、②③
【解析】
命题①：对于函数，设，故和可能相等，也可能互为相反数，即命题①错误；
命题②：假设，因为函为单函数，所以，与已知矛盾，故，即命题②正确；
命题③：若为单函数，则对于任意，，假设不只有一个原象与其对应，设为，则，根据单函数定义，，又因为原象中元素不重复，故函数至多有一个原象，即命题③正确；
命题④：函数在某区间上具有单调性，并不意味着在整个定义域上具有单调性，即命题④错误,
综上可知，真命题为②③.
故答案为②③．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析 （2）6
【解析】
（1）连接交于点，得出点为的中点，利用中位线的性质得出，再利用直线与平面平行的判定定理可得出平面；
（2）过作交于，由平面，得出平面，可而出，结合，可证明出平面，可得出，并计算出，利用平行线的性质求出的长，再利用锥体的体积公式可计算出四棱锥的体积.
【详解】
（1）连接交于，连接.
四边形为矩形，∴为中点.
又为中点，∴.
又平面，平面，
∴平面；
（2）过作交于.
∵平面，∴平面.
又平面，∴.
∵，，，平面，
∴平面.连接，则，
又是矩形，易证，而，，得，
由得，∴.
又矩形的面积为8，∴.
本题考查直线与平面平行的证明，以及锥体体积的计算，直线与平面平行的证明，常用以下三种方法进行证明：
（1）中位线平行；（2）平行四边形对边平行；（3）构造面面平行来证明线面平行．
一般遇到中点找中点，根据已知条件类型选择合适的方法证明．
18、（1）（2）当时，取最大值.
【解析】
（1）取OE与DC､AB的交点分别为M､N，在中，分别求出，，再利用梯形的面积公式求解即可；
（2）令，则，，再求最值即可.
【详解】
解：（1），OE与DC､AB的交点分别为M､N，
由已知可知，
在中，.，，
梯形ABCD的高，
则.
（2）设，则，，
则 ，，
则.
，当时，，
此时，即，
，，，故.
故的最大值为，此时.

本题考查了三角函数的应用，重点考查了运算能力，属中档题
19、（1）B=60°（2）
【解析】
（1）由三角形的面积公式，余弦定理化简已知等式可求tanB的值，结合B的范围可求B的值．
（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求a+csin（A），由题意可求范围A∈（，），根据正弦函数的图象和性质即可求解．
【详解】
（1）在△ABC中，∵S（a2+c2﹣b2）acsinB，cosB．
∴tanB，
∵B∈（0，π），
∴B．
（2）∵B，b，
∴由正弦定理可得1，可得：a＝sinA，c＝sinC，
∴a+c＝sinA+sinC＝sinA+sin（A）＝sinAcosAsinAsin（A），
∵A∈（0，），A∈（，），
∴sin（A）∈（，1]，
∴a+csin（A）∈（，]．
本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积计算公式及三角函数恒等变换的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20、（1）周期为，单调递增区间为；（2）.
【解析】
（1）利用二倍角降幂公式、两角差的正弦公式将函数的解析式化简为，然后利用周期公式可计算出函数的周期，解不等式即可得出函数的单调递增区间；
（2）由计算出的取值范围，可得出的范围，进而可得出函数的值域.
【详解】
（1），
所以，函数的周期为，
由，解得，
因此，函数的单调递增区间为；
（2）当时，，则，，
因此，函数在区间上的值域为.
本题考查正弦型三角函数周期、单调区间以及值域的求解，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将解析式进行化简，考查运算求解能力，属于中等题.
21、（I）2；（II）的最小正周期是，.
【解析】
（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．
（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间．
【详解】
（Ⅰ）f（x）＝sin2x﹣cos2xsin x cos x，
＝﹣cos2xsin2x，
＝﹣2，
则f（）＝﹣2sin（）＝2，
（Ⅱ）因为．
所以的最小正周期是．
由正弦函数的性质得
，
解得，
所以，的单调递增区间是．
本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．