2025届云南省丽江市数学高一第二学期期末联考模拟试题含解析.doc

2025届云南省丽江市数学高一第二学期期末联考模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则等于( )
A．-1 B． C． D．1
2．已知等差数列的前项和为,则（ ）
A． B． C． D．
3．函数的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
4．若且，则（ ）
A． B． C． D．
5．的内角，，的对边分别为，，．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中错误的是

A．
B．
C．三棱锥的体积为定值
D．
7．设为两条不同的直线，为三个不重合平面，则下列结论正确的是( )
A．若，，则 B．若， 则
C．若，，则 D．若，，则
8．设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．己知函数的最小值为，最大值为，若，则数列是（ ）
A．公差不为0的等差数列 B．公比不为1的等比数列
C．常数数列 D．以上都不对
10．已知直线yx+2，则其倾斜角为（ ）
A．60° B．120° C．60°或120° D．150°
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，设，若在数列中，对任意恒成立，则实数的取值范围是_________.
12．给出以下四个结论：
①平行于同一直线的两条直线互相平行；
②垂直于同一平面的两个平面互相平行；
③若，是两个平面；，是异面直线；且，，，，则；
④若三棱锥中，，，则点在平面内的射影是的垂心；
其中错误结论的序号为__________．（要求填上所有错误结论的序号）
13．向量．若向量，则实数的值是________．
14．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出80人作进一步调查，则在[1 500，2 000)(元)月收入段应抽出 人.

15．设奇函数的定义域为R，且对任意实数满足，若当∈[0,1]时，,则____.
16．一艘海轮从出发，沿北偏东方向航行后到达海岛，然后从出发沿北偏东方向航行后到达海岛，如果下次直接从沿北偏东方向到达，则______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．向量，，，函数．
（1）求的表达式，并在直角坐标中画出函数在区间上的草图；
（2）若方程在上有两个根、，求的取值范围及的值．
18．如图，已知平面，为矩形，分别为的中点，.

（1）求证：平面；
（2）求证：面平面；
（3）求点到平面的距离.
19．已知等比数列的公比，且的等差中项为10， .
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设， 求数列的前项和.
20．在中，，求角A的值。
21．某大学要修建一个面积为的长方形景观水池，并且在景观水池四周要修建出宽为2m和3m的小路如图所示问如何设计景观水池的边长，能使总占地面积最小？并求出总占地面积的最小值．

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
根据求得函数的周期，再结合奇偶性求得所求表达式的值.
【详解】
由于故函数是周期为的周期函数，故，故选C.
本小题主要考查函数的周期性，考查函数的奇偶性，考查函数值的求法，属于基础题.
2、C
【解析】
利用等差数列的求和公式及性质即可得到答案.
【详解】
由于，根据等差数列的性质，，故选C.
本题主要考查等差数列的性质与求和，难度不大.
3、A
【解析】
对利用两角和正弦公式展开，合并同类项化成单个余弦函数形式.
【详解】
，
.
考查三角恒等变换、辅助角公式及余弦函数的最值.
4、A
【解析】
利用同角的三角函数关系求得,再根据正弦的二倍角公式求解即可
【详解】
由题,因为,,
所以或,
因为,所以,则,
所以,
故选:A
本题考查正弦的二倍角公式的应用,考查同角的三角函数关系的应用,考查已知三角函数值求三角函数值问题
5、A
【解析】
由正弦定理，整理得到，即可求解，得到答案.
【详解】
在中，因为，
由正弦定理可得，
因为，则，所以，即，
又因为，则，故选A.
本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟练应用正弦定理的边角互化，以及特殊角的三角函数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6、D
【解析】
可证，故A正确；由∥平面ABCD，可知，B也正确；连结BD交AC于O，则AO为三棱锥的高，，三棱锥的体积为为定值，C正确；D错误。选D。
7、D
【解析】
根据空间中线线、线面、面面位置关系，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
A选项，若，，则可能平行、相交或异面；故A错；
B选项，若， ，则或，故B错；
C选项，若，，因为为三个不重合平面，所以或，故C错；
D选项，若，，则，故D正确；
故选D
本主要考查命题真假的判定，熟记空间中线线、线面、面面位置关系，即可得出结果.
8、D
【解析】
根据等差数列片断和的性质得出、、、成等差数列，并将和都用表示，可得出的值．
【详解】
根据等差数列的性质，若数列为等差数列，则也成等差数列；又，则数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，故选D．
本题考查等差数列片断和的性质，再利用片断和的性质时，要注意下标之间的倍数关系，结合性质进行求解，考查运算求解能力，属于中等题．
9、C
【解析】
先根据判别式法求出的取值范围,进而求得和的关系,再展开算出分析即可.
【详解】
设,则,
因为,故,故二次函数,整理得
,故与为方程的两根,所以为常数.
故选C.
本题主要考查判别式法求分式函数范围的问题,再根据二次函数的韦达定理进行求解分析即可.
10、B
【解析】
根据直线方程求出斜率，根据斜率和倾斜角之间的关系即可求出倾斜角．
【详解】
由已知得直线的斜率，则倾斜角为120°，
故选：B．
本题考查斜率和倾斜角的关系，是基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
首先分析题意，可知是取和中的最大值，且是该数列中的最小项，结合数列的单调性和数列的单调性可得出或，代入数列的通项公式即可求出实数的取值范围.
【详解】
由题意可知，是取和中的最大值，且是数列中的最小项.
若，则，则前面不会有数列的项，
由于数列是单调递减数列，数列是单调递增数列.
，
数列单调递减，当时，必有，即.
此时，应有，，即，解得.
，即，得，此时；
若，则，同理，前面不能有数列的项，
即，当时，数列单调递增，数列单调递减，
.
当时，，由，即，解得.
由，得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
本题考查利用数列的最小项求参数的取值范围，同时也考查了数列中的新定义，解题的关键就是要分析出数列的单调性，利用一些特殊项的大小关系得出不等式组进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.
12、②
【解析】
③①可由课本推论知正确；②可举反例；④可进行证明.
【详解】
命题①平行于同一直线的两条直线互相平行,由课本推论知是正确的；②垂直于同一平面的两个平面互相平行，是错误的，例如正方体的上底面，前面和右侧面,是互相垂直的关系；③根据课本推论知结论正确；④若三棱锥中，，，则点在平面内的射影是的垂心这一结论是正确的；作出B在底面的射影O,连结AO,DO,则，同理， ，进而得到O为三角形的垂心.

故答案为②
这个题目考查了命题真假的判断，一般这类题目可以通过课本的性质或者结论进行判断；也可以通过举反例来解决这个问题.
13、-3
【解析】
试题分析：∵，∴，又∵，∴，∴，∴
考点：本题考查了向量的坐标运算
点评：熟练运用向量的坐标运算是解决此类问题的关键，属基础题
14、16
【解析】
试题分析：由频率分布直方图知，收入在1511--2111元之间的概率为1．1114×511=1．2，所以在[1 511，2 111）（元）月收入段应抽出81×1．2=16人。
考点：频率分布直方图的应用；‚分层抽样。
15、
【解析】
根据得到周期，再利用周期以及奇函数将自变量转变到给定区间计算函数值.
【详解】
因为，所以，所以，又因为，所以，则，
故，又因为是奇函数，
所以，则.
（1）形如的函数是周期函数，周期；
（2）若要根据奇偶性求解分段函数的表达式，记住一个原则：“用未知表示已知”，也就是将自变量变形，利用已知范围和解析式求解.
16、
【解析】
首先根据余弦定理求出，在根据正弦定理求出，即可求出
【详解】
有题知

.
所以.
在中，，
即，解得.
所以，
故答案为：
本题主要考查正弦定理和余弦定理的实际应用，熟练掌握公式为解题的关键，属于中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），见解析（2）或，或．
【解析】
（1）根据数量积的坐标表示，二倍角公式，辅助角公式即可求出的表达式，再根据五点作图法或者平移法即可作出其在上的草图；
（2）依题意知，函数在上的图象与直线有两个交点，根据数形结合，即可求出的取值范围及的值．
【详解】
（1）依题知，
．
将正弦函数的图象向右平移个单位，再将各点的横坐标变为原来的，即可得到的图象，截取的部分即得，如图所示：

（2）依题可知，函数在上的图象与直线有两个交点，根据数形结合，
可知，或，当时，两交点关于直线对称，
所以；当时，两交点关于直线对称，所以．
故或，或．

本题主要考查数量积的坐标表示，二倍角公式，辅助角公式的应用，正弦型函数图象的画法，以及方程的根与两函数图象交点的个数关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，数形结合能力，以及转化能力，属于中档题．
18、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
(1)利用线面平行的判定定理，寻找面PAD内的一条直线平行于MN，即可证出；（2）先证出一条直线垂直于面PCD，依据第一问结论知，MN也垂直于面PCD，利用面面垂直的判定定理即可证出；
（3）依据等积法，即可求出点到平面的距离．
【详解】
证明：（1）取中点为，连接分别为的中点，
是平行四边形，
平面，平面，∴平面
证明：（2）因为平面，所以，而,
面PAD，而面 ，所以,
由,为的终点，所以
由于平面，又由（1）知，
平面，平面，∴平面平面
解：（3），
，，
则点到平面的距离为
（也可构造三棱锥）
本题主要考查线面平行、面面垂直的判定定理以及等积法求点到面的距离，意在考查学生的直观想象、逻辑推理、数学运算能力．
19、（Ⅰ）.（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）利用已知条件求出首项与公差，然后根据等比数列的通项公式，即可求出结果；
（Ⅱ）先求出，再利用错位相减法求数列的前项和.
【详解】
解析：（Ⅰ）由题意可得：，
∴
∵，∴，∴数列的通项公式为.
（Ⅱ） ， ∴

上述两式相减 可得
∴=
本题考查等比数列通项公式的求法，以及利用错位相减法求和，考查计算能力，属于基础题．
20、或
【解析】
根据的值可确定，进而得到，利用两角和差公式、二倍角公式和辅助角公式化简求值可求得，根据所处范围可求得的值，进而求得角.
【详解】
且

或
或
本题考查利用三角恒等变换的公式化简求值的问题，涉及到两角和差的正弦公式、二倍角公式和辅助角公式的应用、特殊角三角函数值的求解问题；关键是能够通过三角恒等变换公式，整理化简已知式子，得到与所求角有关的角的三角函数值.
21、水池一边长为12m，另一边为18m，总面积为最小，为．
【解析】
设水池一边长为xm，则另一边为，表示出面积利用基本不等式求解即可．
【详解】
设水池一边长为xm，则另一边为，
总面积，
当且仅当时取等号，
故水池一边长为12m，则另一边为18m，总面积为最小，为，
本题考查函数在实际问题中的应用，基本不等式的应用，考查计算能力．