2025届广西柳江中学高一下数学期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

2025届广西柳江中学高一下数学期末质量跟踪监视模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）
A．钱 B．钱 C．钱 D．钱
2．已知函数的值域为，且图象在同一周期内过两点，则的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
3．若向量，则
A． B． C． D．
4．已知数列（，）具有性质：对任意、（），与两数中至少有一个是该数列中的一项，对于命题：
① 若数列具有性质，则；
② 若数列，，（）具有性质，则；
下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
5．已知数列前项和为，且满足，（为非零常数），则下列结论中:
①数列必为等比数列；②时，；③；④存在，对任意的正整数，都有
正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．把函数的图象经过变化而得到的图象，这个变化是（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
8．在中，设角，，的对边分别是，，，且，则一定是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
9．若，则下列不等式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知命题，，若是真命题，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．一艘轮船按照北偏西30°的方向以每小时21海里的速度航行，一个灯塔M原来在轮船的北偏东30°的方向，经过40分钟后，测得灯塔在轮船的北偏东75°的方向，则灯塔和轮船原来的距离是_____海里．
12．在等比数列中，，，则__________．
13．如图所示，已知点，单位圆上半部分上的点满足，则向量的坐标为________．

14．在中，若，则____；
15．已知二面角为60°，动点P、Q分别在面、内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为 ．
16．已知向量，，则向量与夹角的余弦值为__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设数列的前项和.已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）是否对一切正整数，有？说明理由.
18．已知函数的最小正周期为，且其图象的一个对称轴为，将函数图象上所有点的橫坐标缩小到原来的倍，再将图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.
（1）求的解析式，并写出其单调递增区间；
（2）求函数在区间上的零点；
（3）对于任意的实数，记函数在区间上的最大值为，最小值为，求函数在区间上的最大值.
19．设的内角所对应的边长分别是，且.
（Ⅰ）当时，求的值；
（Ⅱ）当的面积为时，求的值．
20．已知
（1）求函数的单调递减区间：
（2）已知，求的值域
21．为选派一名学生参加全市实践活动技能竟赛，A、B两位同学在学校的学习基地现场进行加工直径为20mm的零件测试，他俩各加工的10个零件直径的相关数据如图所示（单位：mm）

A、B两位同学各加工的10个零件直径的平均数与方差列于下表；

平均数
方差
A
20
0.016
B
20
s2B
根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：
（Ⅰ）计算s2B，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些；
（Ⅱ）考虑图中折线走势情况，你认为派谁去参赛较合适？请说明你的理由．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为,则,解得,又,则,故选B.
2、C
【解析】
根据值域先求，再代入数据得到最大值和最小值对应相差得到答案.
【详解】
函数的值域为
即
，图象在同一周期内过两点

故答案选C
本题考查了三角函数的最大值最小值，周期，意在考查学生对于三角函数公式和性质的灵活运用和计算能力.
3、B
【解析】
根据向量的坐标运算法则，可直接得出结果.
【详解】
因为，所以.
故选B
本题主要考查向量的坐标运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.
4、A
【解析】
本题是一种重新定义问题，要我们理解题目中所给的条件，解决后面的问题，把后面的问题挨个验证．
【详解】
解：①若数列具有性质，取数列中最大项，则与两数中至少有一个是该数列中的一项，而不是该数列中的项，
是该数列中的项，
又由，
；故①正确；
②数列，，具有性质，，
与至少有一个是该数列中的一项，且，
若是该数列中的一项，则，
，易知不是该数列的项
，．
若是该数列中的一项，则或或，
a、若同，
b、若，则，与矛盾，
c、，则，
综上．故②正确．
故选：．
考查数列的综合应用，此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属中档题．
5、C
【解析】
由数列的递推式和等比数列的定义可得数列为首项为，公比为的等比数列，结合等比数列的通项公式和求和公式，即可判断．
【详解】
，可得，即，
时，，，
相减可得，即有数列为首项为，公比为的等比数列，故①正确；
由①可得时，，故②错误；
，
，则，即③正确；
由①可得，等价为，
可得，故④正确．
故选：．
本题考查数列的递推式的运用，以及等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
6、C
【解析】
去掉绝对值将函数化为分段函数的形式后可得其图象的大体形状．
【详解】
由题意得，
所以其图象的大体形状如选项C所示．
故选C．
解答本题的关键是去掉函数中的绝对值，将函数化为基本函数后再求解，属于基础题．
7、B
【解析】
试题分析：，与比较可知：只需将向右平移个单位即可
考点：三角函数化简与平移
8、C
【解析】
利用二倍角公式化简已知表达式，利用余弦定理化角为边的关系，即可推出三角形的形状．
【详解】
解：因为，所以，
即，由余弦定理可知：，
所以．
所以三角形是直角三角形．
故选：．
本题考查三角形的形状的判断，余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．
9、C
【解析】
，可得，则根据不等式的性质逐一分析选项，A：，，所以成立；B：，则，根据基本不等式以及等号成立的条件则可判断；C：且，根据可乘性可知结果；D：，根据乘方性可判断结果.
【详解】
A：由题意，不等式，可得，
则，，所以成立，所以A是正确的；
B：由，则，所以，因为，所以等号不成立，所以成立，所以B是正确的；
C：由且，根据不等式的性质，可得，所以C不正确；
D：由，可得，所以D是正确的，
故选：C.
本题考查不等式的性质，不等式等号成立的条件，熟记不等式的性质是解题的关键，属于基础题.
10、A
【解析】
由题意知，不等式有解，可得出，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围.
【详解】
已知命题，，若是真命题，则不等式有解，
，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：A.
本题考查利用全称命题的真假求参数，涉及一元二次不等式有解的问题，考查计算能力，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
画出示意图，利用正弦定理求解即可.
【详解】
如图所示：为灯塔，为轮船

，，则在中有：，且海里，则解得：海里.
本题考查解三角形的实际应用，难度较易.关键是能通过题意将航海问题的示意图画出，然后选用正余弦定理去分析问题.
12、8
【解析】
可先计算出公比，从而利用求得结果.
【详解】
因为，所以，所以，则.
本题主要考查等比数列基本量的相关计算，难度很小.
13、
【解析】
设点，由和列方程组解出、的值，可得出向量的坐标.
【详解】
设点的坐标为，则，由，得，解得，
因此，，故答案为.
本题考查向量的坐标运算，解题时要将一些条件转化为与向量坐标相关的等式，利用方程思想进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.
14、
【解析】
试题分析：因为，所以．由正弦定理，知，所以＝＝．
考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、正弦定理．
15、
【解析】
如图
分别作于A,于C,于B,于D,
连CQ,BD则,,

又
当且仅当,
即点A与点P重合时取最小值.
故答案选C.

16、
【解析】
先求出，再求，最后代入向量的夹角公式即得解.
【详解】
由题得
所以向量与夹角的余弦值为.
故答案为
(1)本题主要考查向量的夹角的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一：,方法二：设=,=，为向量与的夹角，则.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）对一切正整数，有.
【解析】
（1）运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；
（2）对一切正整数n，有，
考虑当时，，再由裂项相消求和，即可得证。
【详解】
（1）

当时，
两式做差得
，
，当时，上式显然成立，。
（2）证明：当时，
可得
由
可得
即有<
则当时，不等式成立。
检验时，不等式也成立，综上对一切正整数n，有。
本题考查数列递推式，考查数列求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键．
18、（1），单调递增区间为；
（2）、、；（3）.
【解析】
（1）由函数的最小正周期求出的值，由图象的对称轴方程得出的值，从而可求出函数的解析式；
（2）先利用图象变换的规律得出函数的解析式，然后在区间上解方程可得出函数的零点；
（3）对分三种情况、、分类讨论，分析函数在区间上的单调性，得出和，可得出关于的表达式，再利用函数的单调性得出函数的最大值.
【详解】
（1）由题意可知，，.
令，即，
即函数的图象的对称轴方程为.
由于函数图象的一条对称轴方程为，，
，，，则，因此，.
函数的单调递增区间为；
（2）将函数的图象上所有点的橫坐标缩小到原来的倍，得到函数.
再将所得函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数.
令，即，化简得，
得或.
由于，当时，；当时，或.
因此，函数在上的零点为、、；
（3）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，，由于，，
此时，；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，，由于，，
此时，；
当时，函数在区间上单调递减，
所以，，，
此时，.
所以，.
当时，函数单调递减，；
当时，函数单调递增，此时；
当时，，当时，.
综上所述：.
本题考查利用三角函数性质求解析式、考查三角函数图象变换、三角函数的零点以及三角函数的最值，考查三角函数在动区间上的最值，要充分考查函数的单调性，结合三角函数的单调性求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.
19、（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由得，再利用正弦定理即可求出（Ⅱ）由可得，再利用余弦定理即可求出.
【详解】
（Ⅰ）∵∴，
由正弦定理可知： ，∴
（Ⅱ）∵
∴
由余弦定理得：
∴，即
则：
故：
本题主要考查了正弦定理与余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
20、（1）();（2）
【解析】
（1）将三角函数化简为，再求函数的单调减区间.
（2）根据得到，得到最后得到答案.
【详解】
（1），
令解得：
可得函数的单调递减区间为：();
（2）

的值域为
本题考查了三角函数的单调区间和值域，将三角函数化简为标准形式是解题的关键，意在考查学生的计算能力.
21、（Ⅰ）0.008，B的成绩好些（Ⅱ）派A去参赛较合适
【解析】
（Ⅰ）利用方差的公式，求得S2A＞S2B，从而在平均数相同的情况下，B的波动较小，由此得到B的成绩好一些；
（Ⅱ）从图中折线趋势可知尽管A的成绩前面起伏大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A的潜力大，从而派A去参赛较合适.
【详解】
（Ⅰ）由题意，根据表中的数据，利用方差的计算公式，可得
S2B
∴S2A＞S2B，∴在平均数相同的情况下，B的波动较小，
∴B的成绩好些．
（Ⅱ）从图中折线趋势可知：
尽管A的成绩前面起伏大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A的潜力大，
∴派A去参赛较合适．
本题主要考查了方差的求法及其应用，同时考查了折线图、方差的性质等基础知识.