2024-2025学年上海市宝山区行知中学数学高一第二学期期末复习检测试题含解析.doc

2024-2025学年上海市宝山区行知中学数学高一第二学期期末复习检测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积(弦矢+矢).弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，弦长等于的弧田.按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积为（ ）
A． B． C． D．
2．已知的三个内角所对的边分别为.若，则该三角形的形状是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形
3．已知奇函数满足，则的取值不可能是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．10
4．已知直线与圆交于A、B两点，O是坐标原点，向量、满足，则实数a的值是（ ）
A．2 B． C．或 D．2或
5．命题“”的否定是（ ）
A．, B．,
C．, D．,
6．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1000 m/h，飞行员先看到山顶的俯角为，经过1 min后又看到山顶的俯角为，则山顶的海拔高度为（精确到0.1 km，参考数据：）

A．11.4 km B．6.6 km C．6.5 km D．5.6 km
7．某厂家生产甲、乙、丙三种不同类型的饮品・产量之比为2:3:4.为检验该厂家产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则样本中乙类型饮品的数量为
A．16 B．24 C．32 D．48
8．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为
A． B． C． D．
9．在等比数列{an}中，若a2，a9是方程x2﹣2x﹣6＝0的两根，则a4•a7的值为（）
A．6 B．1 C．﹣1 D．﹣6
10．已知数列前项和为，且满足，（为非零常数），则下列结论中:
①数列必为等比数列；②时，；③；④存在，对任意的正整数，都有
正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．方程在区间内解的个数是________
12．已知sin+cosα=，则sin2α=__
13．在中，比长4，比长2，且最大角的余弦值是，则的面积等于______________．
14．终边经过点，则_____________
15．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点，，动点满足（其中和是正常数，且），则的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为__________．
16．若角的终边过点，则______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．2013年11月，总书记到湖南湘西考察时首次作出了“实事求是、因地制宜、分类指导精准扶贫”的重要指示.2014年1月，中央详细规制了精准扶贫工作模式的顶层设计，推动了“精准扶贫”思想落地.2015年1月，精准扶贫首个调研地点选择了云南，标志着精准扶贫正式开始实行．某单位立即响应党中央号召，对某村6户贫困户中的甲户进行定点帮扶，每年跟踪调查统计一次，从2015年1月1日至2018年12月底统计数据如下（人均年纯收入）：
年份
2015年
2016年
2017年
2018年
年份代码
1
2
3
4
收入（百元）
25
28
32
35
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并估计甲户在2019年能否脱贫；（注：国家规定2019年脱贫标准：人均年纯收入为3747元）
（2）2019年初，根据扶贫办的统计知，该村剩余5户贫困户中还有2户没有脱贫，现从这5户中抽取2户，求至少有一户没有脱贫的概率．
参考公式：，，其中为数据的平均数．
18．已知圆经过、、三点．
（1）求圆的标准方程；
（2）若过点的直线被圆截得的弦的长为，求直线的倾斜角．
19．如图，在平面四边形中，已知，，在上取点，使得，连接，若， 。

（1）求 的值；
（2）求的长。
20．正四面体是侧棱与底面边长都相等的正三棱锥，它的对棱互相垂直.有一个如图所示的正四面体，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点.

（1）求证：面EFG；
（2）求异面直线EG与AC所成角的大小.
21．在中，
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，，求的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
首先根据图形计算出矢，弦，再带入弧田面积公式即可.
【详解】
如图所示：

因为，，为等边三角形.
所以，矢，弦.
.
故选：C
本题主要考查扇形面积公式，同时考查学生对题意的理解，属于中档题.
2、B
【解析】
利用三角形的内角关系及三角变换公式得到，从而得到，此三角形的形状可判断.
【详解】
因为，
故，整理得到，
所以，因，所以即，
故为等腰三角形，故选B.
本题考查两角和、差的正弦，属于基础题，注意角的范围的讨论.
3、B
【解析】
由三角函数的奇偶性和对称性可求得参数的值.
【详解】
由是奇函数得
又因为得关于对称，
所以，
解得
所以当时，得A答案；
当时，得C答案
；当时，得D答案；
故选B.
本题考查三角函数的奇偶性和对称性，属于基础题.
4、D
【解析】
由，两边平方，得，
所以，则为等腰直角三角形，
而圆的半径，
则原点到直线的距离为，
所以，解得的值为2或-2 ．故选D．
5、B
【解析】
含有一个量词的命题的否定，注意“改量词，否结论”.
【详解】
改为，改成，则有：.
故选：B.
本题考查含一个量词的命题的否定，难度较易.
6、C
【解析】
根据题意求得和的长，然后利用正弦定理求得BC，最后利用求得问题答案.
【详解】
在中，
根据正弦定理，

所以：山顶的海拔高度为18-11.5=6.5 km.
故选：C
本题考查了正弦定理在实际问题中的应用，考查了学生数学应用，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.
7、B
【解析】
根据分层抽样各层在总体的比例与在样本的比例相同求解.
【详解】
因为分层抽样总体和各层的抽样比例相同，
所以各层在总体的比例与在样本的比例相同，
所以样本中乙类型饮品的数量为.
故选B.
本题考查分层抽样，依据分层抽样总体和各层的抽样比例相同.
8、D
【解析】
分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.
详解：设2名男同学为，3名女同学为，
从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能，
选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能
则选中的2人都是女同学的概率为，
故选D.
点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.
9、D
【解析】
由题意利用韦达定理，等比数列的性质，求得a4•a7的值．
【详解】
∵等比数列{an}中，若a2，a9是方程x2﹣2x﹣6＝0的两根，∴a2•a9＝﹣6，
则a4•a7＝a2•a9＝﹣6，
故选：D．
本题主要考查等比数列的性质及二次方程中韦达定理的应用，考查了分析问题的能力，属于基础题．
10、C
【解析】
由数列的递推式和等比数列的定义可得数列为首项为，公比为的等比数列，结合等比数列的通项公式和求和公式，即可判断．
【详解】
，可得，即，
时，，，
相减可得，即有数列为首项为，公比为的等比数列，故①正确；
由①可得时，，故②错误；
，
，则，即③正确；
由①可得，等价为，
可得，故④正确．
故选：．
本题考查数列的递推式的运用，以及等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、4.
【解析】
分析：通过二倍角公式化简得到，进而推断或，进而求得结果.
详解：，所以或，
因为，所以或或或，
故解的个数是4.
点睛：该题考查的是有关方程解的个数问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正弦的倍角公式，方程的求解问题，注意一定不要两边除以，最后求得结果.
12、
【解析】
∵，
∴即，
则.
故答案为：.
13、
【解析】
由a比c长4，b比c长2，用c表示出a与b，可得出a为最大边，即A为最大角，可得出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，同时利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a与b代入，并根据最大角的余弦值，得到关于c的方程，求出方程的解得到c的值，然后由b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【详解】
根据题意得：a=c+4，b=c+2，则a为最长边，
∴A为最大角，又cosA=，且A为三角形的内角，
，

整理得：，即(c−3)(c+2)=0，
解得：c=3或c=−2(舍去)，
∴a=3+4=7，b=3+2=5，
则△ABC的面积S=bcsinA=.
故答案为：.
余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
14、
【解析】
根据正弦值的定义，求得正弦值.
【详解】
依题意.
故答案为：
本小题主要考查根据角的终边上一点的坐标求正弦值，属于基础题.
15、
【解析】
设，由动点满足（其中和是正常数，且），可得，化简整理可得.
【详解】
设，由动点满足（其中和是正常数，且），
所以，
化简得，
即，
所以该圆半径
故该圆的半径为.
本题考查圆方程的标准形式和两点距离公式，难点主要在于计算.
16、-2
【解析】
由正切函数定义计算.
【详解】
根据正切函数定义：.
故答案为－2.
本题考查三角函数的定义，掌握三角函数定义是解题基础.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) ；甲户在2019年能够脱贫； (2)
【解析】
（1）由已知数据求得与的值，得到线性回归方程，取求得值，说明甲户在2019年能否脱贫；（2）列出从该村剩余5户贫困户中任取2户的所有可能情况，利用随机事件的概率计算公式求解．
【详解】
（1）根据表格中数据可得，
，
由，，可得．
∴关于的线性回归方程，
当时，（百元），
∵3850＞3747，∴甲户在2019年能够脱贫；
（2）设没有脱贫的2户为，另3户为，
所有可能的情况为：共有10种可能．
其中至少有一户没有脱贫的可能情况有7种．
∴至少有一户没有脱贫的概率为．
本题主要考查线性回归方程的求法，考查随机事件概率的求法，是中档题．
18、（1）；（2）或.
【解析】
（1）设出圆的一般方程，然后代入三个点的坐标，联立方程组可解得；
（2）讨论直线的斜率是否存在，根据点到直线的距离和勾股定理列式可得直线的倾斜角．
【详解】
（1）设圆的一般方程为，
将点、、的坐标代入圆的方程得，解得，
所以，圆的一般方程为，标准方程为；
（2）设圆心到直线的距离为，则.
①当直线的斜率不存在时，即直线到圆心的距离为，满足题意，此时直线的倾斜角为；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，解得，
此时，直线的倾斜角为.
综上所述，直线的倾斜角为或.
本题考查圆的方程的求解，同时也考查了利用直线截圆的弦长求直线的倾斜角，一般转化为求圆心到直线的距离，并结合点到直线的距离公式以及勾股定理列等式求解，考查计算能力，属中档题．
19、（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）在中，直接由正弦定理求出；（2）在中，，，可求出，在中，直接由余弦定理可求得.
试题解析：（1）在中，据正弦定理，有.
∵，，，
∴.
（2）由平面几何知识，可知，在中，∵，，
∴.
∴.
在中，据余弦定理，有

∴

点睛：此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．在中，涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
20、（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）连接EF，FG，GE，通过三角形的中位线可得，进而可得面EFG；
（2）由题可得为异面直线EG与AC所成角，根据正四棱锥的特点得到为等腰直角三角形，进而可得结果.
【详解】
解：（1）连接EF，FG，GE，如图，

E，F分别是棱AB，BC的中点，
，又面EFG，面EFG，
面EFG；
（2）由（1），则为异面直线EG与AC所成角，
AC与BD是正四面体的对棱，
，又，
，
又 ，
为等腰直角三角形，
，
即异面直线EG与AC所成角的大小为.
本题考查线面平行的证明，以及异面直线所成的角，通过直线平行找到异面直线所成角的平面角是关键，本题难度不大.
21、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由正弦定理、二倍角公式，结合可将已知边角关系式化简为，从而求得，根据可求得；（Ⅱ）由三角形面积公式可求得；利用余弦定理可构造方程求得结果.
【详解】
（Ⅰ）由正弦定理得：

，即

（Ⅱ）由得：
由余弦定理得：
本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于常考题型.