2025年云南省曲靖市高一数学第二学期期末统考试题含解析.doc

2025年云南省曲靖市高一数学第二学期期末统考试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在正方体中，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成的角为
A． B． C． D．
2．设，,则的值可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．在中，分别为角的对边)，则的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．等腰直角三角形 D．正三角形
4．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．中，角所对的边分别为，已知向量，，且共线，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
6．在中，已知a，b，c分别为，，所对的边，且a，b，c成等差数列，，,则（ ）
A． B． C． D．
7．设的内角所对边的长分别为，若,则角=（ ）
A． B．
C． D．
8．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是（　）

A．5 B．6 C．7 D．8
9．已知实数满足约束条件，则目标函数的最小值为( )
A． B． C．1 D．5
10．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列命题：
①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则.其中正确的命题是（ ）
A．②③ B．①③ C．②④ D．①④
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知直线平分圆的周长，则实数________．
12．在中，角的对边分别为. 若，则的值为__________.
13．函数的值域是__________.
14．三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=60°则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________.

15．圆与圆的公共弦长为______________。
16．已知等差数列，若，则______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设向量，，其中.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
18．已知△ABC中，A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，0）．求
（1）过点A且平行于BC边的直线的方程；
（2）BC边的中线所在直线的方程．
19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，与交于点，，分别为，的中点.

（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求证：∥平面；
（Ⅲ）求证：平面.
20．已知函数.
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）若方程在有两个不同的实根，求的取值范围．
21．已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
如图做辅助线，正方体中，且，P，M为和中点，,则即为所求角，设边长即可求得．
【详解】
如图，取的中点，连接，，.因为为棱的中点，为的中点，所以，所以，则是异面直线与所成角的平面角.设，在中，，，则，即.

本题考查异面直线所成的角，解题关键在于构造包含异面直线所成角的三角形．
2、A
【解析】
由，可得到，然后根据反余弦函数的图象与性质即可得到答案.
【详解】
因为，所以，
则.
故选：A
本题主要考查反余弦函数的运用，熟练掌握反余弦函数的概念及性质是解决本题的关键.
3、A
【解析】
根据正弦定理得到，化简得到，得到，得到答案.
【详解】
，则，
即，即，
，故，.
故选：.
本题考查了正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和转化能力.
4、D
【解析】
将指数形式化为对数形式可得，再利用换底公式即可.
【详解】
解：因为，
所以，
故选：D.
本题考查了指数与对数的互化，重点考查了换底公式，属基础题.
5、D
【解析】
由向量共线的坐标表示得一等式，然后由正弦定理化边为角，利用诱导公式得展开后代入原式化简得，分类讨论得解．
【详解】
∵共线，∴，即，
，
，
整理得，
所以或，
或或（舍去）．
∴三角形为直角三角形或等腰三角形．
故选：D.
本题考查三角形形状的判断，考查向量共线的坐标表示，考查正弦定理，两角和的正弦公式，考查三角函数性质．解题时不能随便约分漏解．
6、B
【解析】
利用成等差数列可得,再利用余弦定理构造的结构再代入求得即可.
【详解】
由成等差数列可得,由余弦定理有,
即,解得,即.
故选：B
本题主要考查了等差中项与余弦定理的运算,需要根据题意构造与的结构代入求解.属于中档题.
7、B
【解析】
试题分析：，由正弦定理可得即； 因为，所以，所以，而，所以，故选B.
考点：1.正弦定理；2.余弦定理.
8、A
【解析】
试题分析：第一次循环运算：；第二次：；第三次：；第四次：；第五次：，这时符合条件输出，故选A.
考点：算法初步.
9、A
【解析】
作出不等式组表示的平面区域，再观察图像即可得解.
【详解】
解：先作出不等式组表示的平面区域，如图所示，
由图可知目标函数所对应的直线过点时目标函数取最小值，
则，
故选：A.

本题考查了简单的线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题.
10、B
【解析】
利用空间中线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定与性质即可作答.
【详解】
垂直于同一条直线的两个平面互相平行,故①对；平行于同一条直线的两个平面相交或平行，故②错；若，，，则或与为异面直线或与为相交直线，故④错；若，则存在过直线的平面，平面交平面于直线，，又因为，所以，又因为平面，所以，故③对.
故选B.
本题主要考查空间中，直线与平面平行或垂直的判定与性质,以及平面与平面平行或垂直的判定与性质，属于基础题型.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】
由题得圆心在直线上，解方程即得解.
【详解】
由题得圆心（1，a）在直线上，
所以.
故答案为1
本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
12、1009
【解析】
利用余弦定理化简所给等式，再利用正弦定理将边化的关系为角的关系，变形化简即可得出目标比值．
【详解】
由得，即，
所以，故．
本题综合考查正余弦定理解三角形，属于中档题．
13、
【解析】
根据反余弦函数的性质，可得函数在单调递减函数，代入即可求解．
【详解】
由题意，函数的性质，可得函数在单调递减函数，
又由，所以函数在的值域为．
故答案为：.
本题主要考查了反余弦函数的单调性的应用，其中解答中熟记反余弦函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
14、
【解析】
如图设设棱长为1，则，因为底面边长和侧棱长都相等，且所以，所以，，，设异面直线的夹角为，所以.
15、
【解析】
利用两圆一般方程求两圆公共弦方程，求其中一圆到公共弦的距离，利用直线被圆截得的弦长公式可得所求.
【详解】
由两圆方程相减得两圆公共弦方程为，即，
圆化为，圆心到直线的距离为1，所以两圆公共弦长为，故答案为.
本题考查两圆位置关系，直线与圆的位置关系，考查运算能力，属于基本题.
16、
【解析】
利用等差数列的通项公式直接求解.
【详解】
设等差数列公差为，由，得，
解得.
故答案：.
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）由向量垂直的坐标运算求出，再构造齐次式求解即可；
（2）先由向量的模的运算求得，再由求解即可.
【详解】
解：（1）若，则，得，
所以；
（2）因为，，
则，
因为，所以，
即，
化简得，
即，所以，
因为，所以，则，
所以，
，
所以
，
故.
本题考查了三角函数构造齐次式求值，重点考查了两角差的正弦公式及二倍角公式，属中档题.
18、（1）3x﹣4y﹣19＝1（2）7x﹣y﹣11＝1
【解析】
（1）先求出BC的斜率，再用点斜式求出过点A且平行于BC边的直线方程；
（2）先求出BC的中点为D的坐标，再用两点式求出直线AD的方程．
【详解】
（1）△ABC中，∵A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，1），故BC的斜率为，
故过点A且平行于BC边的直线的方程为y+4（x﹣1），即3x﹣4y﹣19＝1．
（2）BC的中点为D（2，3），由两点式求出BC边的中线所在直线AD的方程为，
即7x﹣y﹣11＝1．
本题主要考查直线的斜率公式，用点斜式、两点式求直线的方程，属于基础题．
19、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析
【解析】
（I）通过证明平面来证得平面平面.（II）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，证得，由此证得∥平面.（III）通过证明平面证得，通过计算证明证得，由此证得平面.
【详解】
证明：（Ⅰ）因为平面，
所以.
因为，，
所以平面.
因为平面，
所以平面平面.
（Ⅱ）取中点，连结，因为为的中点

所以，且.
因为为的中点，底面为正方形，
所以，且.
所以，且.
所以四边形为平行四边形.
所以.
因为平面且平面，
所以平面.
（Ⅲ）在正方形中，，

因为平面，
所以.
因为，
所以平面.
所以.
在△中，设交于.
因为，
且分别为的中点，
所以.所以.
设，由已知，
所以.所以.
所以.
所以，且为公共角，
所以△∽△.
所以.
所以.
因为，
所以平面.
本小题主要考查线面垂直、面面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
20、（1）最小正周期，； （2）.
【解析】
（1）利用两角差的余弦公式、倍角公式、辅助角公式得，求得周期；
（2）利用换元法令，将问题转化成方程在有两个不同的实根，再利用图象得的取值范围.
【详解】
（1）
，
所以的最小正周期，
由得：，
所以的单调递增区间是.
（2）令，因为，所以，
即方程在有两个不同的实根，
由函数的图象可知，当时满足题意，
所以的取值范围为.
第（1）问考查三角恒等变换的综合运用；第二问考查换元法求参数的取值范围，注意在换元的过程中参数不能出错，否则转化后的问题与原问题就不等价.
21、（1）；（2）．
【解析】
试题分析：(1)要求的值，根据两角和的正弦公式，可知还要求得，由于已知，所以，利用同角关系可得；（2）要求，由两角差的余弦公式我们知要先求得，而这由二倍角公式结合（1）可很容易得到.本题应该是三角函数最基本的题型，只要应用公式，不需要作三角函数问题中常见的“角”的变换，“函数名称”的变换等技巧，可以算得上是容易题，当然要正确地解题，也必须牢记公式，及计算正确.
试题解析：（1）由题意，
所以．
（2）由（1）得，，
所以．
【考点】三角函数的基本关系式，二倍角公式，两角和与差的正弦、余弦公式．