2024-2025学年河北省承德实验中学数学高一第二学期期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

2024-2025学年河北省承德实验中学数学高一第二学期期末教学质量检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知数列的前项和为，直线与圆:交于两点，且.记，其前项和为，若存在，使得有解，则实数取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
3．已知函数，函数的最小值等于（ ）
A． B． C．5 D．9
4．已知三棱柱( )
A． B． C． D．
5．某班有男生30人，女生20人，按分层抽样方法从班级中选出5人负责校园开放日的接待工作．现从这5人中随机选取2人，至少有1名男生的概率是（ 　　）
A． B． C． D．
6．将函数的图象向左平移个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,若对任意的均有成立,则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知在中，内角的对边分别为，若，则等于()
A． B． C． D．
8．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是
A．440 B．330
C．220 D．110
9．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的平面几何图形．此图由两个圆构成，O为大圆圆心，线段AB为小圆直径．△AOB的三边所围成的区域记为I，黑色月牙部分记为Ⅱ，两小月牙之和（斜线部分）部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）

A． B． C． D．
10．若直线与圆相切，则的值为
A．1 B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔的南偏西距塔64海里的处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的处,则这只船的航行速度为__________海里/小时．
12．函数的定义域为_______．
13．已知数列，若对任意正整数都有，则正整数______；
14．如图是一个算法流程图.若输出的值为4，则输入的值为______________.

15．已知向量，，则向量与夹角的余弦值为__________.
16．已知数列为正项的递增等比数列，，，记数列的前n项和为，则使不等式成立的最大正整数n的值是_______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列的前项和为，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
18．在中，内角对边分别为，，,已知.
(1)求的值；
(2)若，，求的面积．
19．已知数列的前项和为，且满足.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设，数列的前项和为，求证：.
20．如图半圆的直径为4，为直径延长线上一点，且，为半圆周上任一点，以为边作等边（、、按顺时针方向排列）

（1）若等边边长为，，试写出关于的函数关系；
（2）问为多少时，四边形的面积最大？这个最大面积为多少？
21．在中，角所对的边分别为，，，，为的中点.

（1）求的长；
（2）求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
根据题意，先求出弦长，再表示出，得到，求出数列的通项公式，再表示出，用错位相减求和求出，再求解即可.
【详解】
根据题意，圆的半径，
圆心到直线的距离，
所以弦长，
所以，
当时，，所以，
时，，
所以，
得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，，，
所以，
，
，
所以，
由有解，，
只需大于的最小值即可，
因为，所以，所以.
故选：D
本题主要考查求圆的弦长、由和求数列通项、错位相减求数列的和和解不等式有解的情况，考查学生的分析转化能力和计算能力，属于难题.
2、B
【解析】
由题意，∴，
即，解得，
∴该不等式的解集是，故选．
3、C
【解析】
先将化为，由基本不等式即可求出最小值.
【详解】
因为，当且仅当，
即时，取等号.
故选C
本题主要考查利用基本不等式求函数的最值问题，需要先将函数化为能用基本不等式的形式，即可利用基本不等式求解，属于基础题型.
4、C
【解析】
因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝＝13，即R＝
5、D
【解析】
由题意，男生30人，女生20人，按照分层抽样方法从中抽取5人，则男生为人，女生为，
从这5人中随机选取2人，共有种，全是女生的只有1种，
所以至少有1名女生的概率为，故选D.
6、D
【解析】
直接应用正弦函数的平移变换和伸缩变换的规律性质，求出函数的解析式，对任意的均有，说明函数在时，取得最大值，得出的表达式，结合已知选出正确答案.
【详解】
因为函数的图象向左平移个单位长度,所以得到函数，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,所以，对任意的均有成立，
所以在时，取得最大值，所以有
而，所以的最小值为.
本题考查了正弦型函数的图象变换规律、函数图象的性质，考查了函数最大值的概念，正确求出变换后的函数解析式是解题的关键.
7、A
【解析】
由题意变形，运用余弦定理，可得cosB，再由同角的平方关系，可得所求值．
【详解】
2b2﹣2a2＝ac+2c2，
可得a2+c2﹣b2ac，
则cosB，
可得B＜π，
即有sinB
．
故选A．
本题考查余弦定理的运用，考查同角的平方关系，以及运算能力，属于中档题．
8、A
【解析】
由题意得，数列如下：

则该数列的前项和为
，
要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，
所以，则，此时，
所以对应满足条件的最小整数，故选A.
点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.
9、D
【解析】
设OA＝1，则AB，分别求出三个区域的面积，由测度比是面积比得答案．
【详解】
设OA＝1，则AB，
，
以AB中点为圆心的半圆的面积为，
以O为圆心的大圆面积的四分之一为，
以AB为弦的大圆的劣弧所对弓形的面积为π﹣1，
黑色月牙部分的面积为π﹣（π﹣1）＝1，
图Ⅲ部分的面积为π﹣1．
设整个图形的面积为S，
则p1，p1，p3．
∴p1＝p1＞p3，
故选D．

本题考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，正确求出各部分面积是关键，是中档题．
10、D
【解析】
圆的圆心坐标为，半径为1，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离，即，解得，故选D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由 ，行驶了4小时，这只船的航行速度为 海里/小时．
【点睛】本题为解直角三角形应用题，利用直角三角形边角关系表示出两点间的距离，在用辅助角公式变形求值，最后利用速度公式求出结果.
12、
【解析】
由二次根式有意义，得：,然后利用指数函数的单调性即可得到结果.
【详解】
由二次根式有意义，得：，即，
因为在R上是增函数，所以，x≤2，即定义域为：
本题主要考查函数定义域的求法以及指数不等式的解法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．
13、9
【解析】
分析数列的单调性，以及数列各项的取值正负，得到数列中的最大项，由此即可求解出的值.
【详解】
因为，所以时，，时，，
又因为在上递增，在也是递增的，
所以，又因为对任意正整数都有，所以.
故答案为：.
本题考查数列的单调性以及数列中项的正负判断，难度一般.处理数列单调性或者最值的问题时，可以采取函数的思想来解决问题，但是要注意到数列对应的函数的定义域为.
14、-1
【解析】
对的范围分类，利用流程图列方程即可得解．
【详解】
当时，由流程图得：
令，解得：，满足题意．
当时，由流程图得：
令，解得：，不满足题意．
故输入的值为：
本题主要考查了流程图知识，考查分类思想及方程思想，属于基础题．
15、
【解析】
先求出，再求，最后代入向量的夹角公式即得解.
【详解】
由题得
所以向量与夹角的余弦值为.
故答案为
(1)本题主要考查向量的夹角的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一：,方法二：设=,=，为向量与的夹角，则.
16、6
【解析】
设等比数列{an}的公比q，由于是正项的递增等比数列，可得q＞1．由a1+a5=82，a2•a4=81=a1a5，∴a1，a5，是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根，解得a1，a5，利用通项公式可得q，an．利用等比数列的求和公式可得数列{}的前n项和为Tn．代入不等式2019|Tn﹣1|＞1，化简即可得出．
【详解】
数列为正项的递增等比数列，，a2•a4=81=a1a5，
即解得，则公比，∴，
则 ，
∴，即，得，此时正整数的最大值为6.
故答案为6.
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
试题分析：解：（1）当时，，解得；
当时，，
∴，故数列是以为首项，2为公比的等比数列，
故． 4分
（2）由（1）得，，
∴5分
令，
则，
两式相减得
∴， 7分
故， 8分
又由（1）得，， 9分
不等式即为，
即为对任意恒成立， 10分
设，则，
∵，∴，
故实数t的取值范围是． 12分
考点：等比数列
点评：主要是考查了等比数列的通项公式和求和的运用，属于基础题．
18、 (1)2 (2)
【解析】
（1）在题干等式中利用边化角思想，结合两角和的正弦公式、内角和定理以及诱导公式计算出，再利用角化边的思想可得出的比值；
（2）由（1）中的结果，结合余弦定理求出和的值，再利用同角三角函数的平方关系求出，最后利用三角形的面积公式求出的面积．
【详解】
（1）由正弦定理得 ，
则 ，
所以 ，
即，
化简可得．
又，
所以．
所以，即.
（2）由（1）知．
由余弦定理及，，
得，．解得，因此
因为，且所以
因此．
在解三角形的问题时，要根据已知元素的类型合理选择正弦定理与余弦定理解三角形，除此之外，在有边和角的等式中，优先边化角，利用三角恒等变换思想化简求解，能起到简化计算的作用．
19、（1）见证明；（2）见证明
【解析】
（1）由，得，两式作差可得，利用等比数列的定义，即可作出证明；
（2）由（1）可得，得到，利用裂项法求得数列的和，即可作出证明.
【详解】
（1）证明：由，得，
两式作差可得：，即，即，
又，得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列；
（2）由（1）可得，数列的通项公式为，
又由，
所以.
所以.
本题主要考查了等比数列的定义，以及数列“裂项法”求和的应用，其中解答中熟记等比数列的定义和通项，以及合理利用数列的“裂项法”求得数列的前n项和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
20、（1）；（2）θ＝时，四边形OACB的面积最大，其最大面积为．
【解析】
（1）根据余弦定理可求得
（2）先表示出△ABC的面积及△OAB的面积，进而表示出四边形OACB的面积，并化简函数的解析式为正弦型函数的形式，再结合正弦型函数最值的求法进行求解．
【详解】
（1）由余弦定理得
则
（2）四边形OACB的面积＝△OAB的面积+△ABC的面积
则△ABC的面积
△OAB的面积•OA•OB•sinθ•2•4•sinθ＝4sinθ
四边形OACB的面积4sinθ=
sin（θ﹣）
∴当θ﹣＝，
即θ＝时，四边形OACB的面积最大，其最大面积为．
本题考查利用正余弦定理求解面积最值，其中准确列出面积表达式是关键，考查化简求值能力，是中档题
21、 (1) ．(2)
【解析】
（1）在中分别利用余弦定理完成求解；（2）在中利用正弦定理求解的值.
【详解】
解：（1）在中，由余弦定理得，
∴，解得
∵为的中点，∴．
在中，由余弦定理得

，
∴．
（2）在中，由正弦定理得，
∴．
本题考查解三角形中的正余弦定理的运用，难度较易.对于给定图形的解三角形问题，一定要注意去结合图形去分析.