云南省开远市第二中学校2025年高一下数学期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

云南省开远市第二中学校2025年高一下数学期末学业质量监测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若，则一定有（ ）
A． B． C． D．
2．函数，的值域是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，点在内，且，设，则等于（ ）

A． B．3 C． D．
4．直线：与圆的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
5．若实数满足约束条件，则的最大值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
6．在三棱柱中，底面，是正三角形，若，则该三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．在数列中,,则数列的前n项和的最大值是（ ）
A．136 B．140 C．144 D．148
10．已知变量，满足约束条件则取最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．把正整数排列成如图甲所示的三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图乙所示的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列，若，则________________．

12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的平分线交AC于点D，且，则的最小值为________．
13．若函数的反函数的图象过点，则________．
14．函数的图象过定点______.
15．在等差数列中，，，则 ．
16．如图，曲线上的点与轴的正半轴上的点及原点构成一系列正三角形，，，设正三角形的边长为（记为），.数列的通项公式=______.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，角，，所对的边分别为，，，．
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求及的值．
18．已知函数f(x)＝x2＋(x－1)|x－a|.
(1)若a＝－1，解方程f(x)＝1；
(2)若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；
(3)是否存在实数a，使不等式f(x)≥2x－3对任意x∈R恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
19．已知，
（1）求；
（2）若，求.
20．已知等比数列的公比，前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
21．已知函数，.
（1）把表示为的形式，并写出函数的最小正周期、值域；
（2）求函数的单调递增区间：
（3）定义：对于任意实数、，
设，（常数），若对于任意，总存在，使得恒成立，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
由题,可得,且,即,整理后即可得到作出判断
【详解】
由题可得,则,
因为,则,,则有,
所以,即
故选C
本题考查不等式的性质的应用,属于基础题
2、A
【解析】
由的范围求出的范围，结合余弦函数的性质即可求出函数的值域.
【详解】
∵，∴，
∴当，即时，函数取最大值1，
当即时，函数取最小值，即函数的值域为，
故选A.
本题主要考查三角函数在给定区间内求函数的值域问题，通过自变量的范围求出整体的范围是解题的关键，属基础题.
3、B
【解析】
先根据,可得,又因为，,所以可得:在轴方向上的分量为，在轴方向上的分量为,又根据,可得答案.
【详解】
，，
，
，
在轴方向上的分量为，
在轴方向上的分量为，
，
，，
两式相比可得:.故选B.
.
向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用．
4、C
【解析】
求出圆的圆心坐标和半径，然后运用点到直线距离求出的值和半径进行比较，判定出直线与圆的关系.
【详解】
因为圆，所以圆心，半径，所以圆心到直线的距离为，则直线与圆相交.故选
本题考查了直线与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式求出和半径比较，得到直线与圆的位置关系.
5、C
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标代入目标函数即可得解.
【详解】
作出可行域如图，

设，联立，则，
，当直线经过点时，
截距取得最小值，取得最大值.
故选：C
本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于基础题.
6、C
【解析】
设球心为，的中心为，求出与，利用勾股定理求出外接球的半径，代入球的表面积公式即可.
【详解】
设球心为，的中心为，则，
，球的半径，
所以球的表面积为.
故选：C
本题考查多面体外接球问题，球的表面积公式，属于中档题.
7、A
【解析】
先利用基本不等求出的最小值，然后根据恒成立，可得，再求出a的范围．
【详解】
因为正实数x，y满足，
，
当且仅当，即时取等号，
恒成立，所以只需，
，，
的取值范围为，
故选：A.
本题主要考查不等式恒成立问题以及基本不等式求最值，解题时注意“一正、二定、三相等”的应用，本题属于中档题.
8、B
【解析】
直接利用概率公式计算得到答案.
【详解】

故选：
本题考查了概率的计算，属于简单题.
9、C
【解析】
可得数列为等差数列且前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，可得前8或9项和最大，由求和公式计算可得．
【详解】
解：∵在数列中,，
，即数列为公差为−4的等差数列，
，
令可得，
∴递减的等差数列中前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，
∴数列的前8或9项和最大，
由求和公式可得
故选：C．
本题考查等差数列的求和公式和等差数列的判定，属基础题．
10、C
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【详解】
由约束条件作出可行域如图，当，即点，
化目标函数为，由图可知，当直线过时，
直线在轴上的截距最小，有最大值为．
故选：C．

本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由图乙可得：第行有个数，且第行最后的一个数为，从第三行开始每一行的数从左到右都是公差为的等差数列，注意到，，据此确定n的值即可.
【详解】
分析图乙，可得①第行有个数，则前行共有个数，②第行最后的一个数为，③从第三行开始每一行的数从左到右都是公差为的等差数列，又由，，则，则出现在第行，第行第一个数为，这行中第个数为，前行共有个数，则为第个数．故填．
归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．
12、32
【解析】
根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可．
【详解】

如图所示，
则△ABC的面积为，
即ac=2a+2c，
得，
得，
当且仅当，即3c=a时取等号；
∴的最小值为32.
故答案为：32.
本题考查三角形中的几何计算，属于中等题.
13、
【解析】
由反函数的性质可得的图象过，将代入，即可得结果.
【详解】
的反函数的图象过点，
的图象过，
故答案为．
本题主要考查反函数的基本性质，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题.
14、
【解析】
令真数为，求出的值，代入函数解析式可得出定点坐标.
【详解】
令，得，当时，.
因此，函数的图象过定点.
故答案为：.
本题考查对数型函数图象过定点问题，一般利用真数为来求得，考查计算能力，属于基础题.
15、8
【解析】
设等差数列的公差为，
则，
所以，故答案为8.
16、
【解析】
先得出直线的方程为，与曲线的方程联立得出的坐标，可得出，
并设，根据题中条件找出数列的递推关系式，结合递推关系式选择作差法求出数列的通项公式，即利用求出数列的通项公式。
【详解】
设数列的前项和为，则点的坐标为，
易知直线的方程为，
与曲线的方程联立，解得，；
当时，点、，所以，点，
直线的斜率为，则，即，
等式两边平方并整理得，可得，
以上两式相减得，即，
易知，所以，即，
所以，数列是等差数列，且首项为，公差也为，因此，.
故答案为：。
本题考查数列通项的求解，根据已知条件找出数列的递推关系是解题的关键，在求通项公式时需结合递推公式的结构选择合适的方法求解数列的通项公式，考查分析问题的能力，属于难题。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2），
【解析】
（1）化简等式，即可求出角．
（2）利用角C的余弦公式，求出c与a的关系式，再由正弦定理求出角A的正弦值，再结合面积公式求出c的值．
【详解】
（1）∵，
∴，即，
∴.
又，∴.
（2）∵，
∴，即，
∴.
∵，且，
∴，
∴，由正弦定理得
，解得.
本题考查利用解三角形，属于基础题．
18、（1）{x|x≤－1或x＝1}；（2）；（3）．
【解析】
试题分析：（1）把代入函数解析式，分段后分段求解方程的解集，取并集后得答案；（2）分段写出函数的解析式，由在上单调递增，则需第一段二次函数的对称轴小于等于，第二段一次函数的一次项系数大于0，且第二段函数的最大值小于等于第一段函数的最小值，联立不等式组后求解的取值范围；（3）把不等式对一切实数恒成立转化为函数对一切实数恒成立，然后对进行分类讨论，利用函数单调性求得的范围，取并集后得答案.
试题解析：(1)当时，，则；当时，由，得，解得或；当时，恒成立，∴方程的解集为或．
(2)由题意知，若在R上单调递增，则解得，∴实数的取值范围为.
(3)设，则，不等式对任意恒成立，等价于不等式对任意恒成立．
①若，则，即，取，此时，∴，即对任意的，总能找到，使得，∴不存在，使得恒成立．
②若，则，∴的值域为，∴恒成立③若，当时，单调递减，其值域为，由于，所以恒成立，当时，由，知，在处取得最小值，令，得，又，∴，综上，．
19、（1）（2）
【解析】
（1）两边平方可得，根据同角公式可得，；
（2）根据两角和的正切公式，计算可得结果.
【详解】
（1）因为，
所以，即.
因为，所以，所以，
故.
（2）因为，所以，
所以.
本题考查了两角同角公式，二倍角正弦公式，两角和的正切公式，属于基础题.
20、 (1) ．(2)
【解析】
（1）根据条件列出等式，求解公比后即可求解出通项公式；（2）错位相减法求和，注意对于“错位”的理解.
【详解】
解：（1）由，得，则
∴，
∴数列的通项公式为．
（2）由，
∴，①
，②
①②，得

，
∴．
本题考查等比数列通项和求和，难度较易.对于等差乘以等比的形式的数列，求和注意选用错位相减法.
21、（1）；（2）（3）
【解析】
（1）结合二倍角正弦公式和辅助角公式即可化简；
（2）结合（1）中所求表达式，正弦型函数单调增区间的通式即可求解；
（3）根据题意可得，，求出的值域，列出关于的不等式组，即可求解
【详解】
（1），
，值域为；
（2）令，解得，
所以函数的单调递增区间为，;
（3）若对于任意，总存在，使得恒成立，则，，
当，即时，，
当，即时，，
故，所以，解得，
所以实数的取值范围是
本题考查三角函数的化简和三角函数的性质应用，函数恒成立问题的转化，属于中档题