2025届黑龙江省哈师大附中数学高一第二学期期末统考模拟试题含解析.doc

2025届黑龙江省哈师大附中数学高一第二学期期末统考模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．生活中有这样一个实际问题：如果一杯糖水不够甜，可以选择加糖的方式，使得糖水变得更甜．若，则下列数学模型中最能刻画“糖水变得更甜”的是（　）
A． B．
C． D．
2．设是△所在平面上的一点，若，则的最小值为
A． B． C． D．
3．已知幂函数过点，令，，记数列的前项和为，则时，的值是（ ）
A．10 B．120 C．130 D．140
4．设是等比数列，有下列四个命题：
①是等比数列； ②是等比数列；
③是等比数列； ④是等差数列．
其中正确命题的个数是( )
A． B． C． D．
5．设函数是定义为R的偶函数，且对任意的，都有且当时， ，若在区间内关于的方程恰好有3个不同的实数根，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
6．已知，且，那么a，b，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
7．为了解名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为的样本，则分段的间隔为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，且，若，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
9．函数在上的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．如果存在实数，使成立，那么实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则_______；_______.
12．已知某中学高三学生共有800人参加了数学与英语水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人的成绩进行统计，先将800人按001，002，…，800进行编号．
如果从第8行第7列的数开始从左向右读，（下面是随机数表的第7行至第9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 26
83 92 53 16 59 16 92 75 35 62 98 21 50 71 75 12 86 73 63 01
58 07 44 39 13 26 33 21 13 42 78 64 16 07 82 52 07 44 38 15
则最先抽取的2个人的编号依次为_____．
13．已知直线与圆交于两点，若，则____.
14．函数f（x）＝log2（x+1）的定义域为_____．
15．已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为_____________.
16．设等比数列的公比，前项和为，则 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）.现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）
（1）A类工人中和B类工人各抽查多少工人？
（2）从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2：
表1：
生产能力分组

人数
4
8
x
5
3
表2：
生产能力分组

人数
6
y
36
18
①先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图.就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）
②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）

图1A类工人生产能力的频率分布直方图　　图2B类工人生产能力的频率分布直方图
18．如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且.

（1）求的值；
（2）若点的横坐标为，求的值.
19．已知是一个公差大于的等差数列，且满足，数列满足等式：
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
20．在中，内角A、B、C所对的边分别为，，，已知．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设，，求．
21．某校从高一年级的一次月考成绩中随机抽取了 50名学生的成绩（满分100分，且抽取的学生成绩都在内），按成绩分为，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）用分层抽样的方法从月考成绩在内的学生中抽取6人，求分别抽取月考成绩在和内的学生多少人；
（2）在（1）的前提下，从这6名学生中随机抽取2名学生进行调查，求月考成绩在内至少有1名学生被抽到的概率.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
由题意可得糖水甜可用浓度体现，设糖的量为，糖水的量设为，添加糖的量为，对照选项，即可得到结论．
【详解】
由题意，若，设糖的量为，糖水的量设为，添加糖的量为，
选项A，C不能说明糖水变得更甜，
糖水甜可用浓度体现，而，能体现糖水变甜；
选项D等价于，不成立，
故选：B．
本题主要考查了不等式在实际生活中的运用，考查不等式的等价变形，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
2、C
【解析】
分析：利用向量的加法运算，设的中点为D，可得，利用数量积的运算性质可将原式化简为，为AD中点，从而得解.
详解：由，可得.
设的中点为D，即.

点P是△ABC所在平面上的任意一点，为AD中点.
∴
.
当且仅当，即点与点重合时，有最小值.
故选C.
点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
3、B
【解析】
根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得的表达式，利用裂项求和法求得的表达式，解方程求得的值.
【详解】
设幂函数为，将代入得，所以.所以，所以，故，由解得，故选B.
本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.
4、C
【解析】
设，得到，，，再利用举反例的方式排除③
【详解】
设，则：
，故是首项为，公比为的等比数列，①正确
，故是首项为，公比为的等比数列，②正确
取，则，不是等比数列，③错误.
，故是首项为，公差为的等差数列，④正确
故选：C
本题考查了等差数列，等比数列的判断，找出反例可以快速的排除选项，简化运算，是解题的关键.
5、D
【解析】
∵对于任意的x∈R,都有f(x−2)=f(2+x),∴函数f(x)是一个周期函数，且T=4.
又∵当x∈[−2,0]时,f(x)=−1,且函数f(x)是定义在R上的偶函数，
若在区间(−2,6]内关于x的方程恰有3个不同的实数解，
则函数y=f(x)与y=在区间(−2,6]上有三个不同的交点，如下图所示：

又f(−2)=f(2)=3，
则对于函数y=，由题意可得，当x=2时的函数值小于3，当x=6时的函数值大于3，
即<3,且>3,由此解得：<a<2，
故答案为(,2).
点睛：方程根的问题转化为函数的交点，利用周期性，奇偶性画出所研究区间的图像限制关键点处的大小很容易得解
6、D
【解析】
直接用作差法比较它们的大小得解.
【详解】
；
；
.
故.
故选：D
本题主要考查了作差法比较实数的大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
7、C
【解析】
试题分析：由题意知，分段间隔为，故选C.
考点：本题考查系统抽样的定义，属于中等题.
8、A
【解析】
取的中点，连接，根据，即可得解.
【详解】

取的中点，连接，在中，，且，
所以，
.
故选：A
此题考查求向量的数量积，涉及平面向量的线性运算，根据数量积的几何意义求解，可以简化计算.
9、A
【解析】
利用函数的奇偶性和函数图像上的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.
【详解】
由于，所以函数为奇函数，图像关于原点对称，排除C选项.由于，所以排除D选项.由于，所以排除B选项.
故选：A.
本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性、特殊点，属于基础题.
10、A
【解析】
根据，可得，再根据基本不等式取等的条件可得答案.
【详解】
因为，
所以，
即，即，
又（当且仅当时等号成立）
所以，所以.
故选：A
本题考查了余弦函数的值域，考查了基本不等式取等的条件，属于中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据三角函数的定义直接求得的值，即可得答案.
【详解】
∵角终边过点，，
∴，，，
∴.
故答案为：；.
本题考查三角函数的定义，考查运算求解能力，属于基础题.
12、165；535
【解析】
按照题设要求读取随机数表得到结果，注意不符合要求的数据要舍去.
【详解】
读取的第一个数： 满足；读取的第二个数： 不满足；
读取的第三个数： 不满足；读取的第三个数： 满足.
随机数表的读取规则：从指定位置开始，按照指定位数读取，一次读取一组，若读取的数不符合规定（不在范围之内），则舍去，重新读取.
13、
【解析】
根据点到直线距离公式与圆的垂径定理求解.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离： ，
由得，
解得.
本题考查直线与圆的应用.此题也可联立圆与直线方程，消元后用弦长公式求解.
14、{x|x＞﹣1}
【解析】
利用对数的真数大于，即可得解.
【详解】
函数的定义域为：
,
解得：，
故答案为：.
本题主要考查对数函数定义域，考查学生对对数函数定义的理解，是基础题.
15、或
【解析】
分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为，把已知点坐标代入即可求出的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为，把已知点的坐标代入即可求出的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．
【详解】
解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为，
把代入所设的方程得：，则所求直线的方程为即；
②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为，
把代入所求的方程得：，则所求直线的方程为即．
综上，所求直线的方程为：或．
故答案为：或
此题考查学生会根据条件设出直线的截距式方程和点斜式方程，考查了分类讨论的数学思想，属于基础题．
16、15
【解析】
分析：运用等比数列的前n项和公式与数列通项公式即可得出的值.
详解：数列为等比数列
，

故答案为15.
点睛：本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查学生对基本概念的掌握能力与计算能力.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）25,75（2）①5,15，直方图见解析，B类②123，133.8，131.1
【解析】
（1）先计算抽样比为，进而可得各层抽取人数（2）①类、类工人人数之比为，按此比例确定两类工人需抽取的人数，再算出和即可．画出频率分布直方图，从直方图可以判断：类工人中个体间的差异程度更小 ②取每个小矩形的横坐标的中点乘以对应矩形的面积相加即得平均数.
【详解】
（1）由已知可得：抽样比，
故类工人中应抽取：人，
类工人中应抽取：人，
（2）①由题意知，得，
，得．
满足条件的频率分布直方图如下所示：

从直方图可以判断：类工人中个体间的差异程度更小．
②，

类工人生产能力的平均数，类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1
本题考查等可能事件、相互独立事件的概率、频率分布直方图的理解以及利用频率分布直方图求平均数等知识、考查运算能力．
18、 (1)-1；(2)
【解析】
（1）用表示出，然后利用诱导公式化简所求表达式，求得表达式的值.（2）根据点的横坐标即的值，求得的值，根据诱导公式求得的值，由此利用两角和与差的正弦公式，化简求得的值.
【详解】
解：（1）∵
∴，
∴
（2）由已知点的横坐标为
∴，，

本小题主要考查三角函数的定义，考查利用诱导公式化简求值，考查两角和与差的正弦公式以及同角三角函数的基本关系式，考查运算求解能力，属于中档题.
19、
【解析】
（1）利用等差中项得到关于，的方程组，利用通项公式求得公差，则数列的通项公式可求；
（2）把数列的通项公式代入，得，作差可得，再由数列的分组求和可得数列的前项和．
【详解】
（1）在等差数列中，由，得，
又，可得或．
，，则．
.
（2）由，
得，
，即，
满足上式，
．
则，
数列的前项和，
．
本题考查数列递推式、临差法求数列通项、数列的分组求和等知识，考查运算求解能力，求解时要注意数列通项中的下标的限制.
20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ） 在△ABC中，利用正弦定理及其．可得，利用和差公式化简整理可得B．
（Ⅱ）在△ABC中，利用余弦定理即可得出b．
【详解】
（Ⅰ） 在△ABC中，由正弦定理，
又．
可得，
∴sinBcosBsinB，
则．
又∵B∈（0，π），可得．
（Ⅱ） 在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，，
∴b2＝a2+c2﹣2accosB＝4+9﹣2×2×3×cos7，
解得．
本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21、（1）有4人，有2人；（2）
【解析】
（1）由频率分布直方图，求出成绩在和内的频率的比值，再按比例抽取即可；
（2）由古典概型的概率的求法，先求出从这6名学生中随机抽取2名学生的所有不同取法，再求出被抽到的学生至少有1名月考成绩在内的不同取法，再求解即可.
【详解】
解：（1）因为，所以，
则月考成绩在内的学生有人；
月考成绩在内的学生有人，
则成绩在和内的频率的比值为，
故用分层抽样的方法从月考成绩在内的学生中抽取4人，
从月考成绩在内的学生中抽取2人.
（2）由（1）可知，被抽取的6人中有4人的月考成绩在内，分别记为，，，；有2人的月考成绩在内，分别记为，.
则从这6名学生中随机抽取2名学生的情况为，，，，，，，，，，，，，，，共15种；
被抽到的学生至少有1名月考成绩在内的情况为，，，，，，，，，共9种.
故月考成绩内至少有1名学生被抽到的概率为.
本题考查了分层抽样，重点考查了古典概型概率的求法，属中档题.