资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝ax+c在同一坐标系中的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
2．的面积为2，边的长为，边上的高为，则与的变化规律用图象表示大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根
4．如图，正方形的面积为16，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．已知的半径为，点到直线的距离为，若直线与公共点的个数为个，则可取（ ）
A． B． C． D．
6．如图，四边形的顶点坐标分别为．如果四边形与四边形位似，位似中心是原点，它的面积等于四边形面积的倍，那么点的坐标可以是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在平面直角坐标系内，四边形ABCD为菱形，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（0，﹣1），点C，D分别在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（ ）
A． B．4 C．4 D．20
8．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的周长比为 （ ）
A．1:3 B．1:4 C．1:8 D．1:9
9．四边形内接于⊙，点是的内心，，点在的延长线上，则的度数为( )
A．56° B．62° C．68° D．48°
10．如图，∠AOB=90°，∠B=30°，△A′O B′可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转角度得到的．若点A′在AB上，则旋转角的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知反比例函数的图象经过点（2，﹣3），则此函数的关系式是________．
12．方程（x﹣1）（x﹣3）＝0的解为_____．
13．如图，在平面直角坐标系中，，则经过三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为__________；点坐标为，连接，直线与的位置关系是___________．
14．如图，在山坡上种树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为6m．测得斜坡的斜面坡度为i＝1：（斜面坡度指坡面的铅直高度与水平宽度的比），则斜坡相邻两树间的坡面距离为_____．
15．如图，⊙O经过A，B，C三点，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，∠P＝46°，则∠C＝_____．
16．已知点在直线上，也在双曲线上，则m2+n2的值为______．
17．方程2x2－6x－1＝0的负数根为___________.
18．如图，⊙O的半径为2，AB是⊙O的切线，A．为切点．若半径OC∥AB，则阴影部分的面积为________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格图中，△ABC的顶点都在网格线交点上．
（1）图中AC边上的高为 个单位长度；
（2）只用没有刻度的直尺，在所给网格图中按如下要求画图（保留必要痕迹）：
①以点C为位似中心，把△ABC按相似比1:2缩小，得到△DEC；
②以AB为一边，作矩形ABMN，使得它的面积恰好为△ABC的面积的2倍．
20．（6分）阅读理解：
如图，在纸面上画出了直线l与⊙O，直线l与⊙O相离，P为直线l上一动点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，连接OM、OP，当△OPM的面积最小时，称△OPM为直线l与⊙O的“最美三角形”．
解决问题：
（1）如图1，⊙A的半径为1，A(0，2) ，分别过x轴上B、O、C三点作⊙A的切线BM、OP、CQ，切点分别是M、P、Q，下列三角形中，是x轴与⊙A的“最美三角形”的是 ．(填序号)
①ABM；②AOP；③ACQ
（2）如图2，⊙A的半径为1，A(0，2)，直线y=kx（k≠0）与⊙A的“最美三角形”的面积为，求k的值．
（3）点B在x轴上，以B为圆心，为半径画⊙B，若直线y=x+3与⊙B的“最美三角形”的面积小于，请直接写出圆心B的横坐标的取值范围．
21．（6分）已知关于的方程，若方程的一个根是–4，求另一个根及的值.
22．（8分）如图，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速铁路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在城市A的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市150km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，120km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速铁路是否穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.732）
23．（8分）目前“微信”、“支付宝”、“共享单车“和“网购”给我们的生活带来了很多便利，九年级数学兴趣小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
（1）根据图中信息求出m＝ ，n＝ ；
（2）请你帮助他们将这两个统计图补全；
（3）已知A、B两位同学都最认可“微信”，C同学最认可“支付宝”，D同学最认可“网购”，从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率．
24．（8分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点，的坐标分别是，，绕点逆时针旋转后得到．
（1）画出，直接写出点，的坐标；
（2）求在旋转过程中，点经过的路径的长；
（3）求在旋转过程中，线段所扫过的面积．
25．（10分）如图，转盘A中的6个扇形的面积相等，转盘B中的3个扇形的面积相等．分别任意转动转盘A、B各1次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数字分别作为平面直角坐标系中一个点的横坐标、纵坐标．
（1）用表格列出这样的点所有可能的坐标；
（2）求这些点落在二次函数y＝x2﹣5x+6的图象上的概率．
26．（10分）我市某公司用800万元购得某种产品的生产技术后，进一步投入资金1550万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元.经过市场调研发现：该产品的销售单价需要定在200元到300元之间较为合理.销售单价（元）与年销售量（万件）之间的变化可近似的看作是如下表所反应的一次函数：
销售单价（元）
200
230
250
年销售量（万件）
14
11
9
（1）请求出与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）请说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】先根据一次函数的图象判断a、c的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【详解】解：A、由一次函数y=ax+c的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，错误；
B、由一次函数y=ax+c的图象可得：a＞0，c＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，交于y轴的正半轴，错误；
C、由一次函数y=ax+c的图象可得：a＜0，c＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，错误．
D、由一次函数y=ax+c的图象可得：a＜0，c＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，与一次函数的图象交于同一点，正确；
故选：D．
本题考查二次函数的图象，一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
2、A
【分析】根据三角形面积公式得出与的函数解析式，根据解析式作出图象进行判断即可．
【详解】根据题意得
∴
∵
∴与的变化规律用图象表示大致是
故答案为：A．
本题考查了反比例函数的图象问题，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
3、C
【解析】试题分析：利用根的判别式进行判断.
解：∵
∴此方程无实数根.
故选C.
4、B
【分析】由于点B与点D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为F，此时，FD+FE=BE最小，而BE是等边三角形ABE的边，BE=AB，由正方形面积可得AB的长，从而得出结果．
【详解】解：由题意可知当点P位于BE与AC的交点时，有最小值．设BE与AC的交点为F，连接BD，
∵点B与点D关于AC对称
∴FD=FB
∴FD+FE=FB+FE=BE最小
又∵正方形ABCD的面积为16
∴AB=1
∵△ABE是等边三角形
∴BE=AB=1．
故选：B．
本题考查的知识点是轴对称中的最短路线问题，解题的关键是弄清题意，找出相对应的相等线段．
5、A
【分析】根据直线和圆的位置关系判断方法，可得结论．
【详解】∵直线m与⊙O公共点的个数为2个，
∴直线与圆相交，
∴d＜半径，
∴d＜3，
故选：A．
本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r，③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
6、B
【分析】根据位似图形的面积比得出相似比，然后根据各点的坐标确定其对应点的坐标即可．
【详解】解：∵四边形OABC与四边形O′A′B′C′关于点O位似，且四边形的面积等于四边形OABC面积的，∴四边形OABC与四边形O′A′B′C′的相似比为2:3，
∵点A，B，C分别的坐标），∴点A′，B′，C′的坐标分别是（3，0），（6，6），（-3，3）或（-3，0），（-6，-6），（3，-3）.
故选：B．
本题考查了位似变换及坐标与图形的知识，解题的关键是根据两图形的面积的比确定其位似比，注意有两种情况．
7、C
【分析】根据题意和勾股定理可得AB长，再根据菱形的四条边都相等，即可求出菱形的周长．
【详解】∵点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（0，﹣1），
∴OA＝2，OB＝1，
∴，
∴菱形ABCD的周长等于4AB＝4．
故选：C．
此题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及坐标与图形的性质，得出AB的长是解题关键．
8、A
【分析】以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，OB=1OB′，可得△A′B′C′与△ABC的位似比，然后由相似三角形的性质可得△A′B′C′与△ABC的周长比．
【详解】∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，OB=1OB′，，
∴△A′B′C′与△ABC的位似比为：1：1，
∴△A′B′C′与△ABC的周长比为：1：1．
故选：A．
此题考查了位似图形的性质．此题难度不大，注意三角形的周长比等于相似比．
9、C
【分析】由点I是 的内心知 ，，从而求得 ，再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．
【详解】∵点I是 的内心
∴ ，
∵
∴
∵四边形内接于⊙
∴
故答案为：C ．
本题考查了三角形的内心，圆内接四边形的性质，掌握三角形内心的性质和圆内接四边形的外角等于内对角是解题的关键．
10、C
【分析】根据旋转的性质得出AO=A′O，得出等边三角形AOA′，根据等边三角形的性质推出即可．
【详解】解：∵∠AOB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵△A′OB′可以看作是△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，点A′在AB上，
∴AO=A′O，
∴△AOA′是等边三角形，
∴∠AOA′=60°，
即旋转角α的度数是60°，
故选：C
本题考查了等边三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点，关键是得出△AOA′是等边三角形，题目比较典型，难度不大．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【解析】试题分析：利用待定系数法，直接把已知点代入函数的解析式即可求得k=-6，所以函数的解析式为：.
12、x1＝3，x2＝1
【分析】利用因式分解法求解可得．
【详解】解：∵（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝1，
故答案为：x1＝3，x2＝1．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
13、（2，0） 相切
【分析】由网格容易得出AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，它们的交点即为点M，根据图形即可得出点M的坐标；由于C在⊙M上，如果CD与⊙M相切，那么C点必为切点；因此可连接MC，证MC是否与CD垂直即可．可根据C、M、D三点坐标，分别表示出△CMD三边的长，然后用勾股定理来判断∠MCD是否为直角．
【详解】解：如图，作线段AB，CD的垂直平分线交点即为M，由图可知经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为（2，0）．
连接MC，MD，
∵MC2=42+22=20，CD2=42+22=20，MD2=62+22=40，
∴MD2=MC2+CD2，∴∠MCD=90°，
又∵MC为半径，
∴直线CD是⊙M的切线．
故答案为：（2，0）；相切．
本题考查的直线与圆的位置关系，圆的切线的判定等知识，在网格和坐标系中巧妙地与圆的几何证明有机结合，较新颖．
14、4米．
【分析】首先根据斜面坡度为i＝1：求出株距（相邻两树间的水平距离）为6m时的铅直高度，再利用勾股定理计算出斜坡相邻两树间的坡面距离．
【详解】由题意水平距离为6米，铅垂高度2米，
∴斜坡上相邻两树间的坡面距离＝（m），
故答案为：4米．
此题考查解直角三角形的应用，解题关键是掌握计算法则．
15、67°
【分析】根据切线的性质定理可得到∠OAP＝∠OBP＝90°，再根据四边形的内角和求出∠AOB，然后根据圆周角定理解答．
【详解】解：∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣46°＝134°，
∴∠C＝∠AOB＝67°，
故答案为：67°．
本题考查了圆的切线的性质、四边形的内角和和圆周角定理，属于常见题型，熟练掌握上述知识是解题关键.
16、1
【解析】分析：直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出n+m以及mn的值，再利用完全平方公式将原式变形得出答案．
详解：∵点P（m，n）在直线y=-x+2上，
∴n+m=2，
∵点P（m，n）在双曲线y=-上，
∴mn=-1，
∴m2+n2=（n+m）2-2mn=4+2=1．
故答案为1．
点睛：此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征，正确得出m，n之间的关系是解题关键．
17、
【分析】先计算判别式的值，再利用求根公式法解方程，然后找出负数根即可．
【详解】△=（﹣6）2﹣4×2×（﹣1）=44，
x==，
所以x1=＞1，x2=＜1．
即方程的负数根为x=．
故答案为x=．
本题考查了公式法解一元二次方程：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
18、3π
【分析】由切线及平行的性质可知，利用扇形所对的圆心角度数可得阴影部分面积所占的白分比，再用圆的面积乘以百分比即可.
【详解】解：AB是⊙O的切线，A.为切点
即
阴影部分的面积
故答案为：.
本题考查了切线的性质及扇形的面积，熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径这一性质是解题的关键.
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）①见解析，②见解析
【分析】（1）利用等面积法即可求出AC边上的高；
（2）①利用位似图形的性质得出对应点位置连接即可；
②利用矩形的判定方法即可画出．
【详解】解：（1）由图可知,设AC边上的高为x，
则由三角形面积公式可得：
解得，即AC边上的高为.
（2）①如图所示：△DEC即为所求．
②如图所示：矩形ABMN即为所求．
本题考查作位似图形，矩形的判定，勾股定理.（1）中熟练掌握等面积法是解决此问的关键；（2）中能作出AC的中点是解题关键；（3）中注意矩形的四个角都是直角，且矩形的一边为AB，另一边要与△ABC中AB边上的高相等.
20、（1）②；（2）±1；（3）＜＜或＜＜
【分析】（1）本题先利用切线的性质，结合勾股定理以及三角形面积公式将面积最值转化为线段最值，了解最美三角形的定义，根据圆心到直线距离最短原则解答本题．
（2）本题根据k的正负分类讨论，作图后根据最美三角形的定义求解EF，利用勾股定理求解AF，进一步确定∠AOF度数，最后利用勾股定理确定点F的坐标，利用待定系数法求k．
（3）本题根据⊙B在直线两侧不同位置分类讨论，利用直线与坐标轴的交点坐标确定∠NDB的度数，继而按照最美三角形的定义，分别以△BND，△BMN为媒介计算BD长度，最后与OD相减求解点B的横坐标范围．
【详解】（1）如下图所示：
∵PM是⊙O的切线，
∴∠PMO=90°，
当⊙O的半径OM是定值时，，
∵，
∴要使面积最小，则PM最小，即OP最小即可，当OP⊥时，OP最小，符合最美三角形定义．
故在图1三个三角形中，因为AO⊥x轴，故△AOP为⊙A与x轴的最美三角形．
故选：②．
（2）①当k＜0时，按题意要求作图并在此基础作FM⊥x轴，如下所示：
按题意可得：△AEF是直线y=kx与⊙A的最美三角形，故△AEF为直角三角形且AF⊥OF．
则由已知可得：，故EF=1．
在△AEF中，根据勾股定理得：．
∵A(0,2)，即OA=2，
∴在直角△AFO中，，
∴∠AOF=45°，即∠FOM=45°，
故根据勾股定理可得：MF=MO=1，故F(-1,1)，
将F点代入y=kx可得：．
②当k＞0时，同理可得k=1．
故综上：．
（3）记直线与x、y轴的交点为点D、C，则，，
①当⊙B在直线CD右侧时，如下图所示：
在直角△COD中，有，，故，即∠ODC=60°．
∵△BMN是直线与⊙B的最美三角形，
∴MN⊥BM，BN⊥CD，即∠BND=90°，
在直角△BDN中，，
故．
∵⊙B的半径为，
∴．
当直线CD与⊙B相切时，，
因为直线CD与⊙B相离，故BN＞，此时BD＞2，所以OB=BD-OD＞．
由已知得：＜，故MN＜1．
在直角△BMN中，＜，此时可利用勾股定理算得BD＜， ＜ =，
则＜＜．
②当⊙B在直线CD左侧时，同理可得：＜＜．
故综上：＜＜或＜＜．
本题考查圆与直线的综合问题，属于创新题目，此类型题目解题关键在于了解题干所给示例，涉及动点问题时必须分类讨论，保证不重不漏，题目若出现最值问题，需要利用转化思想将面积或周长最值转化为线段最值以降低解题难度，求解几何线段时勾股定理极为常见．
21、1，-2
【解析】把方程的一个根–4，代入方程，求出k，再解方程可得.
【详解】
考察一元二次方程的根的定义，及应用因式分解法求解一元二次方程的知识.
22、计划修建的这条高速铁路穿越保护区，理由见解析
【分析】作PH⊥AC于H，根据等腰三角形的判定定理得到PB＝AB＝150，根据正弦的定义求出PH，比较大小得到答案．
【详解】计划修建的这条高速铁路穿越保护区，
理由如下：作PH⊥AC于H，
由题意得，∠PBH＝60°，∠PAH＝30°，
∴∠APB＝30°，
∴∠BAP＝∠BPA，
∴PB＝AB＝150，
在Rt△PBH中，sin∠PBH＝，
∴PH＝PB•sin∠PBH＝75≈129.9，
129.9＞120，
∴计划修建的这条高速铁路穿越保护区．
本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.
23、（1）100、35；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由共享单车人数及其百分比求得总人数m，用支付宝人数除以总人数可得其百分比n的值；
（2）总人数乘以网购人数的百分比可得其人数，用微信人数除以总人数求得其百分比即可补全两个图形；
（3）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，从中找到这两位同学最认可的新生事物不一样的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】解：（1）∵被调查的总人数m=10÷10%=100人，
∴支付宝的人数所占百分比n%=×100%＝35%，即n＝35，
故答案为：100，35；
（2）网购人数为100×15%＝15人，微信对应的百分比为×100%＝40%，
补全图形如下：
（3）根据题意画树状图如下：
共有12种情况，这两位同学最认可的新生事物不一样的有10种，所以这两位同学最认可的新生事物不一样的概率为＝．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24、（1）见解析，；（2）；（3）
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标；
（2）利用勾股定理列式求出OB的长，再利用弧长公式列式计算即可得解；
（3）根据AB扫过的面积等于以OA、OB为半径的两个扇形的面积的差列式计算即可得解．
【详解】解：（1）△A1OB1如图所示，
A1（-3，3），B1（-2，1）；
（2）由勾股定理得，
∴弧BB1的长=
（3）由勾股定理得，
∴
∴
∴线段AB所扫过的面积为：
本题考查利用旋转变换作图，弧长计算，扇形的面积，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键，（3）判断出AB扫过的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键．
25、（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据题意列表，展示出所有等可能的坐标结果；
（2）由（1）可求得点落在二次函数y＝x2﹣5x+6的图象上的结果数，再根据概率公式计算即可解答．
【详解】（1）根据题意列表如下：
纵坐标
横坐标
3
1
2
﹣1
（﹣1，3）
（﹣1，1）
（﹣1，2）
0
（0，3）
（0，1）
（0，2）
1
（1，3）
（1，1）
（1，2）
2
（2，3）
（2，1）
（2，2）
3
（3，3）
（3，1）
（3，2）
4
（4，3）
（4，1）
（4，2）
由表可知，共有18种等可能的情况；
（2）由上表可知，点（1，2）、（4，2）都在二次函数y＝x2﹣5x+6的图象上，
所以P（这些点落在二次函数y＝x2﹣5x+6的图象上）＝＝．
本题考查列表法或树状图法求概率，解题的关键是不重复不遗漏地列出所有等可能的结果．
26、（1）；（2）亏损，赔了110万元
【分析】（1）设，将,代入求得系数即可.
（2）根据年获利=单件利润销量-800-1550
【详解】解：（1）设，
；
（2）
，
对称轴，
∵，，
∴时，（万元）
1550+800-2240=110（万元）
∴赔了110万元.
本题考查了二次函数的实际中的应用，首先要明确题意，确定变量，建立模型解答.
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