资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知一元二次方程的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是
A． B． C． D．
2．已知点都在双曲线上，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若是二次函数，且开口向下，则的值是（ ）
A． B．3 C． D．
4．如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB．设AP=x，△PBE的面积为y．则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，的半径为5，的内接于，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，抛物线的顶点为，与轴的交点在点和之间，以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①③
7．函数与的图象如图所示，有以下结论：①b2－4c＞1；②b＋c＝1；③3b＋c＋6＝1；④当1＜＜3时，＜1．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到封闭图形就是莱洛三角形，如图，已知等边，，则该莱洛三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB上的一点，点N是CB上的一点，，当∠CAN与△CMB中的一个角相等时，则BM的值为（ ）
A．3或4 B．或4 C．或6 D．4或6
10．下列成语所描述的事件是必然事件的是（ ）
A．水涨船高 B．水中捞月 C．一箭双雕 D．拔苗助长
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，摆放矩形与矩形，使在一条直线上，在边上，连接，若为的中点，连接，那么与之间的数量关系是__________．
12．如图，竖直放置的一个铝合金窗框由矩形和弧形两部分组成，AB=m，AD= 2m，弧CD所对的圆心角为∠COD=120°．现将窗框绕点B顺时针旋转横放在水平的地面上，这一过程中，窗框上的点到地面的最大高度为__m．
13．如图，ABC是⊙O的内接三角形，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，且AE=4，若CD=1，AD=3，则AB的长为______．
14．已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点坐标为（m，0）．若2＜m＜5，则a的取值范围是_____．
15．已知A（-4，2），B（2，-4）是一次函数的图像和反比例函数图像的两个交点．则关于的方程的解是__________________．
16．已知直线:交x轴于点A，交y轴于点B；直线:经过点B，交x轴于点C，过点D（0，-1）的直线分别交、于点E、F，若△BDE与△BDF的面积相等，则k=____.
17．如图的顶点在轴的正半轴上，顶点在轴的负半轴上，顶点在第一象限内，交轴于点，过点作交的延长线于点．若反比例函数经过点，且，，则值等于__________．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=1．分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是______.
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知抛物线y＝x2+mx﹣10与x轴的一个交点是（﹣，0），求m的值及另一个交点坐标．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点为．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）求两个函数图像的另一个交点的坐标；并根据图象，直接写出关于的不等式的解集．
21．（6分）近年来，各地“广场舞”噪音干扰的问题倍受关注．相关人员对本地区15~65岁年龄段的市民进行了随机调查，并制作了如下相应的统计图．市民对“广场舞”噪音干扰的态度有以下五种：A．没影响 B．影响不大 C．有影响，建议做无声运动 D．影响很大，建议取缔 E．不关心这个问题
根据以上信息解答下列问题：
（1）根据统计图填空： ，A区域所对应的扇形圆心角为 度；
(2)在此次调查中，“不关心这个问题”的有25人，请问一共调查了多少人？
(3)将条形统计图补充完整；
(4)若本地共有14万市民，依据此次调查结果估计本地市民中会有多少人给出建议？
22．（8分）如图，在中，，以为直径的交于，点在线段上，且.
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的半径．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形ABCD在第一象限内，AB∥x轴，点A的坐标为（5，4）经过点O、点C作直线l，将直线l沿y轴上下平移．
（1）当直线l与正方形ABCD只有一个公共点时，求直线l的解析式；
（2）当直线l在平移过程中恰好平分正方形ABCD的面积时，直线l分别与x轴、y轴相交于点E、点F，连接BE、BF，求△BEF的面积．
24．（8分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣3，0)，点C(0，3)，点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，点E在x轴上．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）在抛物线A、C两点之间有一点F，使△FAC的面积最大，求F点坐标；
（3）直线DE上是否存在点P到直线AD的距离与到x轴的距离相等？若存在，请求出点P，若不存在，请说明理由．
25．（10分）如图，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象与矩形OABC的边AB、BC分别交于点E、F，E（，6），且E为BC的中点，D为x轴负半轴上的点．
（1）求反比倒函数的表达式和点F的坐标；
（2）若D（﹣，0），连接DE、DF、EF，则△DEF的面积是 ．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一点P，使PB+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【解析】试题分析：解得，∴较小根为．
∵，
∴．故选A．
2、D
【分析】分别将A，B两点代入双曲线解析式，表示出和，然后根据列出不等式，求出m的取值范围．
【详解】解：将A（-1，y1），B（2，y2）两点分别代入双曲线，得
，
，
∵y1＞y2，
，
解得，
故选：D．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解不等式．反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式．
3、C
【分析】根据二次函数的定义和开口方向得到关于m的关系式，求m即可．
【详解】解：∵是二次函数，且开口向下，
∴，
∴，
∴．
故选：C
本题考查了二次函数的定义和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的定义和性质是解题关键．
4、D
【详解】解：过点P作PF⊥BC于F，
∵PE=PB，
∴BF=EF，
∵正方形ABCD的边长是1，
∴AC=，
∵AP=x，∴PC=-x，
∴PF=FC=，
∴BF=FE=1-FC=，
∴S△PBE=BE•PF=，
即（0＜x＜），
故选D．
本题考查动点问题的函数图象．
5、C
【分析】连接OA、OB，作OH⊥AB，利用垂径定理和勾股定理求出OH的长，再根据圆周角定理求出∠ACB=∠AOH，即可利用等角的余弦值相等求得结果.
【详解】如图，连接OA、OB，作OH⊥AB，
∵AB=8，OH⊥AB，
∴AH=AB=4，∠AOB=2∠AOH,
∵OA=5，
∴OH=,
∵∠AOB=2∠ACB,
∴∠ACB=∠AOH,
∴=cos∠AOH=,
故选：C.
此题考查圆的性质，垂径定理，勾股定理，三角函数，圆周角定理，利用圆周角定理求得∠ACB=∠AOH，由此利用等角的函数值相等解决问题.
6、B
【分析】根据二次函数的图象可逐项判断求解即可.
【详解】解：抛物线与x轴有两个交点，
∴△>0，
∴b2−4ac>0，故①错误；
由于对称轴为x=−1，
∴x=−3与x=1关于x=−1对称，
∵x=−3，y<0，
∴x=1时，y=a+b+c<0，故②错误；
∵对称轴为x=− =−1，
∴2a−b=0，故③正确；
∵顶点为B(−1,3)，
∴y=a−b+c=3，
∴y=a−2a+c=3，
即c−a=3，故④正确,
故选B．
本题考查抛物线的图象与性质，解题的关键是熟练运用抛物线的图象与性质，本题属于中等题型．
7、C
【分析】利用二次函数与一元二次方程的联系对①进行判断；利用，可对②进行判断；利用，对③进行判断；根据时，可对④进行判断 ．
【详解】解：抛物线与轴没有公共点，
△，所以①错误；
，，
，
即，所以②正确；
，，
，
，所以③正确；
时，，
的解集为，所以④正确 ．
故选：C．
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程、二次函数与不等式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
8、D
【分析】莱洛三角形的面积为三个扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，代入已知数据计算即可．
【详解】解：如图所示，作AD⊥BC交BC于点D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=1，AD=，
∴，
∴莱洛三角形的面积为
故答案为D．
本题考查了不规则图形的面积的求解，能够得出“莱洛三角形的面积为三个扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积”是解题的关键．
9、D
【分析】分两种情形：当时，，设，，可得，解出值即可；当时，过点作，可得，得出，，则，证明，得出方程求解即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝8，
∴，AB=10，
，
设，，
①当时，可得，
，
，
，
．
②当时，如图2中，过点作，可得，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
．
综上所述，或1．
故选：D．
本题考相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
10、A
【解析】必然事件就是一定会发生的事件,依据定义即可解决
【详解】A.水涨船高是必然事件,故正确;
B. 水中捞月,是不可能事件,故错误；
C.一箭双雕是随机事件,故错误
D.拔苗助长是不可能事件,故错误
故选:A
此题考查随机事件，难度不大
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】只要证明△FHE≌△AHM，推出HM=HE，在直角△MDE中利用斜边中线的性质，则DH=MH=HE，即可得到结论成立．
【详解】解：如图，延长EH交AD于点M，
∵四边形ABCD和ECGF是矩形，
∴AD∥EF，
∴∠EFH=∠HAM，
∵点H是AF的中点，
∴AH=FH，
∵∠AHM=∠FHE，
∴△FHE≌△AHM，
∴HM=HE，
∴点H是ME的中点，
∵△MDE是直角三角形，
∴DH=MH=HE；
故答案为：．
本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
12、（）
【分析】连接OB，过O作OH⊥BC于H，过O作ON⊥CD于N，根据已知条件求出OC和OB的长即可．
【详解】连接OB，过O作OH⊥BC于H，过O作ON⊥CD于N，
∵∠COD=120°，CO=DO，
∴∠OCD=∠ODC=30°，
∵ON⊥CO，
∴CN=DN=CD=AB=m，
∴ON=CN=m，OC=1m，
∵ON⊥BC，
∴四边形OHCN是矩形，
∴CH=ON=m，OH=CN=m，
∴BH=BC-CH=m，
∴OB==m，
∴在这一过程中，窗框上的点到地面的最大高度为（+1）m，
故答案为：（+1）．
本题考查了垂径定理，矩形的性质和判定，勾股定理，掌握知识点是解题关键．
13、
【分析】利用勾股定理求出AC，证明△ABE∽△ADC，推出，由此即可解决问题．
【详解】解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∴，
∵AE是直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠ADC，
∵∠E=∠C，
∴△ABE∽△ADC，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
14、＜a或﹣5＜a＜﹣1．
【分析】首先可由二次函数的表达式求得二次函数图象与x轴的交点坐标，可知交点坐标是由a表示的，再根据题中给出的交点横坐标的取值范围可以求出a的取值范围．
【详解】解：∵y＝ax1+（a1﹣1）x﹣a＝（ax﹣1）（x+a），
∴当y＝0时，x＝﹣a或x＝，
∴抛物线与x轴的交点为（﹣a，0），（，0），
由题意函数与x轴的一个交点坐标为（m，0）且1＜m＜5，
∴当a＞0时，1＜＜5，即＜a；
当a＜0时，1＜﹣a＜5，即﹣5＜a＜﹣1；
故答案为＜a或﹣5＜a＜﹣1．
本题综合考查二次函数图象与与x轴的交点坐标以及一元一次不等式的解法，熟练掌握二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法以及一元一次不等式的解法是解题关键．
15、x1=-4，x1=1
【分析】利用数形结合的思想解决问题即可．
【详解】∵A(﹣4，1)，B(1，﹣4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y图象的两个交点，
∴关于x的方程kx+b的解是x1=﹣4，x1=1．
故答案为：x1=﹣4，x1=1．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16、
【分析】先利用一次函数图像相关求出A、B、C的坐标，再根据△BDE与△BDF的面积相等，得到点E、F的横坐标相等，从而进行分析即可.
【详解】解：由直线:交x轴于点A，交y轴于点B；直线:经过点B，交x轴于点C，求出A、B、C的坐标分别为，
将点D（0，-1）代入得到，又△BDE与△BDF的面积相等，即知点E、F的横坐标相等，且直线分别交、于点E、F，可知点E、F为关于原点对称，即知坡度为45°，斜率为.
故k=.
本题考查一次函数图像性质与几何图形的综合问题，熟练掌握一次函数图像性质以及等面积三角形等底等高的概念进行分析是解题关键.
17、6
【分析】可证,得到
因此求得
【详解】解：设,
根据题意,点在第一象限,
又
又
因此
本题考查了相似三角形的性质以及反比例函数的性质.
18、1
【分析】三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=三角形的面积-三个小扇形的面积．
【详解】解：阴影部分的面积为：1×1÷1---=1-．
故答案为1-．
本题主要考查了扇形的面积计算，关键是理解阴影部分的面积=三角形的面积-三个小扇形的面积．
三、解答题(共66分)
19、m＝﹣；另一个交点坐标（2，0）
【分析】首先将点（﹣,0）的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得m的值，再令抛物线中y＝0，可得出关于x的一元二次方程，即可求得抛物线与x轴的另一交点的坐标．
【详解】解：根据题意得，5﹣m﹣10＝0，
所以m＝﹣；
得抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣10，
∵x2﹣x﹣10＝0，
解得x1＝﹣，x2＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标（2,0）．
故答案为：m＝﹣；另一个交点坐标（2,0）.
本题考查了抛物线与轴的交点：从二次函数的交点式（a，b，c是常数，a≠0）中可直接得出抛物线与轴的交点坐标，.
20、（1） （2）或
【分析】（1）把A坐标代入一次函数解析式求出a的值，确定出A的坐标，再代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）解析式联立求得B的坐标，然后根据图象即可求得．
【详解】解：（1） ∵点在一次函数图象上，
∴
∴
∴
∵点在反比例函数的图象上，
∴．
∴
（2）由或
∴
由图象可知，的解集是或 ．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A、B的坐标是解题的关键．
21、（1）32，1；（2）500人；（3）补图见解析；（4）5.88万人．
【解析】分析：分析：（1）用1减去A，D，B，E的百分比即可，运用A的百分比乘360°即可．（2）用不关心的人数除以对应的百分比可得．（3）求出25-35岁的人数再绘图．（4）用14万市民乘C与D的百分比的和求解．
本题解析：（1）m%=1-33%-20%-5%-10%=32%，所以m=32，
A区域所对应的扇形圆心角为：360°×20%=1°，
故答案为32，1．
（2）一共调查的人数为：25÷5%=500(人).
（3）(3)500×(32%+10%)=210(人)
25−35岁的人数为：210−10−30−40−70=60(人)
（4）14×(32%+10%)=5.88(万人)
答：估计本地市民中会有5.88万人给出建议．
22、 (1)证明见解析；(2)的半径为1.
【分析】（1）如图（见解析），连接OD，先根据等边对等角求出，再根据直角三角形两锐角互余得，从而可得，最后根据圆的切线的判定定理即可得证；
（2）先根据圆的切线的判定定理得出是的切线，再根据切线长定理可得，从而可得AC的长，最后在中，利用直角三角形的性质即可得.
【详解】如图，连接
又，则
，且OD为的半径
是的切线；
（2），是直径
是的切线
由（1）知，是的切线
在中，，则
故的半径为1.
本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、圆的切线的判定定理、切线长定理，较难的是（2），利用切线长定理求出EC的长是解题关键.
23、（1）y＝x+3或y＝x﹣；（2）
【分析】（1）根据题意求得正方形各顶点的坐标，然后根据待定系数法求得直线l的解析式，直线平移，斜率不变，设平移后的直线方程为y＝x+b；把点B和D的坐标代入进行解答即可；
（2）根据正方形是中心对称图形，当直线l经过对角线的交点时，恰好平分正方形ABCD的面积，求得交点坐标，代入y＝x+b，根据待定系数法即可求得直线l的解析式，然后求得E、F的坐标，根据待定系数法求得直线BE的解析式，得到与y轴的交点Q的坐标，根据三角形面积公式即可求得．
【详解】（1）∵长为3的正方形ABCD中，点A的坐标为（5，4），
∴B（2，4），C（2，1），D（5，1），
设直线l的解析式为y＝kx，
把C（2，1）代入得，1＝2k，解得k＝，
∴直线l为：y＝，
设平移后的直线方程为y＝x+b，
把点B的坐标代入，得:4＝×2+b，
解得 b＝3，
把点D的坐标代入，得:1＝×5+b，
解得: b＝﹣，
则平移后的直线l解析式为：y＝x+3或y＝x﹣；
（2）设AC和BD的交点为P，
∴P点的坐标为（，），
把P点的坐标代入y＝x+b得，＝+b，
解得b＝，
∴此时直线l的解析式为y＝x+，如图，
∴E（﹣，0），F（0，），
设直线BE的解析式为：y＝mx+n，
则，解得：，
∴直线BE的解析式为：y＝x+，
∴Q（0，），
∴QF＝﹣＝，
∴△BEF的面积＝＝．
本题主要考查一次函数的图象的平移和正方形的性质的综合，掌握待定系数法和求直线和坐标轴的交点坐标是解题的关键.
24、（1）y=﹣x2﹣2x+3，D(﹣1，4)；（2）F点坐标为(﹣，)；（3）存在，满足条件的P点坐标为(﹣1，﹣1)或(﹣1，﹣﹣1)
【分析】（1）把代入得得到关于的方程组，然后解方程组即可求出抛物线解析式，再把解析式配成顶点式可得D点坐标；
（2）如图2，作FQ∥y轴交AC于Q，先利用待定系数法求出直线AC的解析式，设，则，则可表示出，，根据三角形面积公式结合二次函数的性质即可求解；
（3）设，根据得到，最后分两种情况求解即可得出结论．
【详解】解：（1）把代入得
，
∴ ，
∴抛物线的解析式为：，
∵，
∴点D的坐标为：；
（2）如图2，作FQ∥y轴交AC于Q，
设直线AC的解析式为，
把代入，
得，
解得，
∴直线AC的解析式为： ．
设，则，
∴，
∴=，
当时，△FAC的面积最大，此时F点坐标为（﹣，），
（3）存在．
∵D（﹣1，4），A（﹣3，0），E（﹣1，0），
∴，
设，则，，如图3，
∵∠HDP=∠EDA，∠DHP=∠DEA=90°
∴，
∴，
∴，
当t＞0时，，解得：，
当t＜0时，，解得： ，
综上所述，满足条件的P点坐标为或
本题是二次函数综合题：主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质相似三角形的判定和性质，会利用待定系数法求函数解析式，判断出是解本题的关键．
25、（1）y＝，F（3，3）；（2）S△DEF＝1．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，根据题意求得B的坐标，进而得到F的横坐标，代入解析式即可求得纵坐标；
（2）设DE交y轴于H，先证得H是OC的中点，然后根据S△DEF＝S矩形OABC+S△ODH﹣S△ADF﹣S△CEH﹣S△BEF即可求得．
【详解】（1）∵反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象过E（，6），
∴k＝×6＝1，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵E为BC的中点，
∴B（3，6），
∴F的横坐标为3，
把x＝3代入y＝得，y＝＝3，
∴F（3，3）；
（2）设DE交y轴于H，
∵BC∥x轴，
∴△DOH∽△ECH，
∴＝＝1，
∴OH＝CH＝3，
∴S△DEF＝S矩形OABC+S△ODH﹣S△ADF﹣S△CEH﹣S△BEF＝3×6+××3﹣×（3+）×3﹣﹣＝1．
此题主要考查反比例函数与相似三角形，解题的关键是熟知反比例函数的图像与性质及相似三角形的判定与性质.
26、（1） （2）点P的坐标；（3）M
【分析】（1）待定系数法即可得到结论；
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得M在对称轴上，根据两点之间线段最短，可得M点在线段AB上，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）设M（a，a2-2a-3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（-2，5）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论．
【详解】（1）由得，
把代入，
得，
，
抛物线的解析式为；
（2）连接AB与对称轴直线x=1的交点即为P点的坐标（对称取最值），
设直线AB的解析式为,
将A（2，-3），B（-1，0）代入，得y=-x-1，
将x=1代入，得x=-2，
所以点P的坐标为（1，-2）；
（3）设M（）
①以AB为边，则AB∥MN，如图2，
过M作对称轴y于E，AF轴于F，
则
或,
或
∥AM，
如图3，
则N在x轴上，M与C重合，
综上所述，存在以点ABMN为顶点的四边形是平行四边形，
或或
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
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