资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（每题4分，共48分）
1．P(3，-2)关于原点对称的点的坐标是( )
A．(3，2) B．(-3，2) C．(-3，-2) D．(3，-2)
2．如图，点B、D、C是⊙O上的点，∠BDC=130°，则∠BOC是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
3．在ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，以A为圆心，以3为半径画圆，则点C与⊙A的位置关系是（ ）
A．在⊙A外 B．在⊙A上 C．在⊙A内 D．不能确定
4．已知菱形的周长为40 cm，两对角线长度比为3：4，则对角线长分别为（ ）
A．12 cm．16 cm B．6 cm，8 cm C．3 cm，4 cm D．24 cm，32 cm
5．下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．由不能推出的比例式是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1m，则旗杆PA的高度为( )
A．m B．m C． m D． m
8．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．已知关于x的不等式2x－m＞－3的解集如图所示，则m的取值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．－1
10．抛物线的图像与坐标轴的交点个数是（ ）
A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个
11．正六边形的边心距与半径之比为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于 CD的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则BE的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，一段抛物线记为，它与轴交于两点、，将绕旋转得到，交轴于，将绕旋转得到，交轴于；如此进行下去，直至得到，若点在第8段抛物线上，则等于__________
14．如图所示，半圆O的直径AB=4，以点B为圆心，为半径作弧，交半圆O于点C，交直径AB于点D，则图中阴影部分的面积是_____________.
15．如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点为位似中心的位似图形，且点B（3，1），,（6，2），若点（5，6），则点的坐标为________．
16．如图，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，若AB∥CD，AOB与COD面积分别为8和18，若双曲线y＝恰好经过BC的中点E，则k的值为_____．
17．现有三张分别标有数字2、3、4的卡片，它们除了数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张，将上面的数字记为a（不放回）；从剩下的卡片中再任意抽取一张，将上面的数字记为b，则点（a,b）在直线 图象上的概率为__．
18．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在正方形ABCD中，等边△AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．
（1）、求证：△ABE≌△ADF；
（2）、若等边△AEF的周长为6，求正方形ABCD的边长．
20．（8分）如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴的另一个交点为A(－2，0)．
（1）求二次函数的解析式
（2）在抛物线上是否存在一点P，使△AOP的面积为3，若存在请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
21．（8分）已知，如图，在平行四边形ABCD中，M是BC边的中点，E是边BA延长线上的一点，连接EM，分别交线段AD于点F、AC于点G．
（1）证明：∽
（2）求证：；
22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），双曲线y＝（k≠0，x＞0）过点D．
（1）写出D点坐标；
（2）求双曲线的解析式；
（3）作直线AC交y轴于点E，连结DE，求△CDE的面积．
23．（10分）全国第二届青年运动会是山西省历史上第一次举办的大型综合性运动会，太原作为主赛区，新建了很多场馆，其中在汾河东岸落成了太原水上运动中心，它的终点塔及媒体中心是一个以“大帆船”造型（如图1），外观极具创新，这里主要承办赛艇、皮划艇、龙舟等项目的比赛.“青春”数学兴趣小组为了测量“大帆船”AB的长度，他们站在汾河西岸，在与AB平行的直线l上取了两个点C、D，测得CD=40m，∠CDA=110°，∠ACB=18.5°，∠BCD=16.5°，如图1．请根据测量结果计算“大帆船”AB的长度．（结果精确到0.1m,参考数据：sin16.5°≈0.45，tan16.5°≈0.50，≈1.41，≈1.73）
24．（10分）如图，四边形是正方形，连接，将绕点逆时针旋转得，连接，为的中点，连接，.
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当时，（1）还成立吗？请说明理由.
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，在轴上，把矩形沿对角线所在的直线对折，点恰好落在反比例函数的图象上点处，与轴交于点，延长交轴于点，点刚好是的中点.已知的坐标为．
（1）求反比例函数的函数表达式；
（2）若是反比例函数图象上的一点，点在轴上，若以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标_________.
26．如图，抛物线的表达式为y=ax2+4ax+4a-1（a≠0），它的图像的顶点为A，与x轴负半轴相交于点B、点C（点B在点C左侧），与y轴交于点D，连接AO交抛物线于点E，且S△AEC:S△CEO=1:3.
（1）求点A的坐标和抛物线表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△BDP的内心也在对称轴上，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接BD，点Q是y轴左侧抛物线上的一点，若以Q为圆心，为半径的圆与直线BD相切，求点Q的坐标.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【解析】根据平面坐标系中点P(x,y)关于原点对称点是(-x,-y) 即可．
【详解】解：关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，因此P(3，-2)关于原点对称的点的坐标是(-3，2)．
故答案为B．
本题考查关于原点对称点的坐标的关系，解题的关键是理解并识记关于原点对称点的特点．
2、A
【分析】首先在优弧上取点E，连接BE，CE，由点B、D、C是⊙O上的点，∠BDC=130°，即可求得∠E的度数，然后由圆周角定理，即可求得答案．
【详解】解：在优弧上取点E，连接BE，CE，如图所示：
∵∠BDC=130°，
∴∠E=180°-∠BDC=50°，
∴∠BOC=2∠E=100°．
故选A．
此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
3、B
【分析】根据勾股定理求出AC的值，根据点与圆的位关系特点，判断即可．
【详解】解：由勾股定理得：
∵AC=半径=3，
∴点C与⊙A的位置关系是：点C在⊙A上，
故选：B．
本题考查了点与圆的位置关系定理和勾股定理等知识点的应用，点与圆（圆的半径是r，点到圆心的距离是d）的位置关系有3种：d=r时，点在圆上；d＜r点在圆内；d＞r点在圆外．掌握以上知识是解题的关键．
4、A
【解析】试题分析：如图，四边形ABCD是菱形，且菱形的周长为40cm，
设
故选A．
考点：1、菱形的性质；2、勾股定理.
5、D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义即可判断.
【详解】A既不是轴对称图形也不是中心对称图形；
B是中心对称图形，但不是轴对称图形；
C是轴对称图形，但不是中心对称图形；
D既是轴对称图形，又是中心对称图形,
故选D.
此题主要考察轴对称图形与中心对称图形的定义，熟知其定义是解题的关键.
6、C
【解析】根据比例的性质依次判断即可.
【详解】设x=2a，y=3a，
A. 正确，不符合题意；
B. ，故该项正确，不符合题意；
C. ，故该项不正确，符合题意；
D. 正确，不符合题意；
此题考查比例的基本性质，熟记性质并运用解题是解此题的关键.
7、A
【解析】设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，根据sinα=，列出方程即可解决问题．
【详解】设PA=PB=PB′=x，
在RT△PCB′中，sinα=，
∴=sinα，
∴x-1=xsinα，
∴（1-sinα）x=1，
∴x=．
故选A．
本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．
8、B
【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确；
∵x=﹣=1，即b=﹣2a，而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，∴a+2a+c=0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．
故选：B．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
9、D
【分析】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得x的解集，再根据数轴上的解集，来求得a的值．
【详解】2x＞m−3，
解得x＞，
∵在数轴上的不等式的解集为：x＞−2，
∴＝−2，
解得m＝−1；
故选：D．
当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据数轴上的解集进行判断，求得另一个字母的值．
10、B
【分析】已知二次函数的解析式，令x=0，则y=1，故与y轴有一个交点，令y=0，则x无解，故与x轴无交点，题目求的是与坐标轴的交点个数，故得出答案．
【详解】解：∵
∴令x=0，则y=1，故与y轴有一个交点
∵令y=0，则x无解
∴与x轴无交点
∴与坐标轴的交点个数为1个
故选B．
本题主要考查二次函数与坐标轴的交点，熟练二次函数与x轴和y轴的交点的求法以及仔细审题是解决本题的关键．
11、C
【分析】我们可设正六边形的边长为2，欲求半径、边心距之比，我们画出图形，通过构造直角三角形，解直角三角形即可得出．
【详解】如右图所示，边长AB＝2；
又该多边形为正六边形，
故∠OBA＝60°，
在Rt△BOG中，BG＝1，OG＝，
所以AB＝2，
即半径、边心距之比为．
故选：C．
此题主要考查正多边形边长的计算问题，要求学生熟练掌握应用．
12、B
【解析】由作法得AE垂直平分CD，则∠AED=90°，CE=DE，于是可判断∠DAE=30°，∠D=60°，作EH⊥BC于H，从而得到∠ECH=60°,利用三角函数可求出EH、CH的值，再利用勾股定理即可求出BE的长.
【详解】解：如图所示，作EH⊥BC于H，
由作法得AE垂直平分CD，
∴∠AED=90°，CE=DE＝2，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=2DE，
∴∠DAE=30°，
∴∠D=60°，
∵AD//BC，
∴∠ECH=∠D=60°,
在Rt△ECH中，
EH=CE·sin60°=,
CH=CE·cos60°=,
∴BH=4+1=5，
在Rt△BEH中，由勾股定理得，
.
故选B.
本题考查了垂直平分线的性质、菱形的性质、解直角三角形等知识.合理构造辅助线是解题的关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】求出抛物线与x轴的交点坐标，观察图形可知第奇数号抛物线都在x轴上方、第偶数号抛物线都在x轴下方，再根据向右平移横坐标相加表示出抛物线的解析式，然后把点P的横坐标代入计算即可.
【详解】抛物线与x轴的交点为（0，0）、（2，0），
将绕旋转180°得到，则的解析式为，
同理可得的解析式为，
的解析式为
的解析式为
的解析式为
的解析式为
的解析式为
∵点在抛物线上，
∴
故答案为
本题考查的是二次函数的图像性质与平移，能够根据题意确定出的解析式是解题的关键.
14、
【解析】解：连接OC，CB，过O作OE⊥BC于E，∴BE=BC==．∵OB=AB=2，∴OE=1，∴∠B=30°，∴∠COA=60°， = = =．故答案为．
15、 (2.5，3)
【分析】利用点B(3，1)，B′(6，2)即可得出位似比进而得出A的坐标．
【详解】解：∵点B(3，1)，B′(6，2)，点A′(5，6)，
∴A的坐标为：(2.5，3)．
故答案为：(2.5，3)．
本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
16、1
【分析】由平行线的性质得∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，两个对应角相等证明OAB∽OCD，其性质得，再根据三角形的面积公式，等式的性质求出m＝，线段的中点，反比例函数的性质求出k的值为1．
【详解】解：如图所示：
∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，
∴OAB∽OCD，
∴，
若＝m，
由OB＝m•OD，OA＝m•OC，
又∵，，
∴＝，
又∵S△OAB＝8，S△OCD＝18，
∴，
解得：m＝或m＝ (舍去)，
设点A、B的坐标分别为(0，a)，(b，0)，
∵，
∴点C的坐标为(0，﹣a)，
又∵点E是线段BC的中点，
∴点E的坐标为()，
又∵点E在反比例函数上，
∴＝﹣＝，
故答案为：1．
本题综合考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，线段的中点坐标，反比例函数的性质，三角形的面积公式等知识，重点掌握反比例函数的性质，难点根据三角形的面积求反比例函数系数的值．
17、
【解析】根据题意列出图表，即可表示（a，b）所有可能出现的结果,根据一次函数的性质求出在图象上的点，即可得出答案．
【详解】画树状图得：
∵共有6种等可能的结果(2,3),(2,4),(3,2),(3,4),(4,2),(4,3)，在直线 图象上的只有(3,2)，
∴点（a，b）在图象上的概率为．
本题考查了用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意此题属于不放回实验．
18、且
【解析】利用判别式，根据不等式即可解决问题.
【详解】∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝1有实数根，
∴△≥1且k≠1，
∴9+4k≥1，
∴，且k≠1，
故答案为且k≠1．
本题考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝1（a≠1）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞1时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝1时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜1时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
三、解答题（共78分）
19、（1）证明见解析；（2）.
【解析】试题分析：（1）根据四边形ABCD是正方形，得出AB=AD，∠B=∠D=90°，再根据△AEF是等边三角形，得出AE=AF，最后根据HL即可证出△ABE≌△ADF；
（2）根据等边△AEF的周长是6，得出AE=EF=AF的长，再根据（1）的证明得出CE=CF，∠C=90°，从而得出△ECF是等腰直角三角形，再根据勾股定理得出EC的值，设BE=x，则AB=x+，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，求出x的值，即可得出正方形ABCD的边长．
试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∵AB＝AD，AE＝AF
∴Rt△ABE≌Rt△ADF；
（2）∵等边△AEF的周长是6，
∴AE=EF=AF=2，
又∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF，
∴CE=CF，∠C=90°，
即△ECF是等腰直角三角形，
由勾股定理得CE2+CF2=EF2，
∴EC=，
设BE=x，则AB=x+，
在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即（x+）2+x2=4，
解得x1=或x2=（舍去），
∴AB=+=，
∴正方形ABCD的边长为．
考点: 1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；
20、（4）y＝－x3－3x；（3）（4，-4），（4，-4）．
【分析】（4）把点（3，3）和点A（-3，3）分别代入函数关系式来求b、c的值；
（3）设点P的坐标为（x，-x3-3x），利用三角形的面积公式得到-x3-3x=±4．通过解方程来求x的值，则易求点P的坐标．
【详解】解：（4）∵二次函数y=-x3+bx+c的图象经过坐标原点（3，3）
∴c=3．
又∵二次函数y=-x3+bx+c的图象过点A（-3，3）
∴-（-3）3-3b+3=3，
∴b=-3．
∴所求b、c值分别为-3，3；
（3）存在一点P，满足S△AOP=4．
设点P的坐标为（x，-x3-3x）
∵S△AOP=4
∴×3×|-x3-3x|=4
∴-x3-3x=±4．
当-x3-3x=4时，此方程无解；
当-x3-3x=-4时，
解得 x4=-4，x3=4．
∴点P的坐标为（-4，-4）或（4，-4）．
本题考查了抛物线与x轴的交点．解（4）题时，实际上利用待定系数法来求抛物线的解析式．
21、（1）详见解析；（2）详见解析．
【分析】（1）利用平行线的性质及对顶角相等即可证明∽；
（2）由相似三角形的性质可知，由AD∥BC可知，通过等量代换即可证明结论．
【详解】（1）证明：∥
∽
（2）证明：∵∽
∵AD∥BC，
∴
又∵CM＝BM，
本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键．
22、（1）点D的坐标是（1，2）；（2）双曲线的解析式是：y＝；（1）△CDE的面积是1．
【分析】（1）根据平行四边形对边相等的性质，将线段长度转化为点的坐标即可；
（2）求出点的坐标后代入反比例函数解析式求解即可；
（1）观察图形，可用割补法将分成与两部分，以为底，分别以到的距离和到的距离为高求解即可.
【详解】解：（1）∵在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（1，1）、（1，1），
∴点D的坐标是（1，2），
（2）∵双曲线y＝（k≠0，x＞0）过点D（1，2），
∴2＝，得k＝2，
即双曲线的解析式是：y＝；
（1）∵直线AC交y轴于点E，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（1，1）、（1，1），点D的坐标是（1，2），
∴AD＝2，点E到AD的距离为1，点C到AD的距离为2，
∴S△CDE＝S△EDA+S△ADC＝＝1+2＝1，
即△CDE的面积是1．
本题主要考查反比例函数与平行四边形的性质，熟练掌握两知识点的性质是解答关键.
23、 “大帆船”AB的长度约为94.8m
【分析】分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点E、F，设DE=xm，得BF= AE=CE=( x +40)m，AE=x ，列出方程，求出x的值，进而即可求解．
【详解】分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点E、F，
设DE=xm，易知四边形ABFE是矩形，
∴ AB=EF，AE=BF．
∵∠DCA=∠ACB+∠BCD=18.5°+16.5°=45°，
∴ BF= AE=CE=( x +40)m．
∵ ∠CDA=110°，
∴ ∠ADE=60°．
∴ AE= x·tan60°=x ，
∴ x= x +40 ， 解得： x≈54.79（m）．
∴ BF= CE =54.79+40=94.79（m）．
∴ CF=≈189.58（m）．
∴ EF= CF- CE=189.58-94.79≈94.8（m）．
∴ AB=94.8（m）．
答：“大帆船”AB的长度约为94.8m．
本题主要考查三角函数的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形，熟练掌握三角函数的定义，是解题的关键．
24、（1）详见解析；（2）当时，成立，理由详见解析.
【分析】（1）由旋转的性质得：，根据直角三角形斜边中线的性质可得OD=CF，OE=CF，进而可得OD=OE；
（2）连接CE、DF，根据等腰三角形的性质可得，利用角的和差关系可得，利用SAS可证明△ACE≌△AFD，可得CE=DF，∠ECA=∠DFA，利用角的和差关系可得，利用SAS可证明△EOC≌△DOF，即可证明OD=OE，可得（1）结论成立.
【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴∠BAC=45°，
∵将绕点逆时针旋转得，=45°，
∴点E在AC上，
∴，为的中点，
∴
同理：
∴.
（2）当时，成立，理由如下：
连接，如图所示：
∵在正方形中，，AB=AE，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵=45°，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴.
本题考查正方形的性质、旋转的性质及全等三角形的判定与性质，正确得出对应边和对应角，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.
25、（1）；（2），，（，0）．
【分析】(1)证得BD是CF的垂直平分线，求得，作DG⊥BF于G，求得点D的坐标为 ，从而求得反比例函数的解析式；
(2)分3种情形，分别画出图形即可解决问题．
【详解】(1) ∵四边形ABOC是矩形，
∴AB=OC，AC=OB，，
根据对折的性质知，，
∴，，AB=DB，
又∵D是CF的中点，
∴BD是CF的垂直平分线，
∴BC=BF，，
∴，
∵，
∴，
∵点B的坐标为 ，
∴，
在中，，，，
∴，
过D作DG⊥BF于G，如图，
在中，，，，
∴，，
∴，
∴点D的坐标为 ，
代入反比例函数的解析式得：，
∴反比例函数的解析式；
(2) 如图①、②中，作EQ∥x轴交反比例函数的图象于点Q，
在中， ，，
∴，
∴点E的坐标为 ，
点Q纵坐标与点E纵坐标都是，代入反比例函数的解析式得：
，
解得：，
∴点Q的坐标为 ，
∴，
∵四点构成平行四边形，
∴
∴点的坐标分别为 ， ；
如图③中，构成平行四边形，作QM∥y轴交轴于点M，
∵四边形为平行四边形，
∴， ，
∴，
∴，，
∴点的坐标为 ，
∴
∴，
∴点的坐标为 ，
综上，符合条件点的坐标有： ， ，；
本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、翻折变换、直角三角形中30度角的性质、平行四边形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
26、（1）抛物线表达式为y=x2+4x+3 ；（2）P（-2，-3）；（3）Q（-4，3）.
【分析】（1）根据抛物线的对称轴易求得顶点坐标，再根据S△AEC:S△CEO=1:3，求得OE：OA=3:4，再证得△OFE∽△OMA，求得点E的坐标，从而求得答案；
（2）根据内心的定义知∠BPM=∠DPM，设点P（-2，b），根据三角函数的定义求得，继而求得的值，从而求得答案；
（3）设Q（m，m2+4m+3），分类讨论，①点Q在BD左上方抛物线上，②点Q在BD下方抛物线上，利用的不同计算方法求得的值，从而求得答案.
【详解】（1）由抛物线y=ax2+4ax+4a-1得对称轴为直线，当时，，
∴ ，
∵S△AEC:S△CEO=1:3 ，
∴AE：OE=1:3 ，
∴OE：OA=3:4，
过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，设对称轴与x轴交点为M，如图，
∵EF//AM ，
∴△OFE∽△OMA ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
把点代入抛物线表达式y=ax2+4ax+4a-1得
，
解得：a=1，
∴抛物线表达式为：y=x2+4x+3 ；
（2）三角形的内心是三个角平分线的交点，
∴∠BPM=∠DPM，
过点D作DH⊥AM，垂足为点H，设点P（-2，b），
∵tan∠BPM=tan∠DPM ，
∴，
∴，
∴，
∴P（-2，-3），
（3）∵抛物线表达式为：y=x2+4x+3 ，
∴抛物线与轴和轴的交点坐标分别为：B(-3，0) ，C(-1，0) ，D(0，3) ，
∴，
∴
设Q（m，m2+4m+3），
①点Q在BD左上方抛物线上，如图：作BG⊥x轴交BD于G，QF⊥x轴交于F，作QE⊥BD于E，
设直线QD的解析式为：，
∵点Q的坐标为（m，m2+4m+3）代入得：，
∴直线QD的解析式为：，
当时，，
∴点G的坐标为； ，
∴
，
∵，
∴，
即：，
解得：或(不合题意，舍去) ，
∴点的坐标为：）；
②点Q在BD下方抛物线上，如图：QF⊥x轴交于F，交BD于G，作QE⊥BD于E，
设直线BD的解析式为：，
将点B(-3，0)代入得：，
∴直线BD的解析式为：，
当时，，
∴点G的坐标为； ，
∴
，
∵，
∴，
即：，
∵
∴方程无解，
综上：点的坐标为：）.
本题考查了运用待定系数法求直线及抛物线的解析式，三角函数的定义，勾股定理，三角形的面积，综合性比较强，学会分类讨论的思想思考问题，利用三角形面积的不同计算方法构建方程求值是解答本题的关键.
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