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2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，矩形的对角线交于点O，已知则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．被开方数不同的二次根式一定不是同类二次根式；
B．只有被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式；
C．和是同类二次根式；
D．和是同类二次根式.
3．用小立方块搭成的几何体，从正面看和从上面看的形状图如下，则组成这样的几何体需要的立方块个数为( )
A．最多需要8块，最少需要6块 B．最多需要9块，最少需要6块
C．最多需要8块，最少需要7块 D．最多需要9块，最少需要7块
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是( )
A． B．3 C． D．2
5．已知△ABC∽△DEF， ∠A=85°；∠F=50°，那么cosB的值是（ ）
A．1 B． C． D．
6．如图，内接于⊙，， ，则⊙半径为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
7．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知二次函数y=2（x﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．已知实数m，n满足条件m2﹣7m+2=0，n2﹣7n+2=0，则+的值是（ ）
A． B． C．或2 D．或2
10．二次函数图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．方程x2+2x+m=0有两个相等实数根，则m=___________．
12．如图，矩形中，，，以为圆心，为半径画弧，交延长线于点，以为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是_________．
13．如图，ABCD是平行四边形，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD＝OA＝2，则图中阴影部分的面积为______．
14．如图，有一张矩形纸片，长15cm，宽9cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是48cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为_____．
15．如图，扇形OAB，∠AOB=90，⊙P 与OA、OB分别相切于点F、E，并且与弧AB切于点C，则扇形OAB的面积与⊙P的面积比是 ．
16．将半径为12，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的半径为____．
17．如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是_______m．
18．关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，则m满足的条件是_____.
三、解答题(共66分)
19．（10分）某校垃圾分类“督察部”从4名学生会干部（2男2女）随机选取2名学生会干部进行督查，请用枚举、列表或画树状图的方法求出恰好选中两名男生的概率．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，ΔABC的三个顶点坐标分别为A（-2,1）、B（-1,4）、C（-3,2）.
（1）画图：以原点为位似中心，位似比为1:2，在第二象限作出ΔABC的放大后的图形
（2）填空：点C1的坐标为 ，= .
21．（6分）如图，己知是的直径，切于点，过点作于点，交于点，连接、.
（1）求证：是的切线：
（2）若，，求阴影部分面积.
22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝且经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线解析式．
（2）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1至∠6是六个不同位置的圆周角．
（1）分别写出与∠1、∠2相等的圆周角，并求∠1+∠2+∠3+∠4的值；
（2）若∠1－∠2=∠3－∠4，求证: AC⊥BD．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，．
（1）将绕点逆时针旋转得到，点，对应点分别是，，请在图中画出，并写出，的坐标；
（2）以点为位似中心，将作位似变换且缩小为原来的，在网格内画出一个符合条件的．
25．（10分）一个不透明的布袋里装有2个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同．
（1）从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是 ；
（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图等方法求出两次摸到的球是同色的概率．
26．（10分）如图,点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，连接，的面积为1．点的坐标为．若一次函数的图象经过点，交双曲线的另一支于点，交轴点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(1)若为轴上的一个动点，且的面积为5，请求出点的坐标．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】根据矩形的性质得出∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，AB＝DC，再解直角三角形判定各项即可．
【详解】选项A，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝OB＝CO＝DO，
∴∠DBC＝∠ACB，
∴由三角形内角和定理得：∠BAC＝∠BDC＝∠α，
选项A正确；
选项B，在Rt△ABC中，tanα＝，
即BC＝m•tanα，
选项B正确；
选项C，在Rt△ABC中，AC＝，即AO＝，
选项C错误；
选项D，∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝m，
∵∠BAC＝∠BDC＝α，
∴在Rt△DCB中，BD＝，
选项D正确.
故选C．
本题考查了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
2、D
【分析】根据同类二次根式的定义逐项分析即可.
【详解】解：A、被开方数不同的二次根式若化简后被开方数相同，就是同类二次根式，故不正确；
B. 化成最简二次根式后，被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式，故不正确；
C. 和的被开方数不同，不是同类二次根式，故不正确；
D. =和=，是同类二次根式，正确
故选D.
本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键.化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.
3、C
【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可知第一层正方体的个数为4，由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，第三层只有一块，相加即可.
【详解】由主视图可得：这个几何体共有3层，
由俯视图可知第一层正方体的个数为4，
由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，
第三层只有一块，
故：最多为3+4+1=8个
最少为2+4+1=7个
故选C
本题考查由三视图判断几何体，熟练掌握立体图形的三视图是解题关键.
4、D
【分析】先求出AC，再根据正切的定义求解即可.
【详解】设BC=x，则AB=3x，
由勾股定理得，AC=，
tanB===，
故选D．
考点：1．锐角三角函数的定义；2．勾股定理．
5、C
【分析】由题意首先根据相似三角形求得∠B的度数，然后根据特殊角的三角函数值确定正确的选项即可．
【详解】解：△ABC∽△DEF，∠A=85°，∠F=50°，
∴∠C=∠F=50°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-85°-50°=45°，
∴cosB=cos45°=.
故选：C.
本题主要考查相似三角形的性质以及三角函数相关，解题的关键是熟练掌握相似三角形的对应角相等．
6、C
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由OB＝OC判断出△OBC是等边三角形，由此可得出结论．
【详解】解：连接OB，OC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°．
∵OB＝OC，BC＝1，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝1．
故选：C.
本题考查的是圆周角定理以及等边三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．
7、C
【解析】根据题中“属于分解因式的是”可知，本题考查多项式的因式分解的判断，根据因式分解的概念，运用因式分解是把多项式分解成若干个整式相乘的形式，进行分析判断.
【详解】A． 属于整式乘法的变形.
B． 不符合因式分解概念中若干个整式相乘的形式.
C． 运用提取公因式法，把多项式分解成了5x与（2x-1）两个整式相乘的形式.
D． 不符合因式分解概念中若干个整式相乘的形式.
故应选C
本题解题关键：理解因式分解的概念是把多项式分解成若干个整式相乘的形式，注意的是相乘的形式.
8、A
【解析】结合二次函数解析式，根据函数的性质对各小题分析判断解答即可：
①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本说法错误；
②图象的对称轴为直线x=3，故本说法错误；
③其图象顶点坐标为（3，1），故本说法错误；
④当x＜3时，y随x的增大而减小，故本说法正确．
综上所述，说法正确的有④共1个．故选A．
9、D
【分析】①m≠n时，由题意可得m、n为方程x2﹣7x+2=0的两个实数根，利用韦达定理得出m+n、mn的值，将要求的式子转化为关于m+n、mn的形式，整体代入求值即可；②m=n，直接代入所求式子计算即可.
【详解】①m≠n时，由题意得：m、n为方程x2﹣7x+2=0的两个实数根，
∴m+n=7，mn=2，
+====；
②m=n时，+=2.
故选D.
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，分析出m、n是方程的两个根以及分类讨论是解题的关键.
10、B
【解析】根据题目中二次函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标．
【详解】∵二次函数y=﹣(x+2)2+6，
∴该函数的顶点坐标为(﹣2，6)，
故选：B．
本题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：抛物线的顶点坐标是，对称轴是．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】当△=0时，方程有两个相等实数根.
【详解】由题意得：△=b2-4ac=22-4m=0，则m=1.
故答案为1.
本题考察了根的判别式与方程根的关系.
12、
【分析】阴影部分的面积为扇形BDM的面积加上扇形CDN的面积再减去直角三角形BCD的面积即可．
【详解】解：∵，
∴根据矩形的性质可得出，
∵
∴
∴利用勾股定理可得出，
因此，可得出
故答案为：．
本题考查的知识点是求不规则图形的面积，熟记扇形的面积公式是解此题的关键．
13、
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，由图可知，阴影部分的面积＝△CBF的面积，根据题目的条件和图形，可以求得△BCF的面积，从而可以解答本题．
【详解】连接OD、OF、BF，作DE⊥OA于点E，
∵ABCD是平行四边形，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD＝OA＝2，
∴OA＝OD＝AD＝OF＝OB＝2，DC∥AB，
∴△DOA是等边三角形，∠AOD＝∠FDO，
∴∠AOD＝∠FDO＝60°，
同理可得，∠FOB＝60°，△BCD是等边三角形，
∵弓形DF的面积＝弓形FB的面积，DE＝OD•sin60°＝，
∴图中阴影部分的面积为：＝，
故答案为：．
本题考查了求阴影部分面积的问题，掌握三角形面积公式是解题的关键．
14、（15﹣2x）（9﹣2x）＝1．
【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（15﹣2x）cm，宽为（9﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是1cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（15﹣2x）cm，宽为（9﹣2x）cm，
根据题意得：（15﹣2x）（9﹣2x）＝1．
故答案是：（15﹣2x）（9﹣2x）＝1．
此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程.
15、
【详解】依题意连接OC则P在OC上，连接PF,PE则PF⊥OA,PE⊥OB,由切线长定理可知四边形OEPF为正方形，且其边长即⊙P的半径（设⊙P的半径为r）
∴OP=
又OC=OP+PC=+r=(1+)r即扇形OAB的(1+)r,
∴
16、1
【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式可得到关于r的方程，然后解方程即可．
【详解】设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得
解得r=1，即这个圆锥的底面圆的半径为1．
故答案为：1．
本题考查了圆锥的计算，熟练掌握弧长公式，根据扇形的弧长等于圆锥底面的周长建立方程是解题的关键.
17、1
【分析】先判断出DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB=2DE，问题得解．
【详解】∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=2×50=1米．
故答案为1．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键．
18、
【分析】根据一元二次方程的定义ax2+bx+c=0(a≠0),列含m的不等式求解即可.
【详解】解：∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，
∴m-2≠0,
∴m≠2.
故答案为：m≠2.
本题考查了一元二次方程的概念，满足二次项系数不为0是解答此题的关键.
三、解答题(共66分)
19、．
【分析】用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的情况数，进而求出概率．
【详解】用列表法得出所有可能出现的情况如下：
共有12种等可能的情况，其中两人都是男生的有2种，
∴P（两人都是男生）＝＝．
本题考查求概率，熟练掌握列表法或树状图法是解题的关键．
20、（1）见解析；（2）（-6,4），2
【分析】（1）利用位似比为1：2，进而将各对应点坐标扩大为原来的2倍，进而得出答案；
（2）利用（1）中位似比得出对应点坐标．
【详解】（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（2）∵C点坐标为(-3，2)，
∴C1点坐标为（-6，4）；
∵，
，
，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴.
本题主要考查了位似变换和锐角三角函数的知识，正确掌握位似比与坐标的关系是解题关键．
21、（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）连结，由半径相等得到∠OBC=∠OCB，由垂径定理可知是的垂直平分线，得到PB=PC，因此∠PBC=∠PCB，从而可以得到∠PCO=90°，即可得证；
（2）阴影部分的面积即为扇形OAC的面积减去△OAC的面积，通过，，利用扇形面积公式和三角形计算公式计算即可.
【详解】（1）证明：连结，如图
∵
∴
又∵为圆的直径，切圆于点
∴，
又∵
∴
∴是的垂直平分线
∴，，
即
∴是圆的切线
（2）由（1）知、为圆的切线
∴
∵，
∴，
又∵为圆的直径
∴
∴，
∴，
∴
本题考查了切线的判定和扇形面积公式的应用，理解弓形面积为扇形面积与三角形面积之差是解题的关键.
22、（1）抛物线的解析式为；（2）抛物线存在点M，点M的坐标或或或
【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、C点坐标，根据函数值相等的两点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）分两种情形分别求解即可解决问题；
【详解】解：（1）当x＝0时，y＝2，即C（0，2），
当y＝0时，x+2＝0，解得x＝﹣4，即A（﹣4，0）.
由A、B关于对称轴对称，得
B（1，0）.
将A、B、C点坐标代入函数解析式，得
，
解得，
抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；
（2）①当点M在x轴上方时，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，如图
，
设M（m，﹣x2﹣x+2），N（m，0）.
AN＝m+4，MN＝﹣m2﹣m+2，
由勾股定理，得AC＝，BC＝，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
当△ANM∽△ACB时，∠CAB＝∠MAN，此时点M与点C重合，M（0，2）.
当△ANM∽△BCA时，∠MAN＝∠ABC，此时M与C关于抛物线的对称轴对称，M（﹣3，2）.
②当点M在x轴下方时，
当△ANM∽△ACB时，∠CAB＝∠MAN，
此时直线AM的解析式为y＝﹣x﹣2，
由，解得或，
∴M（2，﹣3），
当△ANM′∽△BCA时，∠MAN＝∠ABC，
此时AM′∥BC，
∴直线AM′的解析式为y＝﹣2x﹣8，
由，解得或，
∴M（5，﹣18）
综上所述：抛物线存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，点M的坐标（﹣3，2）或（0，2）或（2，﹣3）或（5，﹣18）．
本题主要考查了二次函数的综合，准确计算是解题的关键．
23、（1）∠6=∠1，∠5=∠2，1°；（2）详见解析
【分析】（1）根据圆的性质可得出与∠1、∠2相等的圆周角，然后计算∠1+∠2+∠3+∠4可得；
（2）先得出∠1+∠4=90°，从而得出∠6+∠4=90°，从而证垂直．
【详解】（1）∵∠1和∠6所对应的圆弧相同，∴∠1=∠6
同理，∠2=∠∠5
∵∠1=∠6，∠2=∠5
∴∠1+∠2+∠3+∠4=∠6+∠5+∠3+∠4=1°；
（2）∵∠1－∠2=∠3－∠4
∴∠1+∠4=∠2+∠3
∵∠1+∠2+∠3+∠4=1°
∴∠1+∠4=∠2+∠3=90°
∵∠1=∠6
∴∠6+∠4=90°
∴AC⊥BD．
本题考查圆周角的特点，同弧或等弧所对应的圆周角相等，解题关键是得出∠1+∠2+∠3+∠4=1．
24、（1）见解析，，；（2）见解析
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质，画出点O，B对应点E，F，从而得到△AEF，然后写出E、F的坐标；
（2）分别连接OE、OF，然后分别去OA、OE、OF的三等份点得到A1、E1、F1，从而得到△A1E1F1．
【详解】解：（1）如图，为所作，，
（2）如图，为所作图形．
本题考查了作图-位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了旋转变换．
25、（1）；（2）
【分析】（1）根据等可能事件的概率公式，即可求解；
（2）根据题意，列出表格，可知：总共有12种等可能的情况，摸出颜色相同的情况有4种，进而即可求解．
【详解】（1）P(摸到红球)==；
（2）列表分析如下（同色用“√”，异色用“×”表示）：
白1
白2
红1
红2
白1
√
×
×
白2
√
×
×
红1
×
×
√
红2
×
×
√
∴（两次摸到同色球）．
本题主要考查等可能事件的概率，掌握列表法和概率公式，是解题的关键．
26、 (1) ，；(1)P(0，5)或(0，1) ．
【分析】（1）根据“点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，△AOB的面积为1”即可求得k的值，从而得到反比例函数的解析式，分别将点A和点D的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得点A和点D的坐标，用待定系数法求出a和b的值，即能求得一次函数的解析式，
（1）△PAC可以分成△PAD和△PCD，分别求出点A和点C到y轴的距离，根据“△PAC的面积为5”，求出PD的长度，结合点D的坐标，求出点P的坐标即可．
【详解】解：（1）根据题意得：
k=-1×1=-4，
即反比例函数的解析式为，解得：
m=4，n=-1，
即点A（-1，4），点C（4，-1），
把点A（-1，4），C（4，-1）代入y=ax+b得：，
解得：，
即一次函数的解析式为：y=-x+3，
（1）把x=0代入y=-x+3得：y=3，
即点D（0，3），
点A到y轴的距离为1，点C到y轴的距离为4，
S△PAD=×PD×1=PD，
S△PCD=×PD×4=1PD，
S△PAC=S△PAD+S△PCD=PD=5，
PD=1，
∵点D（0，3），
∴点P的坐标为（0，1）或（0，5）．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意和图示找出正确的等量关系式解决本题的关键．
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