资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知⊙O的半径为4cm，点P在⊙O上，则OP的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
2．抛物线y=x2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
3．点P（3，5）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣3，5） B．（3，﹣5） C．（5，3） D．（﹣3，﹣5）
4．关于的方程的一个根是，则它的另一个根是（ ）
A． B． C． D．
5．若，则函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ）
A．0.25×10﹣5 B．0.25×10﹣6 C．2.5×10﹣5 D．2.5×10﹣6
7．下列说法：
四边相等的四边形一定是菱形
顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形
对角线相等的四边形一定是矩形
经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分
其中正确的有 个．
A．4 B．3 C．2 D．1
8．如图，正五边形ABCD内接于⊙O，连接对角线AC，AD，则下列结论：①BC∥AD；②∠BAE=3∠CAD；③△BAC≌△EAD；④AC=2CD．其中判断正确的是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
9．已知则（ ）
A． B． C． D．
10．下列事件中，不可能事件的是（ ）
A．投掷一枚均匀的硬币10次，正面朝上的次数为5次
B．任意一个五边形的外角和等于
C．从装满白球的袋子里摸出红球
D．大年初一会下雨
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在中，点分别是边上的点，， 则的长为________.
12．双曲线、在第一象限的图像如图，，过上的任意一点，作轴的平行线交于，交轴于，若，则的解析式是_____________．
13．若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“+”“－”依次相间）的值为______.
14．已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则另一个根为_____．
15．如图，正方形的边长为8，点在上，交于点.若，则长为__．
16．如图，已知矩形ABCD的两条边AB＝1，AD＝，以B为旋转中心，将对角线BD顺时针旋转60°得到线段BE，再以C为圆心将线段CD顺时针旋转90°得到线段CF，连接EF，则图中阴影部分面积为_____．
17．若整数使关于的二次函数的图象在轴的下方，且使关于的分式方程有负整数解，则所有满足条件的整数的和为__________．
18．计算________________.
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在边长为1的小正方形组成的正方形网格中，的顶点坐标分别为、、．
以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出放大2倍后的．
设的面积为S，则______．
20．（6分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1和2；乙袋中有3个完全相同的小球，分别标有数字1，2和3，小明从甲袋中随机取出1个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机取出1个小球，记录标有的数字为y，这样确定了点M的坐标(x，y)．
（1）写出点M所有可能的坐标；
（2）求点M在直线上的概率．
21．（6分）如图，已知中，，为上一点，以为直径作与相切于点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
22．（8分）如图，在四边形中，∥,=2,为的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留作图痕迹)
（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；
（2）在图2中，若BA=BD, 画出△ABD的AD边上的高 .
23．（8分）如图，在中，，，，将线段绕点按逆时针方向旋转到线段.由沿方向平移得到，且直线过点.
（1）求的大小；
（2）求的长.
24．（8分）如图，河的两岸MN与PQ相互平行，点A，B是PQ上的两点，C是MN上的点，某人在点A处测得∠CAQ=30°，再沿AQ方向前进20米到达点B，某人在点A处测得∠CAQ=30°，再沿AQ方向前进20米到达点B，测得∠CBQ=60°，求这条河的宽是多少米？（结果精确到0.1米，参考数据≈1.414，≈1.732）
25．（10分）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象分别交于C，D两点，点C（2，4），点B是线段AC的中点．
（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出当x取什么值时，k1x+b＜．
26．（10分）实验探究：
如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，交于、点．
（问题发现）
（1）把绕点旋转到图，、的关系是_________（“相等”或“不相等”），请直接写出答案；
（类比探究）
（2）若，，把绕点旋转，当时，在图中作出旋转后的图形，并求出此时的长；
（拓展延伸）
（3）在（2）的条件下，请直接写出旋转过程中线段的最小值为_________．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】根据点在圆上，点到圆心的距离等于圆的半径求解．
【详解】∵⊙O的半径为4cm，点P在⊙O上，
∴OP=4cm．
故选：B．
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．
2、A
【分析】抛物线平移不改变a的值．
【详解】原抛物线的顶点为（0，0），向左平移2个单位，再向下平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣2，﹣1），
可设新抛物线的解析式为：y=（x﹣h）2+k，代入得：y=（x+2）2﹣1=x2+4x+1．
故选A．
3、D
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，横纵坐标的坐标符号均相反，根据这一特征求出对称点坐标．
【详解】解：点P（3，5）关于原点对称的点的坐标是（-3，-5），
故选D．
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的变化规律．
4、C
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】由根与系数的关系可知：x1x2＝−3，
∴x2＝−1，
故选：C．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
5、B
【分析】根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从和两方面分类讨论得出答案．
【详解】∵，∴分两种情况：
（1）当时，正比例函数数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；
（2）当时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合．
故选：B．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，解题的关键是掌握它们的性质．
6、D
【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．
【详解】解： 0.0000025第一个有效数字前有6个0（含小数点前的1个0），从而．
故选D．
7、C
【详解】∵四边相等的四边形一定是菱形，∴①正确；
∵顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，∴②错误；
∵对角线相等的平行四边形才是矩形，∴③错误；
∵经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，∴④正确；
其中正确的有2个，故选C．
考点：中点四边形；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定与性质；正方形的判定．
8、B
【分析】根据圆的正多边形性质及圆周角与弦的关系解题即可．
【详解】解：①
∴BC∥AD，故本选项正确；
②∵BC=CD=DE，
∴∠BAC=∠CAD=∠DAE，
∴∠BAE=3∠CAD，故本选项正确；
③在△BAC和△EAD中，
BA=AE，BC=DE，∠B=∠E，
∴△BAC≌△EAD(SAS)，故本选项正确；
④∵AB+BC>AC，∴2CD>AC，故本选项错误．
故答案为①②③．
此题考查圆的正多边形性质及圆周角与弦的关系，理解定义是关键．
9、A
【解析】根据特殊角的三角函数值求解即可.
【详解】∵，
∴，
故选：A.
本题考查了特殊角的三角函数值，比较简单，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.
10、C
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A、投掷一枚硬币10次，有5次正面朝上是随机事件；
B、任意一个五边形的外角和是360°是确定事件；
C、从装满白球的袋子里摸出红球是不可能事件；
D、大年初一会下雨是随机事件，
故选：C．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【详解】∵，，
∴，，
则，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：1．
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12、
【分析】根据y1=，过y1上的任意一点A，得出△CAO的面积为2，进而得出△CBO面积为3，即可得出y2的解析式．
【详解】解：∵y1=，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，
∴S△AOC=×4=2，
∵S△AOB=1，
∴△CBO面积为3，
∴k=xy=6，
∴y2的解析式是：y2=．
故答案为y2=．
13、-22
【分析】先确定的整数部分的规律，根据题意确定算式的运算规律，再进行实数运算.
【详解】解：观察数据12=1，22=4，32=9，42=16，52=25,62=36的特征，得出数据1,2,3,4……2020中，算术平方根是1的有3个，算术平方根是2的有5个，算数平方根是3的有7个，算数平方根是4的有9个，…其中432=1849，442=1936,452=2025，所以在、中，算术平方根依次为1,2,3……43的个数分别为3,5,7,9……个，均为奇数个，最大算数平方根为44的有85个，所以=1-2+3-4+…+43-44= -22
本题考查自定义运算，通过正整数的算术平方根的整数部分出现的规律，找到算式中相同加数的个数及符号的规律，方能进行运算.
14、-1
【解析】试题分析：对于一元二次方程的两个根和，根据韦达定理可得：+=，即，解得：，即方程的另一个根为-1．
15、6
【分析】根据正方形的性质可得OC∥AB，OB=，从而证出△COQ∽△PBQ，然后根据相似三角形的性质即可求出，从而求出的长．
【详解】解：∵正方形的边长为8，
∴OC∥AB，OB=
∴△COQ∽△PBQ
∴
∴
∴
故答案为：6．
此题考查的是正方形的性质、相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质、利用平行证相似和相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决此题的关键．
16、
【分析】矩形ABCD的两条边AB＝1，AD＝，得到∠DBC＝30°，由旋转的性质得到BD＝BE，∠BDE＝60°，求得∠CBE＝∠DBC＝30°，连接CE，根据全等三角形的性质得到∠BCE＝∠BCD＝90°，推出D，C，E三点共线，得到CE＝CD＝1，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】∵矩形ABCD的两条边AB＝1，AD＝，
∴，
∴∠DBC＝30°，
∵将对角线BD顺时针旋转60°得到线段BE，
∴BD＝BE，∠BDE＝60°，
∴∠CBE＝∠DBC＝30°，
连接CE，
∴△DBC≌△EBC（SAS），
∴∠BCE＝∠BCD＝90°，
∴D，C，E三点共线，
∴CE＝CD＝1，
∴图中阴影部分面积＝S△BEF+S△BCD+S扇形DCF﹣S扇形DBE
＝+﹣
＝，
故答案为：．
本题考查了旋转的性质，解直角三角形，矩形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出各个部分的面积是解此题的关键．
17、
【分析】根据二次函数的图象在轴的下方得出，，解分式方程得，注意，根据分式方程有负整数解求出a，最后结合a的取值范围进行求解．
【详解】∵二次函数的图象在轴的下方，
∴，，
解得，，
，
解得，，
∵分式方程有负整数解，
∴，即,
∵，
∴,
∴所有满足条件的整数的和为，
故答案为：．
本题考查二次函数的图象，解分式方程，分式方程的整数解，二次函数的图象在x轴下方，则开口向下且函数的最大值小于1，解分式方程时注意分母不为1．
18、
【分析】根据负整数指数幂的计算法则及立方根的定义进行计算即可．
【详解】解：原式=1－8=－1．
故答案为：－1．
本题考查实数的运算，属于常考基础题，明确负整数指数幂的计算法则及立方根的定义是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）如图所示见解析；（2）
【分析】（1）根据位似图形概念,找到对应点即可解题,
（2）三角形的面积=矩形的面积-四周三个直角三角形的面积.
【详解】（1）如图所示：
（2）
本题考查了位似图形的画法,三角形面积的求法,中等难度,画出相似图形是解题关键.
20、点M坐标总共有九种可能情况：（0,1），（0,2），（0,3），（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（2,3）．（2）.
【解析】试题分析：（1）通过列表展示所有9种等可能的结果数；
（2）找出满足点落在函数的图象上的结果数，然后根据概率公式求解．
试题解析：(1)列表如下：
y
x
1
2
3
0
(0,1)
(0,2)
(0,3)
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
从表格中可知，点M坐标总共有九种可能情况：（0,1），（0,2），（0,3），（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（2,3）．共有9种等可能的结果数；
（2）当x=0时，y=-0+3=3，
当x=1时，y=-1+3=2，
当x=2时，y=-2+3=1，
由（1）可得点M坐标总共有九种可能情况，点M落在直线上（记为事
件A）有3种情况．
21、（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥BC，根据平行线的判定定理得到OD∥AC，求得∠ODE=∠F，根据等腰三角形的性质得到∠OED=∠ODE，等量代换得到∠OED=∠F，于是得到结论；
（2）根据平行得出，再由可得到关于BE的方程，从而得出结论．
【详解】（1）证明：连接，
∵切于点，
∴．
∴．
又，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
本题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
22、 (1)作图见解析；（2）作图见解析.
【分析】（1）根据AB=2CD，AB=BE，可知BE＝CD，再根据BE//CD，可知连接CE，CE与BD的交点F即为BD的中点，连接AF，则AF即为△ABD的BD边上的中线；
（2）由（1）可知连接CE与BD交于点F，则F为BD的中点，根据三角形中位线定理可得EF//AD，EF=AD，则可得四边形ADFE要等腰梯形，连接AF，DE交于点O，根据等腰梯形的性质可推导得出OA=OD，再结合BA=BD可知直线BO是线段AD的垂直平分线，据此即可作出可得△ABD的AD边上的高 .
【详解】（1）如图AF是△ABD的BD边上的中线；
（2）如图AH是△ABD的AD边上的高.
本题考查了利用无刻度的直尺按要求作图，结合题意认真分析图形的成因是解题的关键.
23、（1）；（2）
【分析】（1）根据旋转的性质可求得，AD=AB=10，∠ABD=45°，再由平移的性质即可得出结论；
（2）根据平移的性质及同角的余角相等证得∠DAE=∠CAB，进而证得△ADE∽△ACB，利用相似的性质求出AE即可．
【详解】解：（1）∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，
∴∠DAB=90°，AD=AB，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∵△EFG是由△ABC沿CB方向平移得到，
∴AB∥EF，
∴∠1=∠ABD=45°；
（2）由平移的性质得，AE∥CG，
∴∠EAC=180°－∠C=90°，
∴∠EAB+∠BAC=90°，
由（1）知∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠EAB=90°，
∴∠DAE=∠CAB，
又∵∠ADE=∠ADB+∠1=90°，∠ACB=90°，
∴∠ADE=∠ACB，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵AC=8，AB=AD=10，
∴AE=12.5.
本题为平移的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质的综合考查，熟练掌握基础的性质与判定是解题的关键.
24、17.3米.
【解析】分析：过点C作于D，根据，得到 ，在中，解三角形即可得到河的宽度.
详解：过点C作于D，
∵
∴
∴米，
在中，
∵
∴
∴
∴米，
∴米．
答：这条河的宽是米．
点睛：考查解直角三角形的应用，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键.
25、（1）y1＝x+2；y2＝；（2）S△COD＝6；（3）当0＜x＜2或x＜﹣4时，k1x+b＜．
【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作轴于E，根据题意求得B的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）联立方程求得D的坐标，然后根据即可求得△COD的面积；
（3）根据图象即可求得时，自变量x的取值范围．
【详解】
（1）∵点C（2，4）在反比例函数y＝的图象上，
∴，
∴；
如图，作CE⊥x轴于E，
∵C（2，4），点B是线段AC的中点，
∴B（0，2），
∵B、C在的图象上，
∴ ，
解得，
∴一次函数为；
（2）由 ，
解得或，
∴D（﹣4，﹣2），
∴；
（3）由图可得，当0＜x＜2或x＜﹣4时，．
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，方程组的解以及三角形的面积等，求得B点的坐标是解题的关键．
26、（1）相等；（2）或；（3）1．
【分析】（1）依据△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，即可BA=CA，∠BAD=∠CAE，DA=EA，进而得到△ABD≌△ACE，可得出BD=CE；
（2）分两种情况：依据∠PDA=∠AEC，∠PCD=∠ACE，可得△PCD∽△ACE，即可得到，进而得到PD=；依据∠ABD=∠PBE，∠BAD=∠BPE=90°，可得△BAD∽△BPE，即可得到，进而得出PB=，PD=BD+PB=；
（3）以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PD的值最小．
【详解】（1）∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，
∴BA=CA，DA=EA，∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
故答案为：相等．
（2）作出旋转后的图形，若点C在AD上，如图2所示：
∵∠EAC=90°，
∴CE=，
∵∠PDA=∠AEC，∠PCD=∠ACE，
∴△PCD∽△ACE，
∴，即
∴PD=
若点B在AE上，如图2所示：
∵∠BAD=90°，
∴Rt△ABD中，，BE=AE−AB=2，
∵∠ABD=∠PBE，∠BAD=∠BPE=90°，
∴△BAD∽△BPE，
∴，即，
解得PB=，
∴PD=BD+PB=，
综上可得，PD的长为或．
（2）如图3所示，以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PD的值最小
在Rt△PED中，PD=DE⋅sin∠PED，因此锐角∠PED的大小直接决定了PD的大小．
当小三角形旋转到图中△ACB的位置时，
在Rt△ACE中，CE=，
在Rt△DAE中，DE=，
∵四边形ACPB是正方形，
∴PC=AB=3，
∴PE=3+4=7，
在Rt△PDE中，PD=，
即旋转过程中线段PD的最小值为1．
本题考查了旋转与圆的综合问题，熟练掌握旋转的性质，全等三角形的判定与性质，圆的切线是解题的关键.
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