资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列哪些条件，①∠AED=∠B，②，③，使△ADE与△ACB一定相似（ ）
A．①② B．② C．①③ D．①②③
2．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（ ）
A．8 B．12 C．14 D．16
3．一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于6的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，抛物线y=ax2-x+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且图像经过点 （3，0），则a+c的值为（ ）
A．0 B．－1 C．1 D．2
5．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x2－5x+3 B．2x2－y+1=0 C．x2=0 D．+ x=2
6．关于x的方程x2﹣mx+6＝0有一根是﹣3，那么这个方程的另一个根是（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．2
7．已知关于的一元二次方程有一个根是-2，那么的值是( )
A．-2 B．-1 C．2 D．10
8．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，延长BC到D，使CD＝AC，则tan22.5°＝( )
A． B． C． D．
9．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．ax2＋bx＋c＝0
C．（x－1）（x＋ 2）＝1 D．3x2－2xy－5y2＝0
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．在 中， ， ，点D在边AB上，且 ，点E在边AC上，当 ________时，以A、D、E为顶点的三角形与 相似．
12．如图，平行四边形的顶点在轴正半轴上，平行于轴，直线交轴于点，，连接，反比例函数的图象经过点．已知，则的值是________．
13．已知四个点的坐标分别为A(-4，2)，B(-3，1)，C(-1，1)，D(-2，2)，若抛物线y=ax2与四边形ABCD的边没有交点，则a的取值范围为____________.
14．数据2，3，5，5，4的众数是____．
15．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝．其中正确结论的个数是______个．
16．下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果.
种子个数
100
400
900
1500
2500
4000
发芽种子个数
92
352
818
1336
2251
3601
发芽种子频率
0. 92
0. 88
0. 91
0. 89
0. 90
0. 90
根据上表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为________.
17．如图，□中，，，的周长为25，则的周长为__________．
18．已知点 A（a，1）与点 B（﹣3，b）关于原点对称，则 ab 的值为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）富平因取“富庶太平”之意而得名，是华夏文明重要发祥地之一.某班举行关于“美丽的富平”的演讲活动.小明和小丽都想第一个演讲，于是他们通过做游戏来决定谁第一个来演.讲游戏规则是：在一个不透明的袋子中有一个黑球a和两个白球b、c，(除颜色外其它均相同)，小丽从袋子中摸出一个球，放回后搅匀，小明再从袋子中摸出一个球，若两次摸到的球颜色相同，则小丽获胜，否则小明获胜，请你用树状图或列表的方法分别求出小丽与小明获胜的概率，并说明这个游戏规则对双方公平吗？
20．（6分）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2＋2ab＋a.如：1☆3＝1×32＋2×1×3＋1＝16.
(1)求(－2)☆3的值；
(2)若＝8，求a的值．
21．（6分）如图，在四边形中，，，点分别在上，且．
(1)求证：∽；
(2)若，，，求的长．
22．（8分）（1）计算：﹣|﹣3|+ cos60°； （2）化简：
23．（8分）某校要求八年级同学在课外活动中，必须在五项球类(篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球)活动中任选一项(只能选一项)参加训练，为了了解八年级学生参加球类活动的整体情况，现以八年级(2)班作为样本，对该班学生参加球类活动的情况进行统计，并绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图：
八年级(2)班参加球类活动人数情况统计表
项目
篮球
足球
乒乓球
排球
羽毛球
人数
a
6
5
7
6
八年级(2)班学生参加球类活动人数情况扇形统计图
根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)a＝ ，b＝ ．
(2)该校八年级学生共有600人，则该年级参加足球活动的人数约 人；
(3)该班参加乒乓球活动的5位同学中，有3位男同学(A，B，C)和2位女同学(D，E)，现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率．
24．（8分）已知：如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED=∠B．
（1）求证：△ABE∽△DEA；
（2）若AB=4，求AE•DE的值．
25．（10分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△AOB的三个顶点均在格点上，点A、B的坐标分别为（3，2）、（1，3）．△AOB绕点O逆时针旋转90º后得到△A1OB1．
（1）在网格中画出△A1OB1，并标上字母；
（2）点A关于O点中心对称的点的坐标为 ；
（3）点A1的坐标为 ；
（4）在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，那么弧BB1的长为 ．
26．（10分）已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），tan∠BAC＝．
（1）写出点B的坐标；
（2）在x轴上找一点D，连接BD，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿AB向点B运动，同时点Q从点D出发，以1cm/秒的速度沿DA向点A运动．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t．问是否存在这样的t使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】根据相似三角形的判定方法即可一一判断；
【详解】解：∵∠A=∠A，∠AED=∠B，
∴△AED∽△ABC，故①正确，
∵∠A=∠A， ，
∴△AED∽△ABC，故③正确，
由②无法判定△ADE与△ACB相似，
故选C．
本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
2、D
【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
【详解】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵=，
∴，
∵△ADE的面积为4，
∴△ABC的面积为：16，
故选D．
考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出△ADE∽△ABC是解题关键．
3、A
【解析】画树状图得出所有的情况，根据概率的求法计算概率即可.
【详解】画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于6的有2种情况，
∴两次摸出的小球标号之和等于6的概率
故选A．
考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.
4、B
【解析】∵抛物线的对称轴是直线，且图像经过点（3，0），
∴ ，解得： ，
∴.
故选B.
5、C
【解析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是1；（1）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】A、不是方程，故本选项错误；
B、方程含有两个未知数，故本选项错误；
C、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
D、不是整式方程，故本选项错误．
故选：C．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是1．
6、C
【分析】根据两根之积可得答案．
【详解】设方程的另一个根为a，
∵关于x的方程x2﹣mx+6=0有一根是﹣3，
∴﹣3a=6，
解得a=﹣2，
故选：C．
本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则．
7、C
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝−1代入关于x的一元二次方程，列出关于a的一元一次方程，通过解方程即可求得a的值．
【详解】根据题意知，x＝−1是关于x的一元二次方程的根，
∴（−1）1＋3×（−1）＋a＝0，即−1＋a＝0，
解得，a＝1．
故选：C．
本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的解使方程的左右两边相等．
8、B
【解析】设AB=x，求出BC=x，CD=AC=x，求出BD为（x+x），通过∠ACB＝45°，CD＝AC，可以知道∠D即为22.5°，再解直角三角形求出tanD即可．
【详解】解：设AB=x，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=45°，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∴AB=BC=x，
由勾股定理得：AC==x，
∴AC=CD=x
∴BD=BC+CD=x+x，
∴tan22.5°=tanD==
故选B．
本题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的性质和判定等知识点，设出AB=x能求出BD= x+x是解此题的关键．
9、C
【分析】一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2次的整式方程．根据定义即可求解．
【详解】解：A选项含有分式，故不是；
B选项中没有说明a≠0，则不是；
C选项是一元二次方程；
D选项中含有两个未知数，故不是；
故选：C．
本题主要考查的是一元二次方程的定义，属于基础题型．解决这个问题的关键就是要明确一元二次方程的定义．
10、C
【解析】∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴△ABC∽△ACD，
△ACD∽CBD，
△ABC∽CBD，
所以有三对相似三角形．
故选C．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【解析】当时，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
此时AE=；
当时，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
此时AE=；
故答案是：.
12、1
【分析】设D点坐标为（m，n），则AB＝CD＝m，由平行四边形的性质可得出∠BAC＝∠CEO，结合∠BCA＝∠COE＝90°，即可证出△ABC∽△ECO，根据相似三角形的性质可得出BC•EC＝AB•CO＝mn，再根据S△BCE＝3，即可求出k＝1，此题得解．
【详解】解：设D点坐标为（m，n），则AB＝CD＝m，
∵CD平行于x轴，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠CEO．
∵BC⊥AC，∠COE＝90°，
∴∠BCA＝∠COE＝90°，
∴△ABC∽△ECO，
∴AB:CE＝BC:CO，
∴∴BC•EC＝AB•CO＝mn．
∵反比例函数y＝kx（x＞0）的图象经过点D，
∴k＝mn＝BC•EC＝2S△BCE＝1．
故答案为：1．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，由△ABC∽△ECO得出k＝mn＝BC•EC是解题的关键．
13、 或 或
【分析】根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可；
【详解】（1）当时，恒成立
（2）当时，
代入C(-1，1)，得到，
代入B(-3，1)，得到，
代入A(-4，2)，得到，
没有交点，或
故答案为： 或 或 .
本题考查二次函数的应用，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
14、1
【分析】由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．
【详解】解：∵1是这组数据中出现次数最多的数据，
∴这组数据的众数为1．
故答案为：1．
本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力，解题关键是要明确定义，读懂题意．
15、1
【分析】由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数得到b2−4ac＞0，加上a＜0，则可对②进行判断；利用OA＝OC可得到A（−c，0），再把A（−c，0）代入y＝ax2＋bx＋c得ac2−bc＋c＝0，两边除以c则可对③进行判断；设A（x1，0），B（x2，0），则OA＝−x1，OB＝x2，根据抛物线与x轴的交点问题得到x1和x2是方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根，利用根与系数的关系得到x1•x2＝，于是OA•OB＝，则可对④进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2−4ac＞0，
而a＜0，
∴＜0，所以②错误；
∵C（0，c），OA＝OC，
∴A（−c，0），
把A（−c，0）代入y＝ax2＋bx＋c得ac2−bc＋c＝0，
∴ac−b＋1＝0，所以③正确；
设A（x1，0），B（x2，0），
∵二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，
∴x1和x2是方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根，
∴x1•x2＝，
∴OA•OB＝，所以④正确．
故答案为：1．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2−4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2−4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2−4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
16、0.1
【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.1左右，从而得到结论．
【详解】由表格可得，当实验次数越来越多时，发芽种子频率稳定在0. 1，符合用频率佔计概率，
∴种子发芽概率为0. 1．
故答案为：0.1．
本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
17、2
【分析】根据平行四边形的性质可得出△ABD≌CDB，求得△ABD的周长，利用三角形相似的性质即可求得△DEF的周长．
【详解】解：∵EF∥AB，DE:AE=2:3，
∴△DEF∽△DAB，
，
∴△DEF与△ABD的周长之比为2:1．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，BD=DB，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
又△BDC的周长为21，∴△ABD的周长为21，
∴△DEF的周长为2，
故答案为：2．
本题考查了相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的周长比与相似比的关系是解题的关键．
18、-2
【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，可得a、b的值，根据有理数的乘法，可得答案．
【详解】解：由点A（a，1）与点B（-2，b）关于原点对称，得
a=2，b=-1．
ab=（2）×（-1）=-2，
故答案为-2．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点对称的点的坐标规律是：横、纵坐标都是互为相反数．
三、解答题(共66分)
19、小丽为，小军为，这个游戏不公平，见解析
【分析】画出树状图，得出总情况数及两次模到的球颜色相同和不同的情况数，即可得小丽与小明获胜的概率，根据概率即可得游戏是否公平.
【详解】根据题意两图如下：
共有种等情况数，其中两次模到的球颜色相同的情况数有种，不同的有种，
小丽获胜的概率是
小军获胜的概率是，所以这个游戏不公平.
本题考查游戏公平性的判断，判断游戏的公平性要计算每个参与者获胜的概率，概率相等则游戏公平，否则游戏不公平，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
20、 (1)－32；(2) a＝1.
【解析】分析：（1）原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，即可求出a的值．
详解：（1）（-2）☆3=-2×32+2×（-2）×3+（-2）=-32；
（2）==8a+8=8，
解得：a=1．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21、 (1)证明见解析；(2)16.
【解析】（1）根据相似三角形的判定即可求出答案．
（2）根据△EFB∽△CDA，利用相似三角形的性质即可求出EB的长度．
【详解】(1)∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴∽；
(2)∵∽，
∴，
∵，，，
∴．
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定.
22、（1）；（2）
【分析】（1）分别计算平方根、绝对值、特殊角的三角函数值，然后根据实数的运算法则计算即可.
（2）利用完全平方公式及单项式乘多式展开后，合并同类项即可.
【详解】（1）﹣|﹣3|+ cos60°
（2）
本题考查了实数的运算，整式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键.
23、 (1)a＝16，b＝17.5(2)90(3)
【解析】试题分析：（1）首先求得总人数，然后根据百分比的定义求解；
（2）利用总数乘以对应的百分比即可求解；
（3）利用列举法，根据概率公式即可求解．
试题解析：（1）a=5÷12.5%×40%=16，5÷12.5%=7÷b%，∴b=17.5，故答案为16，17.5；
（2）600×[6÷（5÷12.5%）]=90（人），故答案为90；
（3）如图，∵共有20种等可能的结果，两名主持人恰为一男一女的有12种情况，∴则P（恰好选到一男一女）==．
考点：列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图．
24、（1）见解析；（2）2
【解析】试题分析：（1）根据菱形的对边平行，可得出∠1=∠2，结合∠AED=∠B即可证明两三角形都得相似．（2）根据（1）的结论可得出 ，进而代入可得出AE•DE的值．
试题解析：（1）如图， ∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC．∴∠1=∠2.
又∵∠B=∠AED，∴△ABE∽△DEA．
（2）∵△ABE∽△DEA，∴.∴AE•DE=AB•DA．
∵四边形ABCD是菱形，AB=1，∴AB=DA=1．
∴AE•DE=AB2=2．
考点：1.菱形的性质；2.相似三角形的判定和性质．
25、（1）见解析；（2）（-3，-2）；（3）（-2，3）；（4）
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据关于O点中心对称的点的坐标的特点直接写出答案即可；
（3）根据平面直角坐标系写出点A1的坐标即可；
（4）利用勾股定理列式求出OB，再根据弧长公式列式计算即可得解．
【详解】（1）△A1OB1如图所示；
（2）点A关于O点中心对称的点的坐标为（-3，-2）；
（3）点A1的坐标为（﹣2，3）；
（4）由勾股定理得，OB=，弧BB1的长为：．
考点：1．作图-旋转变换；2．弧长的计算．
26、（1）点B的坐标为（1，3）；（2）点D的坐标为（，0）；（3）存在，当t＝s或s时，△APQ与△ADB相似．
【分析】（1）根据正切的定义求出BC，得到点B的坐标；
（2）根据△ABC∽△ADB，得到=，代入计算求出AD，得到点D的坐标；
（3）分△APQ∽△ABD、△AQP∽△ABD两种情况，根据相似三角形的性质列式计算即可．
【详解】解：（1）∵A（﹣3，0），C（1，0），
∴AC＝4，
∵∠ACB＝90°，tan∠BAC＝，
∴＝，即＝，
解得，BC＝3，
∴点B的坐标为（1，3）；
（2）如图1，作BD⊥BA交x轴于点D，
则∠ACB＝∠ABD＝90°，又∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADB，
∴＝，
在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，
∴＝，
解得，AD＝，
则OD＝AD﹣AO＝，
∴点D的坐标为（，0）；
（3）存在，
由题意得，AP＝2t，AQ＝﹣t，
当PQ⊥AB时，PQ∥BD，
∴△APQ∽△ABD，
∴＝，即＝，
解得，t＝，
当PQ⊥AD时，∠AQP＝∠ABD，∠A＝∠A，
∴△AQP∽△ABD，
∴＝，即＝，
解得，t＝，
综上所述，当t＝s或s时，△APQ与△ADB相似．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
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