资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．反比例函数y＝﹣的图象在（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
2．在一个不透明的布袋中装有红色.白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到白色球的频率稳定在85％左右，则口袋中红色球可能有（ ）.
A．34个 B．30个 C．10个 D．6个
3．抛物线的顶点为，与轴交于点，则该抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知的直径是8，直线与有两个交点，则圆心到直线的距离满足（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正方形的边长是4，是的中点，连接、相交于点，则的长是（ ）
A． B． C． D．5
6．由不能推出的比例式是（ ）
A． B．
C． D．
7．二次函数中与的部分对应值如下表所示，则下列结论错误的是（ ）
-1
0
1
3
-1
3
5
3
A． B．当时，的值随值的增大而减小
C．当时， D．3是方程的一个根
8．中，，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．5
9．如图，将一个大平行四边形在一角剪去一个小平行四边形，如果用直尺画一条直线将其剩余部分分割成面积相等的两部分，这样的不同的直线一共可以画出（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
10．下列事件是随机事件的是（ ）
A．画一个三角形，其内角和是 B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于 D．在只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知y是x的二次函数， y与x的部分对应值如下表：
x
...
－1
0
1
2
...
y
...
0
3
4
3
...
该二次函数图象向左平移______个单位，图象经过原点．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线l∥x轴，且直线l分别与反比例函数y=（x＞0）和y=﹣（x＜0）的图象交于点P、Q，连结PO、QO，则△POQ的面积为 ．
13．如图，这是二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，根据图象可知，函数值小于0时x的取值范围为_____．
14．顶点在原点的二次函数图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得的抛物线经过点（0，﹣3），则平移后抛物线相应的函数表达式为_____．
15．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为________.
16．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，将矩形沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE交AD于点F，则BF的长为________.
17．代数式中的取值范围是__________．
18．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，对角线AC、BD交于点O，AO＝CO，CD⊥BD，如果CD＝3，BC＝5，那么AB＝_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：
30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5
c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：
d．中国的国家创新指数得分为69.5.
（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）中国的国家创新指数得分排名世界第______；
（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线的上方．请在图中用“”圈出代表中国的点；
（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为______万美元；（结果保留一位小数）
（4）下列推断合理的是______．
①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；
②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．
20．（6分）在校园文化艺术节中，九年级一班有1名男生和2名女生获得美术奖，另有1名男生和1名女生获得音乐奖．
（1）从获得美术奖和音乐奖的5名学生中选取1名参加颁奖大会，刚好是男生的概率是 ；
（2）分别从获得美术奖、音乐奖的学生中各选取1名参加颁奖大会，用列表或树状图求刚好是一男生一女生的概率．
21．（6分）已知关于的一元二次方程．
（1）请判断是否可为此方程的根，说明理由．
（2）是否存在实数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
22．（8分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）（2x﹣1）2＝4（2x﹣1）．
23．（8分）如图，在与中，，且.
求证：.
24．（8分）某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程．为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类），先将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图中“书画”、“戏曲”的空缺部分；
（3）若该校共有名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数；
（4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用树形图或列表法求处恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字幕表示）
25．（10分）如图，是半径为的上的定点，动点从出发，以的速度沿圆周逆时针运动，当点回到地立即停止运动．
（1）如果，求点运动的时间；
（2）如果点是延长线上的一点，，那么当点运动的时间为时，判断直线与的位置关系，并说明理由．
26．（10分）小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了60次实验，实验的结果如下：
朝上的点数
1
2
3
4
5
6
出现的次数
7
9
6
8
20
10
（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率．
（2）小颖说：“根据实验，一次实验中出现5点朝上的概率最大”；小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次”，小颖和小红的说法正确吗？为什么？
（3）小颖和小红各投掷一枚骰子，用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】根据反比例函数中k0,图像必过二、四象限即可解题.
【详解】解：∵-10,
根据反比例函数性质可知,
反比例函数y=﹣ 的图象在第二、四象限,
故选C.
本题考查了反比例函数的图像和性质,属于简单题,熟悉反比例函数的性质是解题关键.
2、D
【解析】由频数=数据总数×频率计算即可．
【详解】解：∵摸到白色球的频率稳定在85%左右，
∴口袋中白色球的频率为85%，
故白球的个数为40×85%=34个，
∴口袋中红色球的个数为40-34=6个
故选D．
本题考查了利用频率估计概率，难度适中．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
3、A
【分析】设出抛物线顶点式，然后将点代入求解即可.
【详解】解：设抛物线解析式为，
将点代入得：，
解得：a=1，
故该抛物线的解析式为：，
故选：A.
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
4、B
【分析】先求出圆的半径,再根据直线与圆的位置关系与d和r的大小关系即可得出结论．
【详解】解:∵的直径是8
∴的半径是4
∵直线与有两个交点
∴0≤d＜4（注：当直线过圆心O时，d=0）
故选B．
此题考查的是根据圆与直线的位置关系求圆心到直线的距离的取值范围，掌握直线与圆的位置关系与d和r的大小关系是解决此题的关键．
5、C
【分析】先根据勾股定理解得BD的长，再由正方形性质得AD∥BC，所以△AOD∽△EOB，最后根据相似三角形性质即可解答,
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，边长是4，
∴BD=， ，
∵是的中点，AD∥BC，
所以BC=AD=2BE，
∴△AOD∽△EOB，
∴,
∴OD=BD=×4=.
故选：C.
本题考查正方形性质、相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质.
6、C
【解析】根据比例的性质依次判断即可.
【详解】设x=2a，y=3a，
A. 正确，不符合题意；
B. ，故该项正确，不符合题意；
C. ，故该项不正确，符合题意；
D. 正确，不符合题意；
此题考查比例的基本性质，熟记性质并运用解题是解此题的关键.
7、C
【分析】根据表格中的数值计算出函数表达式，从而可判断A选项，利用对称轴公式可计算出对称轴，从而判断其增减性，再根据函数图象及表格中y=3时对应的x，可判断C选项，把对应参数值代入即可判断D选项.
【详解】把(－1，－1)，(0，3)，(1，5)代入得，解得，
∴，
A.，故本选项正确；
B.该函数对称轴为直线，且，函数图象开口向下，所以当时，y随x的增大而减小，故本选项正确；
C.由表格可知，当x=0或x=3时，y=3，且函数图象开口向下，所以当y<3时，x<0或x>3，故本选项错误；
D.方程为，把x=3代入得－9+6+3=0，所以本选项正确.
故选：C.
本题考查了二次函数表达式求法，二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质等知识， “待定系数法”是求函数表达式的常用方法，需熟练掌握.
8、B
【分析】根据题意，可得= ，又由AB=4，代入即可得AC的值.
【详解】解：∵中，，，
∴=.
∴AC=AB== .
故选B.
本题考查解直角三角形、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和勾股定理解答．
9、C
【分析】利用平行四边形的性质分割平行四边形即可．
【详解】解：如图所示，这样的不同的直线一共可以画出三条，
故答案为：1．
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的中心对称性．
10、B
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】A、画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，故本选项错误；
B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项正确；
C、投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于7是必然事件，故本选项错误；
D、在只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球是不可能事件，故本选项错误．
故选：C．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、2
【分析】利用表格中的对称性得：抛物线与x轴另一个交点为（2，0），可得结论．
【详解】解：由表格得：二次函数的对称轴是直线x==1．
∵抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），
∴抛物线与x轴另一个交点为（2，0），
∴该二次函数图象向左平移2个单位，图象经过原点；或该二次函数图象向右平移1个单位，图象经过原点．
故填为2．
本题考查了二次函数图象与几何变换-平移，根据平移的原则：左加右减进行平移；也可以利用数形结合的思想画图解决．
12、1
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义得到S△OQM=4，S△OPM=3，然后利用S△POQ=S△OQM+S△OPM进行计算．
【详解】解：如图，
∵直线l∥x轴，
∴S△OQM=×|﹣8|=4，S△OPM=×|6|=3，
∴S△POQ=S△OQM+S△OPM=1．
故答案为1．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
13、﹣1＜x＜1．
【分析】根据图象直接可以得出答案
【详解】
如图，从二次函数y＝x2﹣2x﹣1的图象中可以看出
函数值小于0时x的取值范围为：﹣1＜x＜1
此题重点考察学生对二次函数图象的理解，抓住图象性质是解题的关键
14、y＝﹣（x+1）2﹣2
【分析】根据坐标平移规律可知平移后的顶点坐标为（﹣1，﹣2），进而可设二次函数为，再把点（0，﹣3）代入即可求解a的值，进而得平移后抛物线的函数表达式．
【详解】由题意可知，平移后的函数的顶点为（﹣1，﹣2），
设平移后函数的解析式为，
∵所得的抛物线经过点（0，﹣3），
∴﹣3＝a﹣2，解得a＝﹣1，
∴平移后函数的解析式为，
故答案为．
本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握坐标平移规律：“左右平移时，横坐标左移减右移加，纵坐标不变；上下平移时，横坐标不变，纵坐标上移加下移减”。
15、
【分析】先证明△ABC为直角三角形，再根据正切的定义即可求解.
【详解】根据网格的性质设网格的边长为1，
则AB=,AC=,BC=
∵AB2+AC2=BC2,
∴△ABC为直角三角形，∠A=90°，
∴=
故填：.
此题主要考查正切的求解，解题的关键是证明三角形为直角三角形.
16、5
【解析】由翻折的性质可以知道,由矩形的性质可以知道: ,从而得到,于是,故此BF=DF,在中利用勾股定理可求得BF的长.
【详解】由折叠的性质知,CD=ED,BE=BC.
四边形ABCD是矩形,
在和中,
,
,
;
设BF=x,则DF=x,AF=8-x,
在中,可得: ,即,
计算得出:x=5,
故BF的长为5.
因此，本题正确答案是:5
本题考查了折叠的性质折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，也考查了勾股定理,矩形的性质.
17、；
【分析】根据二次根式被开方数大于等于0，列出不等式即可求出取值范围.
【详解】∵二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0
∴
解得
故答案为：.
本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数大于等于0是解题的关键.
18、
【分析】过点A作AE⊥BD，由AAS得△AOE≌△COD，从而得CD＝AE＝3，由勾股定理得DB＝4，易证△ABE∽△BCD，得，进而即可求解．
【详解】过点A作AE⊥BD，
∵CD⊥BD，AE⊥BD，
∴∠CDB＝∠AED＝90°，CO＝AO，∠COD＝∠AOE，
∴△AOE≌△COD（AAS）
∴CD＝AE＝3，
∵∠CDB＝90°，BC＝5，CD＝3，
∴DB＝＝4，
∵∠ABC＝∠AEB＝90°，
∴∠ABE+∠EAB＝90°，∠CBD+∠ABE＝90°，
∴∠EAB＝∠CBD，
又∵∠CDB＝∠AEB＝90°，
∴△ABE∽△BCD，
∴，
∴，
∴AB＝．
故答案为：．
本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）17；（2）如图所示，见解析；（3）2.8；（4）①②.
【分析】（1）由国家创新指数得分为69.5以上（含69.5）的国家有17个，即可得出结果；
（2）根据中国在虚线l1的上方，中国的创新指数得分为69.5，找出该点即可；
（3）根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可得出结果；
（4）根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可判断①②的合理性．
【详解】解：（1）∵国家创新指数得分为69.5以上（含69.5）的国家有17个，
∴国家创新指数得分排名前40的国家中，中国的国家创新指数得分排名世界第17，
故答案为17；
（2）如图所示：
（3）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.8万美元；
故答案为2.8；
（4）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，
①相比于点A、B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；合理；
②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值；合理；
故答案为①②．
本题考查了频数分布直方图、统计图、样本估计总体、近似数和有效数字等知识；读懂频数分布直方图和统计图是解题的关键．
20、（1）；（2）
【分析】（1）直接根据概率公式求解；
（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出刚好是一男生一女生的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1）从获得美术奖和音乐奖的5名学生中选取1名参加颁奖大会，刚好是男生的概率是 ；
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中刚好是一男生一女生的结果数为3，
概率
所以刚好是一男生一女生的概率为 ．
本题考查了概率问题，掌握概率公式以及树状图的画法是解题的关键．
21、（1）不是此方程的根，理由见解析；（2）存在，或
【分析】（1）将代入一元二次方程中，得到一个关于p的一元二次方程，然后用根的判别式验证关于p的一元二次方程是否存在实数根即可得出答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可知，，然后代入到中，解一元二次方程，若有解，则存在这样的p,反之则不存在．
【详解】（1）若是方程的根，
则．
，
∴不是此方程的根．
（2）存在实数，使得成立．
∵,且．
∴即．
∴
∴存在实数，当或时，成立
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
22、（1）x＝2±；（2）x＝或x＝．
【分析】（1）根据配方法即可求出答案．
（2）根据因式分解法即可求出答案．
【详解】解：（1）∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x+1＝2，
∴（x﹣2）2＝2，
∴x＝2±．
（2）∵（2x﹣1）2＝4（2x﹣1），
∴（2x﹣1﹣4）（2x﹣1）＝0，
∴x＝或x＝.
此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知一元二次方程的解法.
23、见解析
【分析】先证得，利用有两条对应边的比相等，且其夹角相等，即可判定两个三角形相似．
【详解】∵，
∴，
即，
又，
∴．
本题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两条对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似，熟记各种判定相似三角形的方法是解题关键．
24、（1）（人）；（2）详见解析；（3）
【解析】（1）由器乐的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数乘以书画对应百分比求得其人数，再根据各类型人数之和等于总人数求得戏曲人数，从而补全图形；
（3）利用样本估计总体思想求解可得；
（4）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）本次随机调查的学生人数为（人）；
（2）书画的人数为（人），戏曲的人数为（人），
补全图形如下：
（3）估计全校学生选择“戏曲”类的人数约为（人）；
（4）列表得：
∵共有种等可能的结果，其中恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的有2种结果，
∴恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率为
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识．解题关键在于注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
25、（1）或（2）直线与相切，理由见解析
【分析】（1）当∠POA=90°时，点P运动的路程为⊙O周长的或，所以分两种情况进行分析；
（2）直线BP与⊙O的位置关系是相切，根据已知可证得OP⊥BP，即直线BP与⊙O相切．
【详解】解：（1）当∠POA=90°时，根据弧长公式可知点P运动的路程为⊙O周长的或，设点P运动的时间为ts；
当点P运动的路程为⊙O周长的时，2π•t=•2π•12，
解得t=3；
当点P运动的路程为⊙O周长的时，2π•t=•2π•12，
解得t=9；
∴当∠POA=90°时，点P运动的时间为3s或9s．
（2）如图，当点P运动的时间为2s时，直线BP与⊙O相切
理由如下：
当点P运动的时间为2s时，点P运动的路程为4πcm，
连接OP，PA；
∵半径AO=12cm，
∴⊙O的周长为24πcm，
∴的长为⊙O周长的，
∴∠POA=60°；
∵OP=OA，
∴△OAP是等边三角形，
∴OP=OA=AP，∠OAP=60°；
∵AB=OA，
∴AP=AB，
∵∠OAP=∠APB+∠B，
∴∠APB=∠B=30°，
∴∠OPB=∠OPA+∠APB=90°，
∴OP⊥BP，
∴直线BP与⊙O相切．
本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．
26、（1）0.1；（2）小颖的说法是错误的，理由见解析（3）列表见详解；
【分析】（1）根据频率等于频数除以总数，即可分别求出“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率．
（2）频率不等于概率，只能估算概率，故小颖的说法不对，事件发生具有随机性，故得知小红的说法也不对．
（3）列表，找出点数之和是3的倍数的结果，除以总的结果，即可解决．
【详解】解：（1）“3点朝上”的频率：6÷60=0.1
“5点朝上”的频率：20÷60=．
（2）小颖的说法是错误的，因为“5点朝上”的频率最大并不能说明5点朝上的概率最大，频率不等于概率；
小红的说法是错误的，因为事件发生具有随机性，故“点朝上”的次数不一定是100次．
（3）列表如下：
共有36种情况，点数之和为3的倍数的情况有12种．
故P（点数之和为3的倍数）==．
本题主要考查了频率的公式、频率与概率的关系以及列表法和树状图法求概率，能够熟练其概念以及准确的列表是解决本题的关键．
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