资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图,在中，点分别在边上,且为边延长线上一点,连接,则图中与相似的三角形有( )个
A． B． C． D．
2．关于反比例函数y＝﹣的图象，下列说法正确的是（ ）
A．经过点(﹣1，﹣4)
B．图象是轴对称图形，但不是中心对称图形
C．无论x取何值时，y随x的增大而增大
D．点(，﹣8)在该函数的图象上
3．二次函数（b＞0）与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它绕着BC中点D顺时针旋转一定角度（小于90°）后得到△A′B′C′，恰好使B′C′∥AB，A'C′与AB交于点E，则A′E的长为（ ）
A．3 B．3.2 C．3.5 D．3.6
5．函数y＝kx﹣k（k≠0）和y＝﹣（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．二次函数的大致图象如图所示，其对称轴为直线，点A的横坐标满足 ，图象与轴相交于两点，与轴相交于点.给出下列结论：
①；②；③若，则；④．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．在一个不透明的袋子里装有6个颜色不同的球(除颜色不同外，质地、大小均相同)，其中个球为红球，个球为白球，若从该袋子里任意摸出1个球，则摸出的球是白球的概率为( )
A． B． C． D．
9．如图，已知矩形ABCD，AB＝6，BC＝10，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE相交于I，与BD相交于H，则四边形BEIH的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．如图，空心圆柱的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知a、b、c满足，a、b、c都不为0，则=_____．
12．从1，2，﹣3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是偶数的概率是_____．
13．如图，△ABC中，AB＝6，BC＝1．如果动点D以每秒2个单位长度的速度，从点B出发沿边BA向点A运动，此时直线DE∥BC，交AC于点E．记x秒时DE的长度为y，写出y关于x的函数解析式_____（不用写自变量取值范围）．
14．已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而_____（填“增大”或“减小”）．
15．两个相似三角形的面积比为4：9，那么它们对应中线的比为______．
16．如图，以等边△ABC的一边AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，若AB=4，则阴影部分的面积是______.
17．如图，小颖周末晚上陪父母在斜江绿道上散步，她由路灯下A处前进3米到达B处时，测得影子BC长的1米，已知小颖的身高1.5米，她若继续往前走3米到达D处，此时影子DE长为____米．
18．抛物线y＝﹣x2+2x﹣5与y轴的交点坐标为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知关于的方程.
（1）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为，求该方程的另一个根.
20．（6分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合)．以AD为边作正方形ADEF，连接CF，当点D在线段BC的反向延长线上，且点A，F分别在直线BC的两侧时．
(1)求证：△ABD≌△ACF；
(2)若正方形ADEF的边长为，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，求OC的长度．
21．（6分）一段路的“拥堵延时指数”计算公式为：拥堵延时指数=，指数越大，道路越堵。高德大数据显示第二季度重庆拥堵延时指数首次排全国榜首。为此，交管部门在A、B两拥堵路段进行调研：A路段平峰时汽车通行平均时速为45千米/时，B路段平峰时汽车通行平均时速为50千米/时，平峰时A路段通行时间是B路段通行时间的倍，且A路段比B路段长1千米．
（1）分别求平峰时A、B两路段的通行时间；
（2）第二季度大数据显示：在高峰时，A路段的拥堵延时指数为2，每分钟有150辆汽车进入该路段；B路段的拥堵延时指数为1.8，每分钟有125辆汽车进入该路段。第三季度，交管部门采用了智能红绿灯和潮汐车道的方式整治，拥堵状况有明显改善，在高峰时，A路段拥堵延时指数下降了a%，每分钟进入该路段的车辆增加了；B路段拥堵延时指数下降，每分钟进入该路段的车辆增加了a辆。这样，整治后每分钟分别进入两路段的车辆通过这两路段所用时间总和，比整治前每分钟分别进入这两段路的车辆通过这两路段所用时间总和多小时，求a的值．
22．（8分）（1）计算：（π﹣3）0+（﹣1）﹣3﹣3×tan30°+；
（2）解一元二次方程：3x2＝5x﹣2
23．（8分）已知抛物线y=x2+bx+c的图像过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．求抛物线的解析式和顶点坐标.
24．（8分）如图，抛物线过点，交x轴于A，B两点点A在点B的左侧．
求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标；
连接OC，CM，求的值；
若点P在抛物线的对称轴上，连接BP，CP，BM，当时，求点P的坐标．
25．（10分）如图1，中，，是的中点，平分交于点，在的延长线上且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2若四边形是菱形，连接，，与交于点，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有等边三角形．
26．（10分）（1）计算：
（2）解方程）：
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据平行四边形和平行线的性质，得出对应的角相等，再结合相似三角形的性质即可得出答案.
【详解】
∵EF∥CD，ABCD是平行四边形
∴EF∥CD∥AB
∴∠GDP=∠GAB，∠GPD=∠GBA
∴△GDP∽△GAB
又EF∥AB
∴∠GEQ=∠GAB，∠GQE=∠GBA
∴△GEQ∽△GAB
又∵ABCD为平行四边形
∴AD∥BC
∴∠GDP=∠BCP，∠CBP=∠G
∴∠BCP=∠GAB
又∠GPD=∠BPC
∴∠GBA=∠BPC
∴△GAB∽△BCP
又∠BQF=∠GQE
∴∠BQF=∠GBA
∴△GAB∽△BFQ
综上共有4个三角形与△GAB相似
故答案选择D.
本题考查的是相似三角形的判定，需要熟练掌握相似三角形的判定方法，此外，还需要掌握平行四边形和平行线的相关知识.
2、D
【分析】反比例函数的图象时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小； 时位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；在不同象限内，y随x的增大而增大，根据这个性质选择则可．
【详解】∵当时，
∴点（ ，﹣8）在该函数的图象上正确，故A、B、C错误，不符合题意．
故选：D．
本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质及代入求点坐标是解题的关键．
3、B
【解析】试题分析：先根据各选项中反比例函数图象的位置确定a的范围，再根据a的范围对抛物线的大致位置进行判断，从而对各选项作出判断：
∵当反比例函数经过第二、四象限时， a＜0，∴抛物线（b＞0）中a＜0，b＞0，
∴抛物线开口向下. 所以A选项错误.
∵当反比例函数经过第一、三象限时， a＞0，∴抛物线（b＞0）中a＞0，b＞0，
∴抛物线开口向上，抛物线与y轴的交点在x轴上方. 所以B选项正确，C，D选项错误.
故选B．
考点：1.二次函数和反比例函数的图象与系数的关系；2.数形结合思想的应用．
4、D
【解析】如图，过点D作DF⊥AB，可证四边形EFDC'是矩形，可得C'E＝DF，通过证明△BDF∽△BAC，可得，可求DF＝2.4＝C'E，即可求解．
【详解】如图，过点D作DF⊥AB，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵将Rt△ABC绕着BC中点D顺时针旋转一定角度（小于90°）后得到△A′B′C′，
∴AC＝A'C'＝6，∠C＝∠C'＝90°，CD＝BD＝4，
∵AB∥C'B'
∴∠A'EB＝∠A'C'B'＝90°，且DF⊥AB，
∴四边形EFDC'是矩形，
∴C'E＝DF，
∵∠B＝∠B，∠DFB＝∠ACB＝90°，
∴△BDF∽△BAC
∴，
∴
∴DF＝2.4＝C'E，
∴A'E＝A'C'﹣C'E＝6﹣2.4＝3.6，
故选：D．
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知旋转的定义、矩形的性质及相似三角形的判定与性质.
5、D
【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】解：由反比例函数y＝﹣（k≠0）的图象在一、三象限可知，﹣k＞0，
∴k＜0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故A、B选项错误；
由反比例函数y＝﹣（k≠0）的图象在二、四象限可知，﹣k＜0，
∴k＞0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故C选项错误，D选项正确；
故选：D．
此题主要考查一次函数与反比例函数图像综合，解题的关键是熟知一次函数与反比例函数系数与图像的关系．
6、C
【分析】根据对称轴的位置、开口方向、与y轴的交点可对①②④进行判断，根据，转化为代数，计算的值对③进行判断即可．
【详解】解：①∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴
∴，故①正确，
②∵，，
∴，
又∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴，
∴，故②错误，
③∵点C（0，c），，点A在x轴正半轴，
∴A ，代入得：，化简得：，
又∵，
∴
即，故③正确，
④由②可得，
当x=1时，，
∴，即，故④正确，
所以正确的是①③④，
故答案为C．
本题考查了二次函数中a，b，c系数的关系，根据图象得出a，b，c的的关系是解题的关键．
7、D
【解析】根据相似三角形的判定和性质，即可得到答案.
【详解】解：∵，
∴∽，
∴；
故选：D.
本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质.
8、D
【分析】让白球的个数除以球的总个数即为所求的概率．
【详解】解：因为一共有6个球，白球有4个，
所以从布袋里任意摸出1个球，摸到白球的概率为：．
故选：D．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
9、B
【分析】延长AF交DC于Q点，由矩形的性质得出CD＝AB＝6，AB∥CD，AD∥BC，得出＝1，△AEI∽△QDE，因此CQ＝AB＝CD＝6，△AEI的面积：△QDI的面积＝1：16，根据三角形的面积公式即可得出结果．
【详解】延长AF交DC于Q点，如图所示：
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴AE＝AB＝3，BF＝CF＝BC＝5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AB∥CD，AD∥BC，
∴＝1，△AEI∽△QDI，
∴CQ＝AB＝CD＝6，△AEI的面积：△QDI的面积＝（）2＝，
∵AD＝10，
∴△AEI中AE边上的高＝2，
∴△AEI的面积＝×3×2＝3，
∵△ABF的面积＝×5×6＝15，
∵AD∥BC，
∴△BFH∽△DAH，
∴＝＝，
∴△BFH的面积＝×2×5＝5，
∴四边形BEIH的面积＝△ABF的面积﹣△AEI的面积﹣△BFH的面积＝15﹣3﹣5＝1．
故选：B．
本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
10、D
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：从上边看是三个水平边较短的矩形，中间矩形的左右两边是虚线，
故选：D．
本题考查了三视图，俯视图是指从上往下看得到的图形。注意：看的见的线画实线，看不见的线画虚线．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【解析】设则所以,故答案为:.
12、
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与随机抽取两个数相乘，积是偶数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，随机抽取两个数相乘，积是偶数的有4种情况，
∴随机抽取两个数相乘，积是偶数的概率是；
故答案为：．
此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
13、y＝﹣3x+1
【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质，可得出y关于x的函数解析式．
【详解】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴，即，∴y＝﹣3x+1．
故答案为：y＝﹣3x+1．
本题考查根据实际问题列函数关系式，利用相似三角形的性质得出是关键.
14、增大．
【分析】根据二次函数的增减性可求得答案
【详解】∵二次函数y=x2的对称轴是y轴，开口方向向上，
∴当y随x的增大而增大，
故答案为增大.
本题考查的知识点是二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.
15、2：1．
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算即可；
【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为4：9，
∴它们对应中线的比．
故答案为：2：1．
本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.
16、
【分析】作辅助线证明△AOD≌△DOE≌△EOB≌△CDE,且都为等边三角形,利用等边三角形面积公式S=即可解题.
【详解】解：连接DE,OD,OE,
在圆中,OA=OD=OE=OB,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=60°,
∴△AOD≌△DOE≌△EOB≌△CDE,且都为等边三角形,
∵AB=4,即OA=OD=OE=OB=2,
易证阴影部分面积=S△CDE==.
本题考查了圆的性质,等边三角形的判定和面积公式,属于简单题,作辅助线证明等边三角形是解题关键.
17、2
【分析】根据题意可知，本题考查相似三角形性质，根据中心投影的特点和规律以及相似三角形性质，运用相似三角形对应边成比例进行求解．
【详解】解：根据题意可知
当小颖在BG处时，
∴，即
∴AP=6
当小颖在DH处时,
∴，即
∴
∴DE=2
故答案为：2
本题考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用，解题关键是运用相似三角形对应边相等．
18、（0，﹣5）
【分析】要求抛物线与y轴的交点，即令x＝0，解方程．
【详解】解：把x＝0代入y＝﹣x2+2x﹣5，求得y＝﹣5，
则抛物线y＝﹣x2+2x﹣5与y轴的交点坐标为（0，﹣5）．
故答案为（0，﹣5）．
本题考查了抛物线与轴的交点坐标，正确掌握令或令是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）证明见解析；（2）另一根为-2.
【分析】（1）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答；
（2）将代入方程得到的值，再根据根与系数的关系求出另一根．
【详解】（1）∵，，，
∴
∴不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）将代入方程得，
，
解得：；
∴原方程为：，
设另一根为，则有，
解得：，
所以方程的另一个根为.
本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程（a≠0）的根与有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
20、 (1)证明见解析； (1)
【分析】（1）由题意易得AD＝AF，∠DAF＝90°，则有∠DAB＝∠FAC，进而可证AB＝AC，然后问题可证；
（1）由（1）可得△ABD≌△ACF，则有∠ABD＝∠ACF，进而可得∠ACF＝135°，然后根据正方形的性质可求解．
【详解】(1)证明：∵四边形ADEF为正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠FAC，
∵∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABD≌△ACF(SAS)；
(1)解：由(1)知△ABD≌△ACF，
∴∠ABD＝∠ACF，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝135°，
∴∠ACF＝135°，
由(1)知∠ACB＝45°，
∴∠DCF＝90°，
∵正方形ADEF边长为，
∴DF＝4，
∴OC＝DF＝×4＝1．
本题主要考查正方形的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
21、（1）平峰时A路段的通行时间是小时，平峰时B路段的通行时间是小时；（2）的值是1．
【分析】（1）根据题意，设平峰时B路段通行时间为小时，则平峰时A路段通行时间是，列出方程，解方程即可得到答案；
（2）根据题意，先求出整治前A、B路段的时间总和，然后利用含a的代数式求出整治后A、B路段的时间总和，再列出方程，求出a的值．
【详解】解：（1）设平峰时B路段通行时间为小时，则平峰时A路段通行时间是，则
，
解得：，
∴（小时）；
∴平峰时A路段的通行时间是小时，平峰时B路段的通行时间是小时；
（2）根据题意，整治前有：
高峰时，通过A路段的总时间为：（分钟），
高峰时，通过B路段的总时间为：（分钟）；
整治前的时间总和为：（分钟）；
整治后有：通过A路段的总时间为：
；
通过B路段的总时间为：；
∴整治后的时间总和为：
；
∴，
整理得：，
解得：或（舍去）；
∴的值是1．
本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确列出方程进行解题．注意寻找题目的等量关系进行列方程．
22、（1）﹣3+2；（2）＝1，＝．
【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）原式＝1﹣1﹣3﹣3×+3
＝﹣3﹣+3
＝﹣3+ ；
（2）∵3x2﹣5x+2＝0，
∴（x﹣1）（3x﹣2）＝0，
则x﹣1＝0或3x﹣2＝0，
解得＝1，＝．
本题主要考查实数的混合运算及解一元二次方程，掌握实数的混合运算顺序和法则，因式分解法是解题的关键．
23、y=x2-2x-3，顶点坐标为（1，-4）.
【解析】把A、B两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法可求得其解析式，再化为顶点式即可求得其顶点坐标.
【详解】∵抛物线经过A（-1，0），B（3，0）两点，
∴，
解得b= -2，c= -3，
∴ 抛物线解析式为y=x2-2x-3 ．
∵ y=x2-2x-3=（x-1）2 -4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）.
本题考查了待定系数法、二次函数的性质.
24、抛物线的解析式为，顶点M的坐标为；；P点坐标为或
【解析】根据待定系数法，可得函数解析式；根据顶点式解析式，可得顶点坐标；
根据勾股定理及逆定理，可得，根据正切函数，可得答案；
根据相似三角形的判定与性质，可得PM的值，可得M点坐标．
【详解】由抛物线过点，
得，解得，
抛物线的解析式为，顶点M的坐标为；
如图1，连接OM，
，，，
，
，
，，
；
如图2，过C作对称轴，垂足N在对称轴上，取一点E，使，连接CE，．
当时，，解得的，，，．
，，
，
，
∽，
，易知，，
，解得，
P点坐标为或
本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线面构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
25、（1）详见解析；（2）△ACF、、、
【分析】（1）在中，，是的中点，可得，再通过，得证，再通过证明，得证，即可证明四边形BCEF是平行四边形；
（2）根据题意，直接写出符合条件的所有等边三角形即可．
【详解】（1）证明：∵在中，，是的中点
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
又∵，
∴四边形BCEF是平行四边形；
（2）∵四边形是菱形
∴，
∵
∴
∴△BCE和△BEF是等边三角形
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴在△CDE和△CGE中
∴
∴
∴是等边三角形
∴
∴
∴
∴
∴
∴△ACF是等边三角形
∴等边三角形有△ACF，，，
本题考查了几何图形的综合问题，掌握直角三角形的斜边中线定理、平行的性质以及判定定理、平行四边形的性质以及判定、菱形的性质是解题的关键．
26、 (1) ；（2）
【分析】（1）先分别计算二次根式和三角函数值，以及零次幂，再进行计算即可；
（2）先根据一元二次方程进行因式分解，即可求解．
【详解】解（1）原式=
=
=
（2）
∴
∴
本题考查了实数的运算，一元二次方程的解法，掌握二次根式和三角函数值，以及零次幂、因式分解法一元二次方程是解题的关键．
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