资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．向上发射一枚炮弹，经秒后的高度为，且时间与高度的关系式为，若此时炮弹在第秒与第秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的（ ）
A．第秒 B．第秒 C．第秒 D．第秒
2．若，且，则的值是 （ ）
A．4 B．2 C．20 D．14
3．下列叙述，错误的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线相等的四边形是矩形
4．如图，在中，点分别在边上，且，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．用一个半径为15、圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是( )
A．5 B．10 C． D．
6．在中，∠C=90°，∠A=2∠B，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表。如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱的高为。已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）作为（ ）
A． B． C． D．
8．我县为积极响应创建“省级卫生城市”的号召，为打造“绿色乐至，健康乐至”是我们每个乐至人应尽的义务.某乡镇积极开展垃圾分类有效回收，据统计2017年有效回收的垃圾约1.5万吨，截止2019年底，有效回收的垃圾约2.8万吨，设这两年该乡镇的垃圾有效回收平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）.
A．1.5（1+2x）＝2.8 B．
C． D．+
9．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴的正半轴交于点C．现有下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③2a﹣b＞0；④3a+c＝0，其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．关于的一元二次方程有实数根，则满足___________.
12．反比例函数y=的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是_______．
13．如图，在四边形中，，，，分别为，的中点，连接，，．，平分，，的长为__．
14．如图，把直角尺的角的顶点落在上，两边分别交于三点，若的半径为.则劣弧的长为______．
15．函数的自变量的取值范围是．
16．如图，已知点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），在第一象限内找一点P(a,b) ,使△PAB为等边三角形，则2(a-b)=___________．
17．如图，在中，，若，则__________．
18．如图，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为的圆形，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）小刚将一黑一白两双相同号码的袜子放进洗衣机里，洗好后一只一只拿出晾晒，当他随意从洗衣机里拿出两只袜子时，请用树状图或列表法求恰好成双的概率．
20．（6分）如图，在电线杆上的点处引同样长度的拉线，固定电线杆，在离电线杆6米处安置测角仪（其中点、、、在同一条直线上），在处测得电线杆上点处的仰角为，测角仪的高为米．
（1）求电线杆上点离地面的距离；
（2）若拉线，的长度之和为18米，求固定点和之间的距离．
21．（6分）甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定，转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为奇数时，甲获胜；为偶数时，乙获胜．
（1）用列表法（或画树状图）求甲获胜的概率；
（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？请简要说明理由．
22．（8分）小红和小丁玩纸牌优戏，如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上．
（1）小红从4张牌中抽取一张，这张牌的数字为偶数的概率是 ；
（2）小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张，比较两人抽取的牌面上的数字，数字大者获胜，请用树秋图或列表法求出的小红获胜的概率．
23．（8分）如图，圆的内接五边形ABCDE中，AD和BE交于点N，AB和EC的延长线交于点M，CD∥BE，BC∥AD，BM＝BC＝1，点D是的中点．
（1）求证：BC＝DE；
（2）求证：AE是圆的直径；
（3）求圆的面积．
24．（8分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？
25．（10分）如图是测量河宽的示意图，与相交于点，，测得，，，求得河宽.
26．（10分）如图，直线AC与⊙O相切于点A，点B为⊙O上一点，且OC⊥OB于点O，连接AB交OC于点D．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若AC＝3，OB＝4，求OD的长度．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】二次函数是一个轴对称图形，到对称轴距离相等的两个点所表示的函数值也是一样的．
【详解】根据题意可得：函数的对称轴为直线x=，即当x=10时函数达到最大值．故选B．
本题主要考查的是二次函数的对称性，属于中等难度题型．理解“如果两个点到对称轴距离相等，则所对应的函数值也相等”是解决这个问题的关键．
2、A
【分析】根据，且，得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
本题考查比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
3、D
【分析】根据菱形的判定方法，矩形的判定方法，正方形的判定方法，平行四边形的判定方法分别分析即可得出答案．
【详解】解：A、根据对角线互相垂直的平行四边形可判定为菱形，再有对角线且相等可判定为正方形，此选项正确，不符合题意；
B、根据菱形的判定方法可得对角线互相垂直平分的四边形是菱形正确，此选项正确，不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形是判断平行四边形的重要方法之一，此选项正确，不符合题意；
D、根据矩形的判定方法：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，因此只有对角线相等的四边形不能判定是矩形，此选项错误，符合题意；
选：D．
此题主要考查了菱形，矩形，正方形，平行四边形的判定，关键是需要同学们准确把握矩形、菱形正方形以及平行四边形的判定定理之间的区别与联系．
4、B
【分析】根据相似三角形平行线分线段成比例的性质，分别判定即可.
【详解】∵
∴∠A=∠CEF，∠ADE=∠ABC，∠CFE=∠ABC，，
∴∠ADE=∠CFE，，C选项正确；
∴△ADE∽△EFC
∴，A选项正确；
又∵
∴，D选项正确；
∵
∴不成立
故答案为B.
此题主要考查相似三角形平行线分线段成比例的运用，熟练掌握，即可解题.
5、A
【分析】根据弧长公式计算出弧长，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是10π，设圆锥的底面半径是r，列出方程求解．
【详解】半径为15cm，圆心角为120°的扇形的弧长是=10π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是10π.
设圆锥的底面半径是r，
则得到2πr=10π，
解得：r=5，
这个圆锥的底面半径为5.故选择A.
本题考查弧长的计算，解题的关键是掌握弧长的计算公式.
6、C
【分析】根据三角形内角和定理求出∠A的值，运用特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=2∠B，∠C=90°，
∴2∠B+∠B+90°=180°，
∴∠B=30°，
∴∠A=60°，
∴．
故选：C．
本题考查了三角形内角和定理的应用以及特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的三角函数值是解题关键．
7、D
【解析】在Rt△ABC中利用正切函数即可得出答案．
【详解】解：在Rt△ABC中，
tan∠ABC=，
∴立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC的长）为=．
故选：D．
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
8、B
【分析】根据题意可得等量关系：2017年有效回收的垃圾的量×（1+增长率）2=2019年有效回收的垃圾的量，根据等量关系列出方程即可．
【详解】设这两年该乡镇的垃圾有效回收平均增长率为x，
∵2017年有效回收的垃圾约1.5万吨，截止2019年底，有效回收的垃圾约2.8万吨，
∴1.5(1+x)2=2.8，
故选：B.
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
9、A
【分析】先根据勾股定理计算出斜边AB的长，然后根据正弦的定义求解．
【详解】如图，
∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB==10，
∴sinB=．
故选：A．
本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．也考查了勾股定理．
10、B
【分析】由抛物线的开口方向，判断a与0的关系；由对称轴与y轴的位置关系，判断ab与0的关系；由抛物线与y轴的交点，判断c与0的关系，进而判断abc与0的关系，据此可判断①．由x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，再结合图象x＝﹣2时，y＞0，即可得4a﹣2b+c与0的关系，据此可判断②．根据图象得对称轴为x＝﹣＞﹣1，即可得2a﹣b与0的关系，据此可判断③．由x＝1时，y＝a+b+c，再结合2a﹣b与0的关系，即可得3a+c与0的关系，据此可判断④．
【详解】解：①∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴位于y轴的左侧，
∴a、b同号，即ab＞0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，
故①正确；
②如图，当x＝﹣2时，y＞0，即4a﹣2b+c＞0，
故②正确；
③对称轴为x＝﹣＞﹣1，得2a＜b，即2a﹣b＜0，
故③错误；
④∵当x＝1时，y＝0，
∴0＝a+b+c，
又∵2a﹣b＜0，即b＞2a，
∴0＝a+b+c＞a+2a+c＝3a+c，即3a+c＜0，
故④错误．
综上所述，①②正确，即有2个结论正确．
故选：B．
本题考查二次函数图象位置与系数的关系．熟练掌握二次函数开口方向、对称轴、与坐标轴交点等性质，并充分运用数形结合是解题关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、且
【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义即可求解.
【详解】根据题意有
，解得且
故答案为且
本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的判别式和一元二次方程的定义是解题的关键.
12、
【解析】根据k＜0时，反比例函数的图象位于二、四象限，可列出不等式，解之即可得出答案．
【详解】∵反比例函数y=的图象位于第二、四象限，
∴3k−1<0，
解得：.
故答案为.
本题考查了反比例函数的图象和性质.根据反比例函数的图象所在象限列出不等式是解题的关键.
13、．
【分析】根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明BM=MN．再证明∠BMN=90°，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题．
【详解】在中，、分别是、的中点，
，，
在中，是中点，
，
，
，
，平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
本题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
14、
【分析】连接OB、OC，如图，先根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再根据弧长公式计算即可.
【详解】解：连接OB、OC，如图，∵∠A=45°，∴∠BOC=90°，∴劣弧的长=.
故答案为：.
本题考查了圆周角定理和弧长公式的计算，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题关键.
15、x≠1
【解析】该题考查分式方程的有关概念
根据分式的分母不为0可得
X－1≠0,即x≠1
那么函数y=的自变量的取值范围是x≠1
16、
【分析】根据A、B坐标求出直线AB的解析式后，求得AB中点M的坐标，连接PM，在等边△PAB中，M为AB中点，所以PM⊥AB，，再求出直线PM的解析式，求出点P坐标；在Rt△PAM中，AP=AB=5，，即且a＞0，解得a>0，即，将a代入直线PM的解析式中求出b的值，最后计算2(a-b)的值即可；
【详解】解：∵A(4，0)，B(0，3)，
∴AB=5，
设，
∴，
∴ ，
∴，
∵A(4，0) B(0，3) ，
∴AB中点，连接PM，
在等边△PAB中，M为AB中点，
∴PM⊥AB，，
∴，
∴设直线PM的解析式为，
∴，
∴，
∴，
∴，
在Rt△PAM中，AP=AB=5，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵a>0，
∴，
∴，
∴；
本题主要考查了一次函数的综合应用，掌握一次函数是解题的关键.
17、6
【分析】先根据平行四边形的性质证得△BEG∽△FAG，从而可得相似比，然后根据同高的两个三角形的面积等于底边之比可求得，根据相似三角形的性质可求得，进而可得答案.
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴△BEG∽△FAG，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴.
故答案为：6.
本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及三角形的面积等知识，属于常考题型，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键.
18、
【分析】利用已知得出底面圆的半径为，周长为，进而得出母线长，再利用勾股定理进行计算即可得出答案．
【详解】解：∵半径为的圆形
∴底面圆的半径为
∴底面圆的周长为
∴扇形的弧长为
∴，即圆锥的母线长为
∴圆锥的高为．
故答案是：
此题主要考查了圆锥展开图与原图对应情况，以及勾股定理等知识，根据已知得出母线长是解决问题的关键．
三、解答题(共66分)
19、．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好成双的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，恰好成双的有4种情况，
∴恰好成双的概率为：．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20、（1）米（2）米
【分析】（1）过点A作AH⊥CD于点H，可得四边形ABDH为矩形，根据A处测得电线杆上C处得仰角为30°，在△ACH中求出CH的长度，从而得出CD的长；
（2）然后在Rt△CDE中求出DE的长度，根据等腰三角形的性质，可得出DF=DE，从而得出EF的长．
【详解】解：（1）过作于，由条件知，为矩形，
∴，．
在中，，即，
∴．∴．
∴为米．
（2）∵，，∴，
在中，，，
∴，
∵，，∴，
∴，
∴、之间的距离为米．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形．
21、 (1) ；（2）公平，理由见解析
【分析】本题考查了概率问题中的公平性问题，解决本题的关键是计算出各种情况的概率，然后比较即可．
【详解】方法一画树状图：
由上图可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结
果有6种．∴P（和为奇数）= ．
方法二列表如下：
由上表可知，所有等可能的结果共有12种，指针所指的两个数字之和为奇数的结
果有6种．∴P（和为奇数）= ；
（2）∵P（和为奇数）= ，∴P（和为偶数）= ，∴这个游戏规则对双方是公平的．
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22、（1）；（2）．
【分析】（1）根据概率公式计算即可．
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出小红获胜的结果数，然后根据概率公式求解
【详解】解：（1）4张牌中有3张是偶数这张牌的数字为偶数的概率是．
故答案为．
（2）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中小红获胜的结果数为6，
所以小红获胜的概率＝＝．
本题考查的知识点是利用树状图求事件的概率问题，根据题意画出树状图是解题的关键.
23、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）根据平行线得出∠DCE＝∠CEB，求出即可；
（2）求出AB＝BC＝BM，得出△ACB和△BCM是等腰三角形，求出∠ACE＝90°即可；
（3）根据求出∠BEA＝∠DAE＝22.5°，∠BAN＝45°，求出BN＝1，，根据勾股定理求出AE2的值，即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵CD∥BE，
∴∠DCE＝∠CEB，
∴，
∴DE＝BC；
（2）证明：连接AC，
∵BC∥AD，
∴∠CAD＝∠BCA，
∴，
∴AB＝DC，
∵点D是的中点，
∴，
∴CD＝DE，
∴AB＝BC．
又∵BM＝BC，
∴AB＝BC＝BM，即△ACB和△BCM是等腰三角形，
在△ACM中，，
∴∠ACE＝90°，
∴AE是圆的直径；
（3）解：由（1）（2）得：，
又∵AE是圆的直径，
∴∠BEA＝∠DAE＝22.5°，∠BAN＝45°，
∴NA＝NE，
∴∠BNA＝∠BAN＝45°，∠ABN＝90°，
∴AB＝BN，
∵AB＝BM＝1，
∴BN＝1，
∴．
由勾股定理得：AE2＝AB2+BE2＝，
∴圆的面积．
本题主要考察正多边形与圆、勾股定理、平行线的性质，解题关键是根据勾股定理求出AE2的值.
24、（1）y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；（2）当x=80时，y最大值=4500；（3）70≤x≤1.
【分析】(1) 根据题目已知条件, 可以判定销量与售价之间的关系式为一次函数, 并可以进一步写出二者之间的关系式; 然后根据单位利润等于单位售价减单位成本, 以及销售利润等于单位利润乘销量, 即可求出每天的销售利润与销售单价之间的关系式.
(2) 根据开口向下的抛物线在对称轴处取得最大值, 即可计算出每天的销售利 润及相应的销售单价.
(3) 根据开口向下的抛物线的图象的性质,满足要求的x的取值范围应该在﹣5（x﹣80）2+4500=4000的两根之间,即可确定满足题意的取值范围.
【详解】解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]
=（x﹣50）（﹣5x+550）
=﹣5x2+800x﹣27500，
∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；
（2）y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5（x﹣80）2+4500，
∵a=﹣5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，
∴当x=80时，y最大值=4500；
（3）当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，
解得x1=70，x2=1．
∴当70≤x≤1时，每天的销售利润不低于4000元．
本题主要考查二次函数的应用.
25、河宽的长为
【分析】先证明,利用对应边成比例代入求值即可.
【详解】在和中，
，
即
河宽的长为.
本题考查相似三角形的性质与判定,关键在于熟悉基础知识.
26、（1）见解析；（1）1
【分析】（1）由AC是⊙O的切线，得OA⊥AC，结合OD⊥OB，OA＝OB，得∠CDA＝∠DAC，进而得到结论；
（1）利用勾股定理求出OC，即可解决问题．
【详解】（1）∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，即：∠OAD+∠DAC＝90°，
∵OD⊥OB，
∴∠DOB＝90°，
∴∠BDO+∠B＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAD＝∠B，
∴∠BDO＝∠DAC，
∵∠BDO＝∠CDA，
∴∠CDA＝∠DAC，
∴CD＝CA．
（1）∵在Rt△ACO中，OC＝＝5，
∵CA＝CD＝3，
∴OD＝OC﹣CD＝1．
本题主要考查圆的基本性质，掌握切线的基本性质，是解题的关键.
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