资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列汽车标志图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．模型结论：如图①，正内接于，点是劣弧上一点，可推出结论.
应用迁移：如图②，在中，，，，是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．
3．在平面直角坐标系中,将点向下平移个单位长度,所得到的点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
4．若关于的方程的解为，，则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O、B的坐标分别是（0，0），（2，0），则顶点C的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，﹣1） C．（1，﹣1） D．（﹣1，1）
6．如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，若∠AOD=120°，AB=6，则AC等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．18
7．下列四个几何体中，主视图与俯视图不同的几何体是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PBC＝∠PCA，则线段AP长的最小值为（ ）
A．0.5 B．﹣1 C．2﹣ D．
9．把方程化成的形式，则的值分别是（ ）
A．4，13 B．-4，19 C．-4，13 D．4，19
10．如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF．则四边形AECF是( )
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
11．下列说法正确的是（ ）
A．若某种游戏活动的中奖率是，则参加这种活动10次必有3次中奖
B．可能性很大的事件在一次试验中必然会发生
C．相等的圆心角所对的弧相等是随机事件
D．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”和“朝下”的可能性相等
12． “一般的，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．——苏科版《数学》九年级（下册）P21”参考上述教材中的话，判断方程x2﹣2x=﹣2实数根的情况是 （ ）
A．有三个实数根 B．有两个实数根 C．有一个实数根 D．无实数根
二、填空题（每题4分，共24分）
13．边长为1的正方形，在边上取一动点，连接，作，交边于点，若的长为，则的长为__________．
14．方程2x2﹣6=0的解是_____．
15．如图，圆锥的底面半径r为4，沿着一条母线l剪开后所得扇形的圆心角ɵ=90°，则该圆锥的母线长是_________________.
16．已知二次函数的图象经过原点，则的值为_______.
17．若，则_______．
18．某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下：9，10，12，x，1．已知这组数据的平均数是10，那么这组数据的方差是_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，连结CE．过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F．
（1）求证：△AEF∽△DCE．
（2）若AB＝3，AE＝4，DE＝6，求线段BF的长．
20．（8分）福建省会福州拥有“三山两塔一条江”，其中报恩定光多宝塔（别名白塔），位于于山风景区，利用标杆可以估算白塔的高度.如图，标杆高，测得，，求白塔的高.
21．（8分）假期期间，甲、乙两位同学到某影城看电影，影城有《我和我的祖国》（记为）、《中国机长》（记为）、《攀登者》（记为）三部电影，甲、乙两位同学分别从中任选一部观看，每部被选中的可能性相同．用树状图或列表法求甲、乙两位同学选择同一部电影的概率．
22．（10分）如图，已知一次函数y＝﹣x+n的图象与反比例函数y＝的图象交于A（4，﹣2），B（﹣2，m）两点．
（1）请直接写出不等式﹣x+n≤的解集；
（2）求反比例函数和一次函数的解析式；
（3）过点A作x轴的垂线，垂足为C，连接BC，求△ABC的面积．
23．（10分）如图，为了测得旗杆AB的高度，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得旗杆顶点A的仰角为45°，再向旗杆方向前进10m，又测得旗杆顶点A的仰角为60°，求旗杆AB的高度．
24．（10分）如图，已知直线y1＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物y2＝ax2+bx+c经过点B，C并与x轴交于点A（﹣1，0）．
（1）求抛物线解析式，并求出抛物线的顶点D坐标 ；
（2）当y2＜0时、请直接写出x的取值范围 ；
（3）当y1＜y2时、请直接写出x的取值范围 ；
（4）将抛物线y2向下平移，使得顶点D落到直线BC上，求平移后的抛物线解析式 ．
25．（12分）定义：若函数与轴的交点的横坐标为，，与轴交点的纵坐标为，若，中至少存在一个值，满足（或），则称该函数为友好函数．如图，函数与轴的一个交点的横坐标为-3，与轴交点的纵坐标为-3，满足，称为友好函数．
（1）判断是否为友好函数，并说明理由；
（2）请探究友好函数表达式中的与之间的关系；
（3）若是友好函数，且为锐角，求的取值范围．
26．解方程：
（1）x（2x﹣1）+2x﹣1＝0
（2）3x2﹣6x﹣2＝0
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的性质进行判断即可．
【详解】A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，错误；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，错误；
C.既是轴对称图形，也是中心对称图形，正确；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，错误；
故答案为：C．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的问题，掌握轴对称图形和中心对称图形的性质是解题的关键．
2、D
【分析】在△DEG右侧作等边三角形DGM，连接FM，由模型可知DF+FG=FM，∴DF+EF+FG的最小值即为线段EM，根据题意求出EM即可.
【详解】解：在△DEG右侧作等边三角形DGM，过M作ED的垂线交ED延长线于H，连接FM，EM，
由模型可知DF+FG=FM，∴DF+EF+FG的最小值即为EF+FM的最小值，即线段EM，
由已知易得∠MDH=30°，DM=DG=，
∴在直角△DMH中，MH=DM=，DH=，
∴EH=3+3=6，
在直角△MHE中，
本题主要考查了学生的知识迁移能力，熟练掌握等边三角形的性质和勾股定理是解题的关键.
3、B
【解析】横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得所得到的点的坐标为（2，3-1），再解即可．
【详解】解：将点P向下平移1个单位长度所得到的点坐标为（2，3-1），即（2，2），
故选：B．
此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握点的坐标的变化规律．
4、C
【分析】设方程中，，根据已知方程的解，即可求出关于t的方程的解，然后根据即可求出结论．
【详解】解：设方程中，
则方程变为
∵关于的方程的解为，，
∴关于的方程的解为，，
∴对于方程，或3
解得：，，
故选C．
此题考查的是根据已知方程的解，求新方程的解，掌握换元法是解决此题的关键．
5、C
【详解】解:由图可知，点B在第四象限．各选项中在第四象限的只有C．
故选C．
6、C
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB=AC，根据邻补角的定义求出∠AOB，然后判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OA=AB，然后求解即可．
【详解】∵矩形ABCD的两条对角线交于点O，
∴OA=OB=AC，
∵∠AOD=10°，
∴∠AOB=180°-∠AOD=180°-10°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=6，
∴AC=2OA=2×6=1．
故选C．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．
7、C
【分析】根据正方体的主视图与俯视图都是正方形，圆柱横着放置时，主视图与俯视图都是长方形，球体的主视图与俯视图都是圆形，只有圆锥的主视图与俯视图不同进行分析判定．
【详解】解：圆锥的主视图与俯视图分别为圆形、三角形，
故选：C．
本题考查简单的几何体的三视图，注意掌握从不同方向看物体的形状所得到的图形可能不同．
8、C
【分析】先计算出∠PBC+∠PCB＝45°，则∠BPC＝135°，利用圆周角定理可判断点P在以BC为弦的⊙O上，如图，连接OA交于P′，作所对的圆周角∠BQC，利用圆周角定理计算出∠BOC＝90°，从而得到△OBC为等腰直角三角形，四边形ABOC为正方形，所以OA＝BC＝2，OB=，根据三角形三边关系得到AP≥OA﹣OP（当且仅当A、P、O共线时取等号，即P点在P′位置），于是得到AP的最小值.
【详解】
解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACB＝45°，即∠PCB+∠PCA＝45°，
∵∠PBC＝∠PCA，
∴∠PBC+∠PCB＝45°，
∴∠BPC＝135°，
∴点P在以BC为弦的⊙O上，如图，连接OA交于P′，
作所对的圆周角∠BQC，则∠BCQ＝180°﹣∠BPC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BQC＝90°，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴四边形ABOC为正方形，
∴OA＝BC＝2，
∴OB＝BC＝，
∵AP≥OA﹣OP（当且仅当A、P、O共线时取等号，即P点在P′位置），
∴AP的最小值为2﹣．
故选：C．
本题考查了圆周角定理及等腰直角三角形的性质.
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
9、D
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【详解】解：∵x2+8x-3=0,
∴x2+8x=3,
∴x2+8x+16=3+16,
∴（x+4）2=19,
∴m=4，n=19,
故选：D．
配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
10、C
【详解】∵在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴AO=CO，∠AFO=∠CEO，
∵在△AFO和△CEO中，∠AFO=∠CEO，∠ FOA=∠EOC，AO=CO，
∴△AFO≌△CEO（AAS），
∴FO=EO，
∴四边形AECF平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形，
故选C.
11、C
【分析】根据概率的意义对A进行判断，根据必然事件、随机事件的定义对B、C进行判断，根据可能性的大小对D进行判断．
【详解】A、某种游戏活动的中奖率是30%，若参加这种活动10次不一定有3次中奖，所以该选项错误．
B、可能性很大的事件在一次实验中不一定必然发生，所以该选项错误；
C、相等的圆心角所对的弧相等是随机事件，所以该选项正确；
D、图钉上下不一样，所以钉尖朝上的概率和钉尖着地的概率不相同，所以该选项错误；
故选：C．
此题考查了概率的意义、比较可能性大小、必然事件以及随机事件，正确理解含义是解决本题的关键．
12、C
【解析】试题分析：由得，，即是判断函数与函数的图象的交点情况.
因为函数与函数的图象只有一个交点
所以方程只有一个实数根
故选C.
考点：函数的图象
点评：函数的图象问题是初中数学的重点和难点，是中考常见题，在压轴题中比较常见，要特别注意.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、或
【分析】根据正方形的内角为90°，以及同角的余角相等得出三角形的两个角相等，从而推知△ABE∽△ECF，得出，代入数值得到关于CE的一元二次方程，求解即可．
【详解】解：∵正方形ABCD，
∴∠B=∠C，∠BAE+∠BEA=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠BEA+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△ECF，
．
解得，CE=或．
故答案为：或．
考查了四边形综合题型，需要掌握三角形相似的判定与性质，正方形的性质以及一元二次方程的应用，解题的关键是根据相似三角形得出一元二次方程，难度不大．
14、x1=，x2=﹣
【解析】此题通过移项，然后利用直接开平方法解方程即可.
【详解】方程2x2﹣6=0，即x2=3，
开方得：x=±，
解得：x1=，x2=﹣，
故答案为：x1=，x2=﹣
此题主要考查了一元二次方程的解法—直接开平方法，比较简单.
15、1
【分析】由题意首先求得展开之后扇形的弧长也就是圆锥的底面周长，进一步利用弧长计算公式求得扇形的半径，即圆锥的母线l．
【详解】解：扇形的弧长=4×2π=8π，
可得=8π
解得：l=1．
故答案为：1．
本题考查圆锥的计算及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
16、2；
【分析】本题中已知了二次函数经过原点（1，1），因此二次函数与y轴交点的纵坐标为1，即m（m-2）=1，由此可求出m的值，要注意二次项系数m不能为1．
【详解】根据题意得：m(m−2)=1，
∴m=1或m=2，
∵二次函数的二次项系数不为零，所以m=2.
故填2.
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，需理解二次函数与y轴的交点的纵坐标即为常数项的值.
17、12
【分析】根据比例的性质即可求解．
【详解】∵，
∴，
故答案为：．
本题考查了比例的性质，解答本题的关键是明确比例的性质的含义．
18、2
【分析】首先根据平均数确定x的值，再利用方差公式S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，计算方差即可．
【详解】∵组数据的平均数是10，
∴(9+10+12+x+1)＝10，
解得：x＝11，
∴S2＝[[（9﹣10）2+（10﹣10）2+（12﹣10）2+（11﹣10）2+（1﹣10）2]，
＝×（1+0+4+1+4），
＝2．
故答案为：2．
本题考查了方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
三、解答题（共78分）
19、（1）见解析；（2）1
【分析】（1）根据两个角对应相等判定两个三角形相似即可；
（2）根据相似三角形的性质，对应边成比例即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
．
（2）．
，
，，，
，
，
．
答：线段的长为1．
本题考查了相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定方法和性质．
20、为米.
【分析】先证明，然后利用相似三角形的性质得到，从而代入求值即可.
【详解】解：依题意，得，，
∴.
∵，∴，∴.
∵，，，
∴，∴，∴，
∴白塔的高为米.
本题考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形对应边成比例是本题的解题关键.
21、，见解析
【分析】列表法展示所有等可能的结果数，找出甲、乙选择同1部电影的结果数，然后利用概率公式求解．
【详解】解：列表如下：
由表可知，共有9种等可能结果，其中选择同一部电影的结果为3种，
∴（他们选择同一部电影）．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
22、（1）﹣2≤x＜0或x≥4；（2）y＝﹣，y＝﹣x+2；（3）6
【分析】（1）根据图像即可得到答案；
（2）将点A（4，﹣2），B（﹣2，m）的坐标分别代入解析式即可得到答案；
(3) 过点B作BD⊥AC，根据点A、B的坐标求得AC、BD的长度，即可求得图形面积.
【详解】解：（1）由图象可知：不等式﹣x+n≤的解集为﹣2≤x＜0或x≥4；
（2）∵一次函数y＝﹣x+n的图象与反比例函数y＝的图象交于A（4，﹣2），B（﹣2，m）两点．
∴k＝4×（﹣2）＝﹣2m，﹣2＝﹣4+n
解得m＝4，k＝﹣8，n＝2，
∴反比例函数和一次函数的解析式分别为y＝﹣，y＝﹣x+2；
（3）由（2）知B(-2，4),
过点B作BD⊥AC,交AC的延长线于D，
∵A（4，﹣2），B(-2，4),
∴AC=2，BD=2+4=6，
S△ABC＝.
此题考查反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的关系，在求图像中三角形面积时用点的坐标表示线段的长度.
23、（16+5）米．
【详解】设AG=x．在Rt△AFG中，
∵tan∠AFG=，
∴FG=，在Rt△ACG中，
∵∠GCA=45°，
∴CG=AG=x，
∵DE=10，
∴x﹣=10，解得：x=15+5，
∴AB=15+5+1=16+5（米）．
答：电视塔的高度AB约为(16+5)米．
考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
24、（1）；（2）x＜﹣1或x＞3；（3）0＜x＜3；（4）y＝-x2+2x+1．
【分析】（1）列方程得到C（0，3），B（3，0），设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），列方程即可得到结论；
（2）由图象即可得到结论；
（3）由图象即可得到结论；
（4）当根据平移的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）对于y1＝﹣x+3，当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
当y＝0时，x＝3，
∴B（3，0），
∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
抛物线过点C（0，3），
∴3＝a（0+1）（0﹣3），
解得：a＝-1，
∴y＝-（x+1）（x﹣3）＝-x2+2x+3，
∴顶点D（1，4）；
（2）由图象知，当y2＜0时、x的取值范围为：x＜﹣1或x＞3；
（3）由图象知当y1＜y2时、x的取值范围为：0＜x＜3；
（4）当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，
∵抛物线向下平移2个单位，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3﹣2＝﹣x2+2x+1．
故答案为：（1）（1，4）；（2）x＜﹣1或x＞3；（3）0＜x＜3；（4）y＝x2+2x+1．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，及二次函数的性质，是一道综合性比较强的题，看懂图象是解题的关键.
25、（1）是，理由见解析；（2）；（1）或，且
【分析】（1）根据友好函数的定义，求出函数与x轴交点的横坐标以及与y轴交点的纵坐标，即可进行判断；
（2）先求出函数与y轴交点的纵坐标为c，再根据定义，可得当x=c时，y=0，据此可得出结果；
（1）分一下三种情况求解：（ⅰ）当在轴负半轴上时，由（2）可得：，进而可得出结果；（ⅱ）当在轴正半轴上时，且与不重合时，画出图像可得出结果；（ⅲ）当与原点重合时，不符合题意．
【详解】解：（1）是友好函数．理由如下：
当时，；当时，或1，
∴与轴一个交点的横坐标和与轴交点的纵坐标都是1．
故是友好函数．
（2）当时，，即与轴交点的纵坐标为．
∵是友好函数．
∴时，，即在上．
代入得：，而，∴．
（1）（ⅰ）当在轴负半轴上时，由（2）可得：，
即，显然当时，，
即与轴的一个交点为．
则，∴只需满足，即．
∴．
（ⅱ）当在轴正半轴上时，且与不重合时，
∴显然都满足为锐角．
∴，且．
（ⅲ）当与原点重合时，不符合题意．
综上所述，或，且．
本题主要考查二次函数的新定义问题以及二次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是理解题意．
26、（1）x1＝，x2＝﹣1；（2）x1＝，x2＝
【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）求出b2-4ac的值，再代入公式求出即可．
【详解】（1）x（2x﹣1）+2x﹣1＝0，
（2x﹣1）（x+1）＝0，
2x﹣1＝0，x+1＝0，
x1＝，x2＝﹣1；
（2）3x2﹣6x﹣2＝0，
这里a=3，b=-6，c=-2
b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×3×（﹣2）＝60，
x＝，
x1＝，x2＝．
本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．
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