资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（ ）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，AB=AC=13，BC=24，则tanB等于（ ）
A． B． C． D．
3．若一次函数的图像经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，小彬收集了三张除正面图案外完全相同的卡片，其中两张印有中国国际进口博览会的标志，另外一张印有进博会吉祥物“进宝”.现将三张卡片背面朝上放置，搅匀后从中一次性随机抽取两张，则抽到的两张卡片图案不相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．在开展“爱心捐助”的活动中，某团支部8名团员捐款的数额（单位：元）分别为3，5，6，5，6，5，5，10，这组数据的中位数是（ ）
A．3元 B．5元 C．5.5元 D．6元
6．矩形的周长为12cm，设其一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围均正确的是（ ）
A．y=﹣x2+6x（3＜x＜6） B．y=﹣x2+12x（0＜x＜12）
C．y=﹣x2+12x（6＜x＜12） D．y=﹣x2+6x（0＜x＜6）
7．已知如图，直线，相交于点，且，添加一个条件后，仍不能判定的是（ ）．
A． B． C． D．
8．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．（x﹣5）（x+2）＝0
C．x2﹣x+1＝0 D．x2＝1
9．把函数的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数的图象（ ）
A．向左平移个单位，再向下平移个单位
B．向左平移个单位，再向上平移个单位
C．向右平移个单位，再向上平移个单位
D．向右平移个单位，再向下平移个单位
10．顺次连接四边形ABCD各边的中点，所得四边形是（ ）
A．平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形
C．矩形
D．菱形
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．正五边形的每个内角为______度.
12．如果是从四个数中任取的一个数，那么关于的方程的根是负数的概率是________．
13．如图，∠XOY=45°，一把直角三角尺△ABC的两个顶点A、B分别在OX，OY上移动，其中AB=10，那么点O到顶点A的距离的最大值为_____．
14．反比例函数y＝的图象经过（1，y1），（3，y1）两点，则y1_____y1．（填“＞”，“＝”或“＜”）
15．如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP= ．
16．小亮和他弟弟在阳光下散步，小亮的身高为米，他的影子长米．若此时他的弟弟的影子长为米，则弟弟的身高为________米．
17．已知⊙O的内接正六边形的边心距为1．则该圆的内接正三角形的面积为_____．
18．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，若⊙O的半径为10，则的长为____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）求证：对角线相等的平行四边形是矩形．(要求：画出图形，写出已知和求证，并给予证明)
20．（6分）如图，内接于，直径交于点，延长至点，使，且，连接并延长交过点的切线于点，且满足，连接．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线．
21．（6分）定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“准菱形”，利用该定义完成以下各题：
（1）理解：如图1，在四边形ABCD中，若__________（填一种情况），则四边形ABCD是“准菱形”；
（2）应用：证明：对角线相等且互相平分的“准菱形”是正方形；（请画出图形，写出已知，求证并证明）
（3）拓展：如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1，将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BP方向平移得到△DEF，连接AD，BF，若平移后的四边形ABFD是“准菱形”，求线段BE的长．
22．（8分） “铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设.渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时.
（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米?
（2）专家建议：从安全的角度考虑,实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加小时，求m的值.
23．（8分）如图，AB是垂直于水平面的一座大楼，离大楼20米（BC＝20米）远的地方有一段斜坡CD（坡度为1：0.75），且坡长CD＝10米，某日下午一个时刻，在太阳光照射下，大楼的影子落在了水平面BC，斜坡CD，以及坡顶上的水平面DE处（A、B、C、D、E均在同一个平面内）．若DE＝4米，且此时太阳光与水平面所夹锐角为24°（∠AED＝24°），试求出大楼AB的高．（其中，sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）
24．（8分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A．
（1）求证：△BDC∽△ABC；
（2）若BC＝4，AC＝8，求CD的长．
25．（10分）某校组织了一次七年级科技小制作比赛，有A、B、C、D四个班共提供了100件参赛作品，C班提供的参赛作品的获奖率为50%，其他几个班的参赛作品情况及获奖情况绘制在下列图①和图②两幅尚不完整的统计图中.
（1）B班参赛作品有多少件？
（2）请你将图②的统计图补充完整；
（3）通过计算说明，哪个班的获奖率高？
26．（10分）已知二次函数的图像经过点（-2，40）和点（6，-8），求一元二次方程的根.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【详解】由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，
∴斜边为．
∴cos∠ABC=．
故选B．
2、B
【解析】如图，等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=24，
过A作AD⊥BC于D，则BD=12，
在Rt△ABD中，AB=13，BD=12，则，
AD=，
故tanB=.
故选B．
【点睛】考查的是锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质及勾股定理．
3、C
【分析】首先判断a、b的符号，再一一判断即可解决问题．
【详解】∵一次函数y＝ax＋b的图象经过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，故A错误；
，故B错误；
a2＋b＞0，故C正确，
a＋b不一定大于0，故D错误．
故选：C．
本题考查一次函数与不等式，解题的关键是学会根据函数图象的位置，确定a、b的符号，属于中考常考题型．
4、D
【分析】根据题意列出相应的表格，得到所有等可能出现的情况数，进而找出满足题意的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】设印有中国国际进口博览会的标志为“”，印有进博会吉祥物“进宝”为，由题列表为
所有的等可能的情况共有种，抽到的两卡片图案不相同的等可能情况共有种，
，
故选：D.
本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5、B
【分析】将这组数据从小到大的顺序排列，最中间两个位置的数的平均数为中位数．
【详解】将这组数据从小到大的顺序排列3，5，5，5，5，6，6，10，最中间两个位置的数是5和5，所以中位数为（5+5）÷2=5（元），
故选：B．
本题考查中位数，熟练掌握中位数的求法是解答的关键．
6、D
【分析】已知一边长为xcm，则另一边长为（6-x）cm，根据矩形的面积公式即可解答．
【详解】解：已知一边长为xcm，则另一边长为（6-x）cm．
则y=x（6-x）化简可得y=-x2+6x，（0＜x＜6），
故选：D．
此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，解题的关键是用x表示出矩形的另一边，此题难度一般．
7、C
【分析】根据全等三角形判定，添加或或可根据SAS或ASA或AAS得到.
【详解】添加或或可根据SAS或ASA或AAS得到，添加属SSA，不能证.
故选：C
考核知识点：全等三角形判定选择.熟记全等三角形的全部判定是关键.
8、C
【分析】分别计算出各选项中方程的判别式或方程的根，从而做出判断．
【详解】解：A．方程x2﹣2x﹣3＝0中△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，有两个不相等的实数根，不符合题意；
B．方程（x﹣5）（x+2）＝0的两根分别为x1＝5，x2＝﹣2，不符合题意；
C．方程x2﹣x+1＝0中△＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，没有实数根，符合题意；
D．方程x2＝1的两根分别为x1＝1，x2＝﹣1，不符合题意；
故选：C．
本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．
9、C
【分析】根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项．
【详解】抛物线的顶点坐标是，抛物线线的顶点坐标是，
所以将顶点向右平移个单位，再向上平移个单位得到顶点，
即将函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图象．
故选：C．
主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
10、A
【解析】试题分析：连接原四边形的一条对角线，根据中位线定理，可得新四边形的一组对边平行且等于对角线的一半，即一组对边平行且相等．则新四边形是平行四边形．
解：如图，根据中位线定理可得：GF=BD且GF∥BD，EH=BD且EH∥BD，
∴EH=FG，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
故选A．
考点：中点四边形．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】先求出正五边形的内角和，再根据正五边形的每个内角都相等，进而求出其中一个内角的度数．
【详解】解：正五边形的内角和是：（5﹣2）×180°＝540°，
则每个内角是：540÷5＝1°．
故答案为：1．
本题主要考查多边形的内角和计算公式，以及正多边形的每个内角都相等等知识点．
12、
【分析】解分式方程得，由方程的根为负数得出且，即a的取值范围，再从所列4个数中找到符合条件的结果数，从而利用概率公式计算可得．
【详解】解：
将方程两边都乘以，得：，
解得，
方程的解为负数，
且，
则且，
所以在所列的4个数中，能使此方程的解为负数的有0、-2这2个数，
则关于的方程的根为负数的概率为，
故答案为：．
本题主要考查了分式方程的解法和概率公式，解题的关键是掌握解分式方程的能力及随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
13、10
【分析】
当∠ABO=90°时，点O到顶点A的距离的最大，则△ABC是等腰直角三角形，据此即可求解．
【详解】
解：∵
∴当∠ABO=90°时，点O到顶点A的距离最大．
则OA=AB=10．
故答案是：10．
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，正确确定点O到顶点A的距离的最大的条件是解题关键．
14、＞
【分析】根据反比例函数的增减性，结合横坐标的大小关系，即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数，
∴图象在一、三象限，y随着x的增大而减小
∵
∴
故答案是：
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，采用的是利用反比例函数的增减性，结合横坐标的大小关系进行的解答．
15、1．
【分析】延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=CE求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【详解】如图，延长BQ交射线EF于M，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF∥BC．
∴∠M=∠CBM．
∵BQ是∠CBP的平分线，
∴∠PBM=∠CBM．
∴∠M=∠PBM．
∴BP=PM．
∴EP+BP=EP+PM=EM．
∵CQ=CE，
∴EQ=2CQ．
由EF∥BC得，
△MEQ∽△BCQ，
∴．
∴EM=2BC=2×6=1，
即EP+BP=1．
故答案为：1．
本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．
16、1.4
【解析】∵同一时刻物高与影长成正比例，
∴1.75：2=弟弟的身高：1.6，
∴弟弟的身高为1.4米．
故答案是：1.4.
17、4
【分析】作出⊙O及内接正六边形ABCDEF，连接OC、OB，过O作ON⊥CE于N，易得△COB是等边三角形，利用三角函数求出OC，ON，CN，从而得到CE，再求内接正三角形ACE的面积即可．
【详解】解：如图所示，连接OC、OB，过O作ON⊥CE于N，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COB=60°，
∵OC=OB，
∴△COB是等边三角形，
∴∠OCM=60°，
∴OM=OC•sin∠OCM，
∴OC=．
∵∠OCN=30°，
∴ON=OC=，CN=1，
∴CE=1CN=4，
∴该圆的内接正三角形ACE的面积=，
故答案为：4．
本题考查圆的内接多边形与三角函数，利用边心距求出圆的半径是解题的关键．
18、2π
【分析】利用正五边形的性质得出中心角度数，进而利用弧长公式求出即可．
【详解】解：如图所示：连接OA、OB．
∵⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径为10，
∴∠AOB＝＝72°，
∴的长为：．
故答案为：2π．
本题主要考查正多边形与圆、弧长公式等知识，得出圆心角度数是解题关键．
三、解答题(共66分)
19、见解析.
【解析】分析：首先根据题意写出已知和求证，再根据全等三角形的判定与性质，可得∠ACD与∠BCD的关系，根据平行四边形的邻角互补，可得∠ACD的度数，根据矩形的判定，可得答案．
详解：已知：如图，在□ABCD中， AC=BD. 求证：□ABCD是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD=BC，
在△ADC和△BCD中，
∵，
∴△ADC≌△BCD，
∴∠ADC=∠BCD．
又∵AD∥CB，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠ADC=∠BCD=90°．
∴平行四边形ABCD是矩形．
点睛：本题考查了矩形的判定，利用全等三角形的判定与性质得出∠ADC=∠BCD是解题关键．
20、（1）详见解析；（2）详见解析．
【分析】（1）根据切线的性质得到∠GAF=90°，根据平行线的性质得到AE⊥BC，根据圆周角定理即可得到结论；
（2）由DF=2OD，得到OF=3OD=3OC，由得到OC=OD=3OE，推出△COE∽△FOC，根据相似三角形的性质得到∠OCF=∠OEC=90°，于是得到CF是⊙O的切线．
【详解】解：(1) 是的切线，是的直径，
，
，
，
，
，
，
；
(2) ，
，
，
，
，
，
是的切线．
本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，根据切线的判定和性质去分析所缺条件是解题的关键．
21、 (1)答案不唯一，如AB＝BC.（2）见解析;(3) BE=2或或或.
【解析】整体分析：
(1)根据“准菱形”的定义解答，答案不唯一；(2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形，矩形的邻边相等时即是正方形；(3)根据平移的性质和“准菱形”的定义，分四种情况画出图形，结合勾股定理求解.
解：(1)答案不唯一，如AB＝BC.
(2)已知：四边形ABCD是“准菱形”，AB=BC，对角线AC，BO交于点O，且AC=BD，OA=OC，OB=OD.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
∵四边形ABCD是“准菱形”，AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形.
(3)由平移得BE=AD，DE=AB＝2，EF=BC＝1，DF=AC＝.
由“准菱形”的定义有四种情况：
①如图1，当AD＝AB时，BE＝AD＝AB＝2.
②如图2，当AD＝DF时，BE＝AD＝DF＝.
③如图3，当BF＝DF＝时，延长FE交AB于点H，则FH⊥AB.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC＝45°.
∴∠BEH＝∠ABE＝45°.∴BE＝BH.
设EH＝BH＝x，则FH＝x＋1，BE＝x.
∵在Rt△BFH中，BH2＋FH2＝BF2，
∴x2＋(x＋1)2＝()2，
解得x1＝1，x2＝－2(不合题意，舍去)，
∴BE＝x＝.
④如图4，当BF＝AB＝2时，与③)同理得：BH2＋FH2＝BF2.
设EH＝BH＝x，则x2＋(x＋1)2＝22，
解得x1＝，x2＝(不合题意，舍去)，
∴BE＝x＝.
综上所述，BE=2或或或.
22、（2）2600；（2）2．
【分析】（2）利用“从重庆到上海比原铁路全程缩短了32千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了l2千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用26小时”，分别得出等式组成方程组求出即可；
（2）根据题意得出：进而求出即可．
【详解】试题解析：（2）设原时速为xkm/h，通车后里程为ykm，则有：，
解得：，
答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是2600千米；
（2）由题意可得出：，
解得：，（不合题意舍去），
答：m的值为2．
考点：2．一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用．
23、21.1米．
【分析】延长ED交AB于G，作DH⊥BF于H，可得四边形 DHBG是矩形，从而得DG＝BH，DH＝BG，再根据条件解直角△DCH和直角△AEG即可求出结果.
【详解】解：延长ED交AB于G，作DH⊥BF于H，
∵DE∥BF，
∴四边形 DHBG是矩形，
∴DG＝BH，DH＝BG，
∵＝，CD＝10，
∴DH＝8，CH＝6，
∴GE＝20+4+6＝30，
∵tan24°＝＝0.41，
∴AG＝13.1，
∴AB＝AG+BG＝13.1+8＝21.1．
答：大楼AB的高为21.1米．
本题考查了解直角三角形的应用之坡度问题，正确作出辅助线、熟练掌握解直角三角形的知识是解题的关键.
24、（1）证明见解析；（1）CD＝1．
【解析】（1）根据相似三角形的判定得出即可；
（1）根据相似得出比例式，代入求出即可．
【详解】解：（1）∵∠DBC＝∠A，∠BCD＝∠ACB，
∴△BDC∽△ABC；
（1）∵△BDC∽△ABC，
∴，
∵BC＝4，AC＝8，
∴CD＝1．
本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质.
25、（1）B班参赛作品有25件；（2）补图见解析；（3）C班的获奖率高.
【分析】（1）直接利用扇形统计图中百分数，求出B班所占的百分比，进而求出B班参赛作品数；
（2）利用C班提供的参赛作品的获奖率为50%，结合C班参赛数量得出获奖数量，从而补全统计图；
（3）分别求出各班的获奖率，进行比较从而得出答案.
【详解】解：（1）B班参赛作品有；
（2）C班参赛作品获奖数量为，
补图如下：
；
（3）A班的获奖率为 ，
B班的获奖率为，
C班的获奖率为50%，
D班的获奖率为，
故C班的获奖率高.
26、x1=2，x2=8.
【分析】把已知两点坐标代入二次函数解析式求出a与b的值，代入方程计算即可求出解．
【详解】解：将点（-2，40）和点（6，-8）代入二次函数得,
解得：
∴求得二次函数关系式为，
当y=0时，，
解得x1=2，x2=8.
此题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点与根的判别式有关：根的判别式大于0，有两个交点；根的判别式大于0，没有交点；根的判别式等于0，有一个交点．
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