资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解析式为（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是( )
A．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
D．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
3．掷一枚质地均匀的硬币次，下列说法中正确的是（ ）
A．可能有次正面朝上 B．必有次正面朝上
C．必有次正面朝上 D．不可能次正面朝上
4．已知的直径是8，直线与有两个交点，则圆心到直线的距离满足（ ）
A． B． C． D．
5．下列事件中，是随机事件的是( )
A．任意画两个直角三角形，这两个三角形相似 B．相似三角形的对应角相等
C．⊙O的半径为5，OP＝3，点P在⊙O外 D．直径所对的圆周角为直角
6．等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（ ）
A．17 B．22 C．17或22 D．13
7．一元二次方程x2﹣4x+5＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
8．已知圆锥的底面半径是4，母线长是9，则圆锥侧面展开图的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示为两把按不同比例尺进行刻度的直尺，每把直尺的刻度都是均匀的，已知两把直尺在刻度10处是对齐的，且上面的直尺在刻度15处与下面的直尺在刻度18处也刚好对齐，则上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度是（ ）
A．19.4 B．19.5 C．19.6 D．19.7
10．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC．若AD=6，DB=3，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，从一块矩形铁片中间截去一个小矩形，使剩下部分四周的宽度都等于，且小矩形的面积是原来矩形面积的一半，则的值为_________．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，以点C为圆心，CB的长为半径画弧，与AB边交于点D，将绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为_____．
13．建国70周年阅兵式中，三军女兵方队共352人，其中领队2人，方队中，每排的人数比排数多11，则女兵方队共有____________排，每排有__________人．
14．矩形的对角线长13，一边长为5，则它的面积为_____．
15．如图，已知反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象经过点A，过A点作AB⊥x轴，垂足为B，若△AOB的面积为1，则k=________________．
16．有一个能自由转动的转盘如图，盘面被分成8个大小与性状都相同的扇形，颜色分为黑白两种，将指针的位置固定，让转盘自由转动，当它停止后，指针指向白色扇形的概率是 ．
17．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，已知关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的一个解为x1＝1，则该方程的另一个解为x2＝_____．
18．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点C为弧AB的中点，D为半径OA上一点，点A关于直线CD的对称点为E，若点E落在半径OA上，则OE＝______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）解方程：．
20．（6分）（1）计算：；
（2）解方程：．
21．（6分）如图，在中，，矩形的顶点、分别在边、上，、在边上．
（1）求证：∽；
（2）若，则面积与面积的比为 ．
22．（8分）阅读下面内容，并按要求解决问题： 问题：“在平面内，已知分别有个点，个点，个点，5 个点，…，n 个点，其中任意三 个点都不在同一条直线上.经过每两点画一条直线，它们可以分别画多少条直线？ ” 探究：为了解决这个问题，希望小组的同学们设计了如下表格进行探究：（为了方便研 究问题，图中每条线段表示过线段两端点的一条直线）
请解答下列问题：
（1）请帮助希望小组归纳，并直接写出结论：当平面内有个点时，直线条数为 ；
（2）若某同学按照本题中的方法，共画了条直线，求该平面内有多少个已知点.
23．（8分）如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与BC边交于点E，⊙O过AB上一点D，且DE∥AO，CE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长．
24．（8分）如图，在锐角△ABC中，小明进行了如下的尺规作图：
①分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q；
②作直线PQ分别交边AB、BC于点E、D．
（1）小明所求作的直线DE是线段AB的 ；
（2）联结AD，AD＝7，sin∠DAC＝，BC＝9，求AC的长．
25．（10分）如图，为反比例函数(x>0)图象上的一点，在轴正半轴上有一点，.连接，，且.
(1)求的值；
(2)过点作，交反比例函数(x>0)的图象于点，连接交于点，求的值.
26．（10分）如图，是的角平分线，延长到，使.
（1）求证：.
（2）若，，，求的长.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】根据二次函数图像左加右减，上加下减的平移规律即可确定答案．
【详解】解：抛物线y=-3x2向右平移1个单位的解析式为：y=-3（x-1）2；
再向下平移2个单位，得：y=-3（x-1）2-2.
故选：A．
本题主要考查了二次函数图像的平移，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解答本题的关键．
2、D
【分析】根据矩形、正方形、菱形的判定方法一一判断即可；
【详解】A、一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故本选项不符合题意；
B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故本选项不符合题意；
C、对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形，故本选项不符合题意；
D、对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，正确．
故选：D．
本题考查矩形、正方形、菱形的判定方法，属于中考常考题型．
3、A
【分析】根据随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，可得答案.
【详解】解：．掷一枚质地均匀的硬币次，可能有2次正面朝上，故本选项正确；
．掷一枚质地均匀的硬币次，有可能有次正面朝上，故本选项错误；
．掷一枚质地均匀的硬币次，有可能有次正面朝上，故本选项错误；
．掷一枚质地均匀的硬币次，有可能有次正面朝上，故本选项错误；
故选：．
本题考查的知识点是随机事件的概念，理解随机事件的概念是解题的关键.
4、B
【分析】先求出圆的半径,再根据直线与圆的位置关系与d和r的大小关系即可得出结论．
【详解】解:∵的直径是8
∴的半径是4
∵直线与有两个交点
∴0≤d＜4（注：当直线过圆心O时，d=0）
故选B．
此题考查的是根据圆与直线的位置关系求圆心到直线的距离的取值范围，掌握直线与圆的位置关系与d和r的大小关系是解决此题的关键．
5、A
【分析】根据相似三角形的判定定理、相似三角形的性质定理、点与圆的位置关系、圆周角定理判断即可.
【详解】解：A、任意画两个直角三角形，这两个三角形相似是随机事件，符合题意；
B、相似三角形的对应角相等是必然事件，故不符合题意；
C、⊙O的半径为5，OP＝3，点P在⊙O外是不可能事件，故不符合题意；
D、直径所对的圆周角为直角是必然事件，故不符合题意；
故选：A.
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．也考查了相似三角形的判定与性质，点与圆的位置关系，圆周角定理等知识.
6、B
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：分两种情况：
当腰为4时，4＋4＜9，不能构成三角形；
当腰为9时，4＋9＞9，所以能构成三角形，周长是：9＋9＋4＝1．
故选B．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键．
7、A
【解析】首先求出一元二次方程根的判别式，然后结合选项进行判断即可．
【详解】解：∵一元二次方程，
∴△＝，
即△＜0，
∴一元二次方程无实数根，
故选A．
本题主要考查了根的判别式的知识，解题关键是要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
8、D
【分析】先根据圆的周长公式计算出圆锥的底面周长，然后根据扇形的面积公式，即可求出圆锥侧面展开图的面积.
【详解】解：圆锥的底面周长为：2×4=，
则圆锥侧面展开图的面积是.
故选：D.
此题考查的是求圆锥的侧面面积，掌握圆的周长公式和扇形的面积公式是解决此题的关键.
9、C
【分析】根据两把直尺在刻度10处是对齐的及上面直尺的刻度11与下面直尺对应的刻度是11.6，得出上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度，进而判断出上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度即可．
【详解】解：由于两把直尺在刻度10处是对齐的， 观察图可知上面直尺的刻度11与下面直尺对应的刻度是11.6，即上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度，
且上面的直尺在刻度15处与下面的直尺在刻度18处也刚好对齐，
因此上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度是18+1.6=19.6，
故答案为C
本题考查了学生对图形的观察能力，通过图形得出上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度是解题的关键．
10、A
【分析】先求出AB，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴；
故选：A．
本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】本题中小长方形的长为（80−2x）cm，宽为（60−2x）cm，根据“小长方形的面积是原来长方形面积的一半”可列出方程（80−2x）（60−2x）＝×80×60，解方程从而求解．
【详解】因为小长方形的长为（80−2x）cm，宽为（60−2x）cm，则其面积为（80−2x）（60−2x）cm2
根据题意得：（80−2x）（60−2x）＝×80×60
整理得：x2−70x＋600＝0
解之得：x1＝1，x2＝60
因x＝60不合题意，应舍去
所以x＝1．
故答案为：1.
此题解答时应结合图形，分析出小长方形的长与宽，利用一元二次方程求解，另外应判断解出的解是否符合题意，进而确定取舍．
12、．
【分析】根据题意，用的面积减去扇形的面积，即为所求.
【详解】由题意可得，
AB＝2BC，∠ACB＝90°，弓形BD与弓形AD完全一样，
则∠A＝30°，∠B＝∠BCD＝60°，
∵CB＝4，
∴AB＝8，AC＝4，
∴阴影部分的面积为：＝，
故答案为：．
本题考查不规则图形面积的求法，属中档题.
13、14； 1
【分析】先设三军女兵方队共有排，则每排有()人，根据三军女兵方队共352人可列方程求解即可．
【详解】设三军女兵方队共有排，则每排有()人，根据题意得：
，
整理，得．
解得：(不合题意，舍去)，
则（人）．
故答案为：14，1．
本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
14、1
【分析】先运用勾股定理求出另一条边，再运用矩形面积公式求出它的面积．
【详解】∵对角线长为13，一边长为5，
∴另一条边长＝＝12，
∴S矩形＝12×5＝1；
故答案为：1．
本题考查了矩形的性质以及勾股定理，本题关键是运用勾股定理求出另一条边．
15、-1
【解析】试题解析：设点A的坐标为(m，n)，因为点A在y=的图象上，所以，有mn＝k，△ABO的面积为＝1，∴=1，∴=1，∴k=±1，由函数图象位于第二、四象限知k<0，∴k=-1．
考点：反比例外函数k的几何意义.
16、
【详解】解：∵每个扇形大小相同，因此阴影面积与空白的面积相等，
∴落在白色扇形部分的概率为：=．
故答案为．
考点：几何概率
17、﹣1
【分析】函数的对称轴为：x=-1，由抛物线与x轴交点是关于对称轴的对称即可得到答案．
【详解】解：函数的对称轴为：x=-1，其中一个交点坐标为（1，0），
则另外一个交点坐标为（-1，0），
故答案为-1．
本题考查了抛物线与x轴的交点，根据函数的对称性即可求解．
18、1﹣1
【分析】连接OC，作EF⊥OC于F，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC=30°，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到∠ECF=15°，根据正切的定义列式计算，得到答案．
【详解】连接OC，作EF⊥OC于F，
∵点A关于直线CD的对称点为E，点E落在半径OA上，
∴CE=CA，
∵=，
∴∠AOC=∠AOB=30°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=75°，
∵CE=CA，
∴∠CAE=∠CEA=75°，
∴∠ACE=30°，
∴∠ECF=∠OCA-∠ACE=75°-30°=15°，
设EF=x，则FC=x，
在Rt△EOF中，tan∠EOF=，
∴OF==，
由题意得，OF+FC=OC，即x+x=1，
解得，x=2﹣2，
∵∠EOF=30°，
∴OE=2EF=1﹣1，
故答案为：1﹣1．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系、解直角三角形的应用、三角形内角和定理，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、，
【分析】通过观察方程形式，利用二次三项式的因式分解法解方程比较简单．
【详解】解：原方程变形为
∴，．
此题考查因式分解法解一元二次方程，解题关键在于掌握运算法则．
20、（1）；（2），
【分析】（1）利用特殊角的三角函数值计算即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）原式=
（2）原方程可变形为
或
本题主要考查特殊角的三角函数值及解一元二次方程，掌握特殊角的三角函数值及因式分解法是解题的关键．
21、（1）见解析；（2）1．
【分析】（1）先证∠AGD=∠B，再根据∠ADG=∠BEF=90°，即可证明；
（2）由（1）得∽，则△ADG面积与△BEF面积的比= =1．
【详解】（1）证：在矩形中，=90°
∴=90°
∵=90°
∴=90°
∴
在和中
∵,=90°
∴∽
（2）解：∵四边形DEFG为矩形，
∴GD=EF，
∵△ADG∽△FEB，
∴
故答案为1．
本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意证得△ADG∽△FEB是解答本题的关键．
22、（1）；（2）8.
【分析】（1）根据过两点的直线有1条，过不在同一直线上的三点的直线有3条，过任何三点都不在一条直线上四点的直线有6条，按此规律，由特殊到一般，总结出公式：；（2）将28代入公式求n即可.
【详解】解：（1）当平面内有2个点时，可以画条直线；
当平面内有3个点时，可以画条直线；
当平面内有4个点时，可以画条直线；
…
当平面内有n（n≥2）个点时，可以画条直线；
设该平面内有 个已知点.
由题意，得
解得（舍）
答：该平面内有个已知点
此题是探求规律题并考查解一元二次方程，读懂题意，找出规律是解题的关键，解题时候能够进行知识的迁移是一种重要的解题能力．
23、（1）见解析；（2）AC＝1
【分析】（1）要证AB切线，连接半径OD，证∠ADO＝90°即可，由∠ACB＝90°，由OD＝OE，DE∥OA，可得∠AOD＝∠AOC，证△AOD≌△AOC（SAS）即可，
（2）AB是⊙O的切线，∠BDO＝90°，由勾股定理求BE，BC＝BE+EC可求，利用AD，AC是⊙O的切线长，设AD＝AC＝x，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2构造方程求AC即可．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE，
∵DE∥OA，
∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，
∴∠AOD＝∠AOC，
∵AC是切线，
∴∠ACB＝90°，
在△AOD和△AOC中
，
∴△AOD≌△AOC（SAS），
∴∠ADO＝∠ACB＝90°，
∵OD是半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的切线，
∴∠BDO＝90°，
∴BD2+OD2＝OB2，
∴42+32＝（3+BE）2，
∴BE＝2，
∴BC＝BE+EC＝8，
∵AD，AC是⊙O的切线，
∴AD＝AC，
设AD＝AC＝x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
∴（4+x）2＝x2+82，
解得：x＝1，
∴AC＝1．
本题考查AB切线与切线长问题，掌握连接半径OD，证∠ADO＝90°是证切线常用方法，利用△AOD≌△AOC（SAS）来实现目标，先在Rt△BOD，用勾股定理求BE，再利用AD，AC是⊙O的切线长，在Rt△ABC中，用勾股定理构造方程求AC是解题关键．
24、（1）线段AB的垂直平分线（或中垂线）；（2）AC＝5．
【解析】（1）垂直平分线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线
（2）根据题意垂直平分线定理可得AD＝BD，得到CD＝2，又因为已知sin∠DAC=，故可过点D作AC垂线，求得DF=1，利用勾股定理可求得AF，CF，即可求出AC长.
【详解】（1）小明所求作的直线DE是线段AB的垂直平分线（或中垂线）；
故答案为线段AB的垂直平分线（或中垂线）；
（2）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，如图，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD＝7
∴CD＝BC﹣BD＝2，
在Rt△ADF中，∵sin∠DAC＝，
∴DF＝1，
在Rt△ADF中，AF＝，
在Rt△CDF中，CF＝，
∴AC＝AF+CF＝．
本题考查了垂直平分线的尺规作图方法，三角函数和勾股定理求线段长度，解本题的关键是充分利用中垂线，将已知条件与未知条件结合起来解题.
25、 (1)k=12；(2).
【分析】(1)过点作交轴于点，交于点，易知OH长度，在直角三角形OHA中得到AH长度，从而得到A点坐标，进而算出k值；（2）先求出D点坐标，得到BC长度，从而得到AM长度，由平行线得到，所以
【详解】解：
(1)过点作交轴于点，交于点.
(2)
本题主要考查反比例函数与相似三角形的综合问题，难度不大，解题关键在于求出k
26、（1）见解析，（2）BC=3.
【分析】（1）由AD是角平分线可得∠BAD=∠CAD，根据AC=CE可得∠CAD=∠E即可证明∠BAD=∠E，又因为对顶角相等，即可证明△ABD∽△ECD；（2）根据相似三角形的性质可得CD的长，进而可求出BC的长.
【详解】（1）∵是的角平分线，
∴.
∵，
∴.
∴.
又∵∠ADB=∠CDE
∴.
（2）∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的对应边成比例，熟练掌握判定定理是解题关键.
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