资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1． “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“CD为的直径，弦，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长”，依题意得CD的长为（ ）
A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸
2．下列方程中没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，双曲线的一个分支为（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5．已知二次函数，当时随的增大而减小，且关于的分式方程的解是自然数，则符合条件的整数的和是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
6．如图，双曲线经过斜边上的中点，且与交于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．下列有关圆的一些结论①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接四边形对角互补．其中正确的结论是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
8．若2y－7x＝0，则x∶y等于（ ）
A．2∶7 B．4∶7 C．7∶2 D．7∶4
9．已知3x＝4y（x≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．圆锥的底面半径为1，母线长为2，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在中，，则劣弧的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．下面四个图案分别是步行标志、禁止行人通行标志、禁止驶入标志和直行标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A处透过窗户E发现乙楼F处出现火灾，此时A,E,F在同一直线上.跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m高的D处喷出，水流正好经过E,F. 若点B和点E、点C和F的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移0.4m，再向左后退了____m，恰好把水喷到F处进行灭火．
14．如图，三个顶点的坐标分别为，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到，已知点的坐标是，则点的坐标是______.
15．若＝2，则＝_____．
16．做任意抛掷一只纸杯的重复实验，部分数据如下表
抛掷次数
50
100
500
800
1500
3000
5000
杯口朝上的频率
0.1
0.15
0.2
0.21
0.22
0.22
0.22
根据上表，可估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率约为__________．
17．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是75°、45°，则∠1的度数为_____.
18．点A(1,-2)关于原点对称的点A1的坐标为________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）五一期间，小红和爸爸妈妈去开元寺参观，对东西塔这对中国现存最高也是最大的石塔赞叹不已，也对石塔的高度产生了浓厚的兴趣．小红进行了以下的测量：她到与西塔距离27米的一栋大楼处，在楼底A处测得塔顶B的仰角为60°，再到楼顶C处测得塔顶B的仰角为30°．那么你能帮小红计算西塔BD和大楼AC的高度吗？
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直半径OA，C为垂足，DE＝6，连接DB，，过点E作EM∥BD，交BA的延长线于点M．
（1）求的半径；
（2）求证：EM是⊙O的切线；
（3）若弦DF与直径AB相交于点P，当∠APD＝45°时，求图中阴影部分的面积．
21．（8分）一个不透明的布袋里装有2个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同．
（1）从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是 ；
（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图等方法求出两次摸到的球是同色的概率．
22．（10分）（1）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2cm，b＝3cm，d＝6cm，求线段c的长；
（2）已知，且a+b﹣5c＝15，求c的值．
23．（10分）如图，直线l的解析式为y＝x，反比例函数y＝（x＞0）的图象与l交于点N，且点N的横坐标为1．
（1）求k的值；
（2）点A、点B分别是直线l、x轴上的两点，且OA＝OB＝10，线段AB与反比例函数图象交于点M，连接OM，求△BOM的面积．
24．（10分）假期期间，甲、乙两位同学到某影城看电影，影城有《我和我的祖国》（记为）、《中国机长》（记为）、《攀登者》（记为）三部电影，甲、乙两位同学分别从中任选一部观看，每部被选中的可能性相同．用树状图或列表法求甲、乙两位同学选择同一部电影的概率．
25．（12分）如图，已知在△ABC中，AD是∠BAC平分线，点E在AC边上，且∠AED=∠ADB．
求证：（1）△ABD∽△ADE； （2）AD2=AB·AE.
26．某学校为了了解名初中毕业生体育考试成绩的情况（满分分，得分为整数），从中随机抽取了部分学生的体育考试成绩，制成如下图所示的频数分布直方图.已知成绩在这一组的频率为.请回答下列问题：
（1）在这个调查中，样本容量是______________；平均成绩是_________________；
（2）请补全成绩在这一组的频数分布直方图；
（3）若经过两年的练习，该校的体育平均成绩提高到了分，求该校学生体育成绩的年平均增长率.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】连接AO，设直径CD的长为寸，则半径OA=OC=寸，然后利用垂径定理得出AE，最后根据勾股定理进一步求解即可.
【详解】
如图，连接AO，
设直径CD的长为寸，则半径OA=OC=寸，
∵CD为的直径，弦，垂足为E，AB=10寸，
∴AE=BE=AB=5寸，
根据勾股定理可知，
在Rt△AOE中，，
∴，
解得：，
∴，
即CD长为26寸.
本题主要考查了垂径定理与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
2、D
【分析】分别计算出判别式△＝b2−4ac的值，然后根据判别式的意义分别判断即可．
【详解】解：A、△＝＝5＞0，方程有两个不相等的实数根；
B、△＝32−4×1×2＝1＞0，方程有两个不相等的实数根；
C、△＝112−4×2019×（−20）＝161641＞0，方程有两个不相等的实数根；
D、△＝12−4×1×2＝−7＜0，方程没有实数根．
故选：D．
本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2−4ac的意义，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
3、C
【分析】根据勾股定理求出a，然后根据正弦的定义计算即可．
【详解】解：根据勾股定理可得a=
∴
故选C．
此题考查的是勾股定理和求锐角三角函数值，掌握利用勾股定理解直角三角形和正弦的定义是解决此题的关键．
4、D
【解析】∵在中，k=8＞0，
∴它的两个分支分别位于第一、三象限，排除①②；
又当=2时，=4，排除③；
所以应该是④．
故选D．
5、A
【分析】由二次函数的增减性可求得对称轴，可求得a取值范围，再求分式方程的解，进行求解即可．
【详解】解：
∵y=-x2+（a-2）x+3，
∴抛物线对称轴为x= ，开口向下，
∵当x＞2时y随着x的增大而减小，
∴≤2，解得a≤6，
解关于x的分式方程可得x=，且x≠3，则a≠5，
∵分式方程的解是自然数，
∴a+1是2的倍数的自然数，且a≠5，
∴符合条件的整数a为：-1、1、3，
∴符合条件的整数a的和为：-1+1+3=3，
故选：A．
此题考查二次函数的性质，由二次函数的性质求得a的取值范围是解题的关键．
6、B
【分析】设，根据A是OB的中点，可得，再根据，点D在双曲线上，可得，根据三角形面积公式列式求出k的值即可．
【详解】设
∵A是OB的中点
∴
∵，点D在双曲线上
∴
∴
∵
∴
故答案为：B．
本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质、中点的性质、三角形面积公式是解题的关键．
7、D
【分析】根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、圆内接四边形的性质进行判断即可得到正确结论．
【详解】解：①不共线的三点确定一个圆，故①表述不正确；
②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故②表述不正确；
③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故③表述不正确；
④圆内接四边形对角互补，故④表述正确．
故选D．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，垂径定理的推论，半圆与弧的定义，圆内接四边形的性质，熟练掌握定义与性质是解题的关键．
8、A
【分析】由2y－7x＝0可得2y＝7x，再根据等式的基本性质求解即可.
【详解】解：∵2y－7x＝0
∴2y＝7x
∴x∶y＝2∶7
故选A.
比例的性质，根据等式的基本性质2进行计算即可，是基础题，比较简单．
9、B
【解析】根据比例的基本性质：内项之积等于外项之积，逐项判断即可．
【详解】A、由＝得4x＝3y，故本选项错误；
B、由＝得3x＝4y，故本选项正确；
C、由＝得xy＝12，故本选项错误；
D、由＝得4x＝3y，故本选项错误；
故选：B．
本题考查了比例的基本性质，熟练掌握内项之积等于外项之积是解题的关键．
10、B
【分析】根据题意得出圆锥的底面半径为1，母线长为2，直接利用圆锥侧面积公式求出即可．
【详解】依题意知母线长为：2，底面半径r=1，
则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×1×2=2π．
故选：B．
此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，对圆锥的侧面面积公式运用不熟练，易造成错误．
11、A
【解析】注意圆的半径相等，再运用“等腰三角形两底角相等”即可解．
【详解】连接OA，
∵OA=OB，∠B=37°
∴∠A=∠B=37°，∠O=180°-2∠B=106°．
故选：A
本题考核知识点：利用了等边对等角，三角形的内角和定理求解 解题关键点：熟记圆心角、弧、弦的关系；三角形内角和定理．
12、C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即可得出答案．
【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：C．
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【详解】设直线AE的解析式为:y=kx+21.2.
把E（20,9.2）代入得，20k+21.2=9.2,
∴k=-0.6,
∴y=-0.6x+21.2.
把y=6.2代入得，
-0.6x+21.2=6.2，
∴x=25,
∴F(25,6.2).
设抛物线解析式为：y=ax2+bx+1.2,
把E（20,9.2）, F(25,6.2)代入得，
，解之得：，
∴y=-0.04x2+1.2x+1.2，
设向上平移0.4m，向左后退了hm, 恰好把水喷到F处进行灭火由题意得
y=-0.04(x+h)2+1.2(x+h)+1.2+0.4,
把F(25,6.2)代入得，
6.2=-0.04×(25+h)2+1.2(25+h)+1.2+0.4，整理得：h2+20h-10=0,
解之得： ,（舍去）.
∴向后退了m
故答案是：
本题考查了二次函数和一次函数的实际应用，设直线AE的解析式为:y=kx+21.2.
把E（20,9.2）代入求出直线解析式，从而求出点F的坐标.把E（20,9.2）, F(25,6.2)代入y=ax2+bx+1.2求出二次函数解析式.设向左平移了hm，表示出平移后的解析式，把点F的坐标代入可求出k的值.
14、（1，2）
【解析】解：∵点A的坐标为（2，4），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，∴点A′的坐标是（2×，4×），即（1，2）．故答案为（1，2）．
15、1
【分析】根据=1，得出x=1y，再代入要求的式子进行计算即可．
【详解】∵=1，
∴x=1y，
∴；
故答案为：1．
本题主要考查了比例的基本性质．解答此题的关键是根据比例的基本性质求得x=1y．
16、0.1
【解析】观察表格的数据可以得到杯口朝上的频率，然后用频率估计概率即可求解．
【详解】解：依题意得杯口朝上频率逐渐稳定在0.1左右，
估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率约为0.1．
故答案为：0.1．
本题考查利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决问题．
17、15°
【分析】根据圆周角和圆心角的关系解答即可．
【详解】解：由图可知，∠AOB＝75°﹣45°＝30°，
根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半可知，
∠1＝∠AOB＝×30°＝15°．
故答案为15°
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
18、（-1,2）
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【详解】解：∵点A（1，-2）与点A1（-1，2）关于原点对称，
∴A1（-1，2）．
故答案为：（-1，2）．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、西塔BD的高度为27米，大楼AC的高度为米.
【分析】作CE⊥BD于E，根据正切的定义求出BD，根据正切的定义求出BE，计算求出DE，得到AC 的长．
【详解】解：作CE⊥BD于E，
则四边形ACED为矩形，
∴CE=AD=27，AC=DE，
在Rt△BAD中，tan∠BAD=，
则BD=AD•tan∠BAD=27，
在Rt△BCE中，tan∠BCE=，
则BE=CE•tan∠BCE=，
∴AC=DE=BD-BE=，
答：西塔BD的高度为27米，大楼AC的高度为米.
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
20、⑴ OE＝2；⑵ 见详解 ⑶
【分析】（1） 连结OE,根据垂径定理可以得到，得到∠AOE =60º，OC=OE，根据勾股定理即可求出.
（2） 只要证明出∠OEM=90°即可，由(1)得到∠AOE =60º，根据EM∥BD，∠B=∠M=30°，即可求出.
（3） 连接OF,根据∠APD＝45°，可以求出∠EDF＝45º，根据圆心角为2倍的圆周角，得到∠BOE，用扇形OEF面积减去三角形OEF面积即可.
【详解】（1）连结OE
∵DE垂直OA，∠B=30°∴CE＝DE＝3，
∴∠AOE＝2∠B=60º，∴∠CEO=30°，OC=OE
由勾股定理得OE＝
（2） ∵EM∥BD，
∴∠M＝∠B＝30º，∠M+∠AOE=90º
∴∠OEM＝90º，即OE⊥ME，
∴EM是⊙O的切线
（3）再连结OF，当∠APD＝45º时，∠EDF＝45º， ∴∠EOF＝90º
S阴影＝ ＝
本题主要考查了圆的切线判定、垂径定理、平行线的性质定理以及扇形面积的简单计算，熟记概念是解题的关键.
21、（1）；（2）
【分析】（1）根据等可能事件的概率公式，即可求解；
（2）根据题意，列出表格，可知：总共有12种等可能的情况，摸出颜色相同的情况有4种，进而即可求解．
【详解】（1）P(摸到红球)==；
（2）列表分析如下（同色用“√”，异色用“×”表示）：
白1
白2
红1
红2
白1
√
×
×
白2
√
×
×
红1
×
×
√
红2
×
×
√
∴（两次摸到同色球）．
本题主要考查等可能事件的概率，掌握列表法和概率公式，是解题的关键．
22、 (1)1;(2)-1
【分析】（1）根据比例线段的定义得到a：b=c：d，然后把a=2cm，b=3cm，d=6cm代入进行计算即可；
（2）设=k，得出a=2k，b=3k，c=1k，代入a+b-5c=15，求出k的值，从而得出c的值．
【详解】（1）∵a，b，c，d是成比例线段
∴，
即，
∴c=1；
（2）设=k，则a=2k，b=3k，c=1k，
∵a+b-5c=15
∴2k+3k-20k=15
解得：k=-1
∴c=-1．
此题考查比例线段，解题关键是理解比例线段的概念，列出比例式，用到的知识点是比例的基本性质．
23、（1）27；（2）2
【分析】（1）把x＝1代入y＝x，求得N的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值；
（2）根据勾股定理求得A的坐标，然后利用待定系数法求得直线AB的解析式，再和反比例函数的解析式联立，求得M的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得△BOM的面积．
【详解】解：（1）∵直线l经过N点，点N的横坐标为1，
∴y＝×1＝，
∴N（1，），
∵点N在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝1×＝27；
（2）∵点A在直线l上，
∴设A（m，m），
∵OA＝10，
∴m2+（m）2＝102，解得m＝8，
∴A（8，1），
∵OA＝OB＝10，
∴B（10，0），
设直线AB的解析式为y＝ax+b，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣3x+30，
解得或，
∴M（9，3），
∴△BOM的面积＝＝2．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式和一次函数的解析式，求得、点的坐标是解题的关键.
24、，见解析
【分析】列表法展示所有等可能的结果数，找出甲、乙选择同1部电影的结果数，然后利用概率公式求解．
【详解】解：列表如下：
由表可知，共有9种等可能结果，其中选择同一部电影的结果为3种，
∴（他们选择同一部电影）．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
25、 (1)、证明过程见解析；(2)、证明过程见解析
【分析】试题分析：(1)、根据角平分线得出∠BAD=∠DAE，结合∠AED=∠ADB得出相似；(2)、根据相似得出答案.
【详解】试题解析：(1)、∵AD是∠BAC平分线 ∴∠BAD=∠DAE 又∵∠AED=∠ADB ∴△ABD∽△ADE
(2)、∵△ABD∽△ADE ，∴∴AD2=AB·AE.
考点：相似三角形的判定与性质
26、（1），分；（2）见解析；（3）.
【分析】（1）根据样本容量的定义和平均数的求法答题即可；
（2）计算出21.5至24.5这一组的频数后，再补全分布直方图；
（3）设年平均增长率为，列出一元二次方程求解即可.
【详解】（1）样本容量：;
总成绩平均成绩分
（2）∵组别人数人
∴补全频数分布直方图如下：
（3）设年平均增长率为，由题意得
解得，（不符合题意，舍去）.
两年的年平均增长率为
答：该校学生体育成绩的年平均增长率为10%.
本题考查了读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必需认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，同时还考查了一元二次方程的应用.
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