资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．已知抛物线的解析式为，则下列说法中错误的是（ ）
A．确定抛物线的开口方向与大小
B．若将抛物线沿轴平移，则，的值不变
C．若将抛物线沿轴平移，则的值不变
D．若将抛物线沿直线：平移，则、、的值全变
2．如图，已知BD是⊙O直径，点A、C在⊙O上，，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
3．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．同圆中，圆周角等于圆心角的一半
C．平分弦的直径垂直于弦
D．一个三角形只有一个外接圆
4．估计+1的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
5．近几年我国国产汽车行业蓬勃发展，下列汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．二次函数的图象与轴的交点个数是（ ）
A．2个 B．1个 C．0个 D．不能确定
7．将二次函数y=2x2-4x+4的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位后所得图象的函数解析式为（ ）
A．y=2(x+1)2+1 B．y=2(x+1)2+3 C．y=2(x-3)2+1 D．y=-2(x-3)2+3
8．如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（ ）
A．3 B． C． D．2
9．在平面直角坐标系中，将关于轴的对称点绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．抛物线可以由抛物线平移得到，下列平移正确的是（ ）
A．先向左平移3个单位长度，然后向上平移1个单位
B．先向左平移3个单位长度，然后向下平移1个单位
C．先向右平移3个单位长度，然后向上平移1个单位
D．先向右平移3个单位长度，然后向下平移1个单位
11．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（ ）
A．x2﹣1 B．x2+2x+1 C．x2﹣2x+1 D．x（x﹣2）﹣（x﹣2）
12．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于 CD的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则BE的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，⊙的半径于点，连接并延长交⊙于点，连接.若,则的长为 ___ .
14．要使二次根式有意义，则的取值范围是________．
15．如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，AD∶DF∶FB＝2∶3∶4，若EG＝4，则AC＝________.
16．若、是方程的两个实数根，代数式的值是______．
17．若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_____．
18．计算_________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以20海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：≈1.41，≈1.73）
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线行经过点和点，交轴正半轴于点，连接，点是线段上动点(不与点重合)，以为边在轴上方作正方形，接，将线段绕点逆时针旋转90°，得到线段，过点作轴，交抛物线于点，设点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若与相似求的值；
（3）当时，求点的坐标．
21．（8分）如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交AB于C，交弦AB于D．
(1)求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)若AB＝24cm，CD＝8cm，求(1)中所作圆的半径.
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=12，点E在AD边上，且AE=8，EF⊥BE交CD于F
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）求EF的长．
23．（10分）为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台)和销售单价(单位:万元)成一次函数关系.
(1)求年销售量与销售单价的函数关系式;
(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润.则该设备的销售单价应是多少万元?
24．（10分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB 上一点，经过点 A、D 的⊙O 分别交 AB、AC 于点 E、F，
（1）求证：BC 是⊙O 切线；
（2）设 AB=m，AF=n，试用含 m、n 的代数式表示线段 AD 的长．
25．（12分）（1）解方程：；
（2）求二次函数的图象与坐标轴的交点坐标．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴与轴交于点，点在抛物线上.
（1）求直线的解析式.
（2）点为直线下方抛物线上的一点，连接，.当的面积最大时，连接，，点是线段的中点，点是线段上的一点，点是线段上的一点，求的最小值.
（3）点是线段的中点，将抛物线与轴正方向平移得到新抛物线，经过点，的顶点为点，在新抛物线的对称轴上，是否存在点，使得为等腰三角形?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】利用二次函数的性质对A进行判断；利用二次函数图象平移的性质对B、C、D进行判断．
【详解】解：A、确定抛物线的开口方向与大小，说法正确；
B、若将抛物线C沿y轴平移，则抛物线的对称轴不变，开口大小、开口方向不变，即a，b的值不变，说法正确；
C、若将抛物线C沿x轴平移，抛物线的开口大小、开口方向不变，即a的值不变，说法正确；
D、若将抛物线C沿直线l：y＝x＋2平移，抛物线的开口大小、开口方向不变，即a不变，b、c的值改变，说法错误；
故选：D．
本题考查了二次函数图象与几何变换，由于抛物线平移后的形状不变，所以a不变．
2、C
【详解】∵，∠AOB=60°，
∴∠BDC=∠AOB=30°．
故选C．
3、D
【分析】由垂径定理的推论、圆周角定理、确定圆的条件和三角形外心的性质进行判断
【详解】解：A、平面内不共线的三点确定一个圆，所以A错误；
B、在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以B错误；
C、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以C错误；
D、一个三角形只有一个外接圆，所以D正确．
故答案为D．
本题考查了垂径定理、圆周角定理以及确定圆的条件，灵活应用圆的知识是解答本题的关键.
4、B
【解析】分析：直接利用2＜＜3，进而得出答案．
详解：∵2＜＜3，
∴3＜+1＜4，
故选B．
点睛：此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．
5、D
【解析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
此题主要考查中心对称图形与轴对称图形的识别,解题的关键是熟知其定义.
6、A
【分析】通过计算判别式的值可判断抛物线与轴的交点个数．
【详解】由二次函数，
知
∴．
∴抛物线与轴有二个公共点．
故选：A．
本题考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，抛物线与轴的交点个数取决于的值．
7、A
【分析】先配方成顶点式，再根据二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”解答即可．
【详解】由“上加下减，左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2-4x+4配方成的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得以新的抛物线的表达式是y=2(x+1)2+1，
故选：A．
本题主要考查的是函数图象的平移，由y=ax2平移得到y=a（x-h）2+k，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式即可．
8、A
【详解】解：∵AB=BC，∴∠BAC=∠C．
∵∠ABC=120°，∴∠C=∠BAC=10°．
∵∠C和∠D是同圆中同弧所对的圆周角，∴∠D=∠C=10°．
∵AD为直径，∴∠ABD=90°．
∵AD=6，∴AB=AD=1．
故选A．
9、C
【分析】先求出点B的坐标，再根据旋转图形的性质求得点的坐标
【详解】由题意，关于轴的对称点的坐标为（-1，-4），
如图所示，点绕原点逆时针旋转得到，过点B’作x轴的垂线，垂足为点C
则OC=4，B’C=1，
所以点B’的坐标为
故答案选：C.
本题考查平面直角坐标系内图形的旋转，把握旋转图形的性质是解题的关键.
10、B
【分析】抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．
【详解】解：抛物线的顶点为(0,0)，抛物线的顶点为(-3,-1)，抛物线向左平移3个单位长度，然后向下平移1个单位得到抛物线．
故选：B．
本题考查的知识点是二次函数图象平移问题，解答是最简单的方法是确定平移前后抛物线顶点，从而确定平移方向．
11、B
【分析】原式各项分解后，即可做出判断．
【详解】A、原式=（x+1）（x-1），含因式x-1，不合题意；
B、原式=（x+1）2，不含因式x-1，符合题意；
C、原式=（x-1）2，含因式x-1，不合题意；
D、原式=（x-2）（x-1），含因式x-1，不合题意，
故选：B．
此题考查因式分解-运用公式法，提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12、B
【解析】由作法得AE垂直平分CD，则∠AED=90°，CE=DE，于是可判断∠DAE=30°，∠D=60°，作EH⊥BC于H，从而得到∠ECH=60°,利用三角函数可求出EH、CH的值，再利用勾股定理即可求出BE的长.
【详解】解：如图所示，作EH⊥BC于H，
由作法得AE垂直平分CD，
∴∠AED=90°，CE=DE＝2，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=2DE，
∴∠DAE=30°，
∴∠D=60°，
∵AD//BC，
∴∠ECH=∠D=60°,
在Rt△ECH中，
EH=CE·sin60°=,
CH=CE·cos60°=,
∴BH=4+1=5，
在Rt△BEH中，由勾股定理得，
.
故选B.
本题考查了垂直平分线的性质、菱形的性质、解直角三角形等知识.合理构造辅助线是解题的关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【详解】解：连接BE
∵⊙的半径,AB=2
∴ 且 ,
若设⊙的半径为，则.
在△ACO中,根据勾股定理有,
即，
解得：.
∴.
∵是⊙的直径，
∴
.
故答案为：
在与圆的有关的线段的计算中，一定要注意各种情况下构成的直角三角形，有了直角三角形就有可能用勾股定理、三角函数等知识点进行相关计算.本题抓住由半径、弦心距、半弦构成的直角三角形和半圆上所含的直角三角形，三次利用勾股定理并借助方程思想解决问题.
14、x≥1
【分析】根据二次根式被开方数为非负数进行求解．
【详解】由题意知，，
解得，x≥1，
故答案为：x≥1．
本题考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
15、12
【解析】试题解析：根据平行线分线段成比例定理可得：
故答案为
16、1
【分析】先对所求代数式进行变形为，然后将代入方程中求出的值，根据根与系数的关系求出的值，最后代入即可求解．
【详解】∵是方程的根
∴
∴
∵、是方程的两个实数根
∴原式=
故答案为：1．
本题主要考查一元二次方程的根，根与系数的关系，掌握根与系数的关系，能够对所求代数式进行适当变形是解题的关键．
17、－1或2或1
【分析】分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解，若为二次函数，由抛物线与x轴只有一个交点时b2-4ac=0，据此求解可得．
【详解】∵函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，
当函数为二次函数时，b2-4ac=16-4(a-1)×2a=0，
解得：a1=-1，a2=2，
当函数为一次函数时，a-1=0，解得：a=1.
故答案为-1或2或1.
18、
【分析】先分别计算特殊角的三角函数值，负整数指数幂，再合并即可得到答案．
【详解】解：
故答案为：
本题考查的是特殊角三角函数的计算，负整数指数幂的运算，掌握以上知识点是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、A处与灯塔B相距109海里．
【解析】直接过点C作CM⊥AB求出AM，CM的长，再利用锐角三角函数关系得出BM的长即可得出答案．
【详解】过点C作CM⊥AB，垂足为M，
在Rt△ACM中，∠MAC=90°﹣45°=45°，则∠MCA=45°，
∴AM=MC，
由勾股定理得：AM2+MC2=AC2=（20×2）2，
解得：AM=CM=40，
∵∠ECB=15°，
∴∠BCF=90°﹣15°=75°，
∴∠B=∠BCF﹣∠MAC=75°﹣45°=30°，
在Rt△BCM中，tanB=tan30°=，即，
∴BM=40，
∴AB=AM+BM=40+40≈40+40×1.73≈109（海里），
答：A处与灯塔B相距109海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20、（1）y＝－x2+3x+4；（2）a＝或；（3）点P的坐标为(1，4)或(2，4)或(，4)
【分析】（1）点C（0，4），则c=4，二次函数表达式为：y=-x2+bx+4，将点A的坐标代入上式，即可求解；
（2）△AOC与△FEB相似，则∠FBE=∠ACO或∠CAO，即：tan∠FEB=或4，即可求解；
（3）证明△PNF≌△BEF（AAS），PH=2，则-4a2+6a+4-4=|2|，即可求解．
【详解】解：(1)将点A和点C的坐标代入上式得：0＝－1－b+4，
解得：b＝3，
故抛物线的表达式为：y＝－x2+3x+4；
(2)∵tan∠ACO＝＝，
△AOC与△FEB相似，则∠FBE＝∠ACO或∠CAO，
∴tan∠FBE＝或4，
∵四边形OEFG为正方形，则FE＝OE＝a，EB＝4－a，
则或，
解得：a＝或；
(3)令y＝－x2+3x+4＝0，解得：x＝4或－1，故点B(4，0)；
分别延长GF、HP交于点N，
∵∠PFN+∠BFN＝90°，∠FPN+∠PFN＝90°，
∴∠FPN＝∠NFB，
∵GN∥x轴，∴∠FPN＝∠NFB＝∠FBE，
∵∠PNF＝∠BEF＝90°，FP＝FB，
∴△PNF≌△BEF(AAS)，
∴FN＝FE＝a，PN＝EB＝4－a，
∴点P(2a，4)，点H(2a，－4a2+6a+4)，
∵PH＝2，
即：－4a2+6a+4－4＝±2，
解得：a＝1或或或(舍去)，
故：点P的坐标为(1，4)或(2，4)或(，4)．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、正方形的性质、三角形相似等，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．
21、（1）答案见解析；（2）13cm
【分析】（1）根据垂径定理，即可求得圆心；
（2）连接OA，根据垂径定理与勾股定理，即可求得圆的半径长．
【详解】解：（1）连接BC，作线段BC的垂直平分线交直线CD与点O，
以点O为圆心，OA长为半径画圆，
圆O即为所求；
（2）如图，连接OA
∵OD⊥AB
∴AD=AB=12cm
设圆O半径为r，则OA=r，OD=r-8
直角三角形AOD中，AD2+OD2=OA2
∴122+(r-8)2=r2
∴r=13
∴圆O半径为13cm
本题考查了垂径定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握圆中任意两条弦的垂直平分线的交点即为圆心.
22、（1）证明见解析（2）
【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，易得∠A=∠D=90°，又由EF⊥BE，利用同角的余角相等，即可得∠DEF=∠ABE，则可证得△ABE∽△DEF．
（2）由（1）△ABE∽△DEF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得，又由AB=6，AD=12，AE=8，利用勾股定理求得BE的长，由DE=AB－AE，求得DE的长，从而求得EF的长．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEB+∠ABE=90°．
∵EF⊥BE，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
∴∠DEF=∠ABE．
∴△ABE∽△DEF．
（2）解：∵△ABE∽△DEF，
∴．
∵AB=6，AD=12，AE=8，
∴，DE=AD-AE=12－8=1．
∴，解得：．
23、（1）；（2）该公可若想获得10万元的年利润，此设备的销售单价应是3万元.
【解析】分析：（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1）台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于70的值即可得出结论．
详解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），将（40，600）、（45，53）代入y=kx+b，得：
，
解得：，
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1．
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1）台，根据题意得：
（x﹣30）（﹣10x+1）=10，
整理，得：x2﹣130x+4000=0，
解得：x1=3，x2=2．
∵此设备的销售单价不得高于70万元，∴x=3．
答：该设备的销售单价应是3万元/台．
点睛：本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24、（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OD，由AD为角平分线得到∠BAD=∠CAD，再由等边对等角得到∠OAD=∠ODA，等量代换得到∠ODA=∠CAD，进而得到OD∥AC，得到OD与BC垂直，即可得证；
（2）连接DF，由（1）得到BC为圆O的切线，结合角度的运算得出∠CDF=∠DAF，进而得到∠AFD＝∠ADB，结合∠BAD＝∠DAF得到△ABD∽△ADF，由相似得比例，即可表示出AD；
【详解】（1）证明：如图，连接OD，则OD为圆O的半径，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODC=∠C=90°
即OD⊥BC，
∴BC 是⊙O 切线．
（2）连接DF，OF，由（1）知BC为圆O的切线，
∴∠ODC=90°，
∴∠ODF+∠CDF=90°，
∴∠ODF=90°-∠CDF，
∵OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD=，
又∵∠DAF=，
∴∠ODF=
∴∠CDF=∠DAF
又∵∠CDF+∠CFD=90°，∠DAF+∠CDA=90°，
∴∠CDA＝∠CFD，
∴∠AFD＝∠ADB，
∵∠BAD＝∠DAF，
∴△ABD∽△ADF，
∴，则
∵AB=m，AF=n，
∴
∴
此题属于圆的综合题，涉及的知识有：切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及平行线的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
25、（1）x1=1+，x2=1﹣；（2）(5，0)，(-3，0)，(0，－15)
【分析】（1）根据一元二次方程的求根公式，即可求解；
（2）令y=0，求出x的值，令x=0，求出y的值，进而即可得到答案．
【详解】（1）x2﹣2x﹣1=0 ，
∵a=1，b=﹣2，c=﹣1，
∴△=b2﹣4ac=4+4=8＞0，
∴x= =，
∴x1=1+，x2=1﹣；
（2）令y=0，则，
即：，
解得：，
令x=0，则y=－15，
∴二次函数的图象与坐标轴的交点坐标为：(5，0)，(-3，0)，(0，－15)．
本题主要考查一元二次方程的解法和二次函数图象与坐标轴的交点坐标，掌握一元二次方程的求根公式以及求二次函数图象与坐标轴的交点坐标，是解题的关键．
26、（1）；（2）3；（3）存在，点Q的坐标为或或或.
【解析】 【分析】（1）求出点A、B、 E的坐标，设直线的解析式为 ，将点A和点E的坐标代入即可；
（2）先求出直线CE解析式，过点P作 轴，交CE与点F，设点P的坐标为 ，则点F ，从而可表示出△EPC的面积，利用二次函数性质可求出x的值，从而得到点 P的坐标，作点K关于CD和CP 的对称点G、H，连接G、 H交CD和CP与N 、M，当点O、N、 M、H在一条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值＝ GH，利用勾股定理求出GH即可；
(3)由平移后的抛物线经过点D，可得到点F的坐标，利用中点坐标公式可求得点 G的坐标，然后分为 三种情况讨论求解即可.
【详解】解：（1）
当时，
设直线的解析式为 ，将点A和点E的坐标代入得
解得
所以直线的解析式为 .
（2）设直线CE的解析式为 ，将点E的坐标代入得:
解得:
直线CE的解析式为
如图，过点P作轴，交 CE与点F
设点P的坐标为 ，则点F
则FP＝
∴当 时，△EPC的面积最大，
此时
如图2所示:作点K 关于CD和CP的对称点G 、H，连接G、H 交CD和CP与N 、M
K是CB的中点，
OD＝1， OC＝3
K是BC 的中点，∠OCB＝60°
点O与点K 关于CD对称
点G与点O 重合
∴点G(0，0)
点H与点K 关于CP对称
∴点H的坐标为
当点O、N、 M、H在条直线上时，KM+MN+NK 有最小值，最小值＝GH
的最小值为 3.
（3）如图
经过点D ，的顶点为点F
∴点
点G为 CE的中点，
当FG＝FQ时，点 或
当GF＝GQ时，点 F与点 关于直线 对称
点
当QG＝QF时，设点 的坐标为
由两点间的距离公式可得： ，解得
点 的坐标为
综上所述，点Q的坐标为 或 或 或
本题考查了二次函数的图像与性质的应用，涉及的知识点主要有待定系数法求一次函数的解析式、三角函数、勾股定理、对称的坐标变换、两点间的距离公式、等腰三角形的性质及判定，综合性较强，灵活利用点坐标表示线段长是解题的关键.
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