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2022-2023学年八下数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十
．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
2．一个三角形的三边长度的比例关系是，则这个三角形是（ ）
A．顶点是30°的等腰三角形 B．等边三角形
C．有一个锐角为45°的直角三角形 D．有一个锐角为30°的直角三角形
3．如果把分式中的x，y同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
4．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3=a5 B．（a3）2=a5 C．（3a）2=6a2 D．
5．下列计算中正确的是( )
A． B． C． D．
6．对于所有实数a，b，下列等式总能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．一副三角板如图摆放，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，中，，，的垂直平分线交于点，交于点，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列各组线段，能构成三角形的是( )
A． B．
C． D．
10．若一个三角形的三个内角的度数之比为1:1:2，则此三角形是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
11．解分式方程时，去分母变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．小王到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可能是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
二、填空题（每题4分，共24分）
13．在中，，则的度数是________°．
14．如图，现将一块含有60°角的三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝∠2，那么∠1的度数为__________．
15．如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为______．
16．若，，则=_________．
17．写出点M（﹣2，3）关于x轴对称的点N的坐标_____．
18．有5个从小到大排列的正整数，中位数是3，唯一的众数是8，则这5个数的平均数为__________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在中，是的角平分线，，交于点，，，求的度数
20．（8分）已知百合酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天200元，双人间为每人每天300元，为吸引客源，促进旅游，在“十⋅一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠.一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房．
（1）如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费6300元.求租住了三人间、双人间客房各多少间？
（2）设三人间共住了x人，这个团一天一共花去住宿费y元，请写出y与x的函数关系式；
（3）一天6300元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种方案：要求租住的房间正好被住满的，并使住宿费用最低，请写出设计方案，并求出最低的费用．
21．（8分）（1）分解因式：
（2）解分式方程：
22．（10分）先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=（A+1）2．
再将“A”还原，得原式=（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题：
（1）因式分解：1+2（2x-3y）+（2x-3y）2．
（2）因式分解：（a+b）（a+b-4）+4；
23．（10分）在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
（1）若∠ABC=60°，∠ACB=40°，求∠BOC的度数；
（2）若∠ABC=60°，OB=4，且△ABC的周长为16，求△ABC的面积
24．（10分）如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB．
求证：AE＝CE．
25．（12分）（1）解不等式．
（2）解不等式组．
26．如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植．如果∠C=90°，∠B=30°．
（1）要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着在图上画出来，并加以证明
（2）要使这三家农户所得土地的大小、形状仍都相同，请你试着在图上直接画出来（不用证明）．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【解析】设甲的钱数为x，人数为y，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y，
依题意，得：．
故选A．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
2、D
【分析】根据题意设三边的长度，再根据边的关系即可得出答案．
【详解】一个三角形的三边长度的比例关系是，
设这个三角形三边的长度分别为、、，
，且，
这个三角形是直角三角形，且斜边长为，斜边长是其中一条直角边长的2倍，
即这个三角形是有一个锐角为30°的直角三角形，
故选：D．
本题考查了含30度角的直角三角形性质、勾股定理的逆定理，能够得出三角形为直角三角形是解题的关键．
3、C
【分析】根据题意和分式的基本性质即可得出结论．
【详解】解：
即该分式的值缩小为原来的
故选C．
此题考查的是分式法基本性质的应用，掌握分式的基本性质是解决此题的关键．
4、A
【解析】A、∵a2•a3=a5，故原题计算正确；
B、∵（a3）2=a6，故原题计算错误；
C、∵（3a）2=9a2，故原题计算错误；
D、∵a2÷a8= a-6=故原题计算错误；
故选A．
5、D
【分析】运用幂的运算法则即可进行判断．
【详解】A中和不是同底数幂，也不是同类项，不能合并，A错；
同底数幂相除，底数不变，指数相减，B错；
同底数幂相乘，底数不变，指数相加，C错；
幂的乘方，底数不变，指数相乘，D对
故本题正确选项为D．
本题考查了幂的运算法则，掌握相关知识点是解决本类题的关键．
6、B
【详解】解：A、错误，∵；
B、正确，因为a2+b2≥0，所以=a2+b2；
C、错误，是最简二次根式，无法化简；
D、错误，∵=|a+b|，其结果a+b的符号不能确定．
故选B．
7、C
【分析】根据三角板的特点可得∠2和∠3的度数，然后利用三角形内角和定理求出∠1即可解决问题.
【详解】解：如图，根据三角板的特点可知：∠2＝60°，∠3＝45°，
∴∠1＝180°－60°－45°＝75°，
∴∠α＝∠1＝75°，
故选：C.
本题主要考查了三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解题的关键.
8、A
【解析】根据直角三角形的性质得到AB=2BC，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据直角三角形的性质、角平分线的性质判断即可．
【详解】∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，AB=2BC，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，故B正确，不符合题意；
∵DA=DB，BD＞BC，
∴AD＞BC，故A错误，符合题意；
∴∠DBA=∠A=30°，
∴∠DBE=∠DBC，又DE⊥AB，DC⊥BC，
∴DE=DC，故C正确，不符合题意；
∵AB=2BC，AB=2AE，
∴BC=AE，故D正确，不符合题意；
故选：A．
考查的是直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
9、C
【分析】判断三条线段能否构成三角形，只需让两个较短的线段长度相加，其和若大于最长线段长度，则可以构成三角形，否则不能构成三角形.逐一判断即可.
【详解】A选项，1+3<5，不能构成三角形；
B选项，2+4=6，不能构成三角形；
C选项，1+4>4，可以构成三角形；
D选项，8+8<20，不能构成三角形，
故选C.
本题考查了构成三角形的条件，掌握构成三角形的判断方法是解题的关键.
10、D
【解析】解：设这三个内角度数分别为x、x、2x，则x+x+2x=180°，解得：x=45°，∴2x=90°，∴这个三角形是等腰直角三角形，故选D．
11、C
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可得到结果．
【详解】解：去分母得：1-x=-1-3（x-2），
故选：C．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
12、C
【分析】平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能.
【详解】解：因为用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，
所以小王到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是正五边形.
故选：C
用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、60
【分析】用分别表示出,再根据三角形的内角和为即可算出答案．
【详解】∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：60
本题考查了三角形的内角和，根据题目中的关系用分别表示出是解题关键．
14、
【分析】根据题意知：，得出,从而得出，从而求算∠1．
【详解】解：如图：
∵
∴
又∵∠1＝∠2，
∴，解得：
故答案为：
本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题关键．
15、2.
【详解】过点D作DF⊥B′E于点F，过点B′作B′G⊥AD于点G，
∵∠B=60°，BE=BD=4，
∴△BDE是等边三角形，
∵△B′DE≌△BDE，
∴B′F=B′E=BE=2，DF=2,
∴GD=B′F=2，
∴B′G=DF=2，
∵AB=10，
∴AG=10﹣6=4，
∴AB′=2．
考点：1轴对称；2等边三角形.
16、21
【分析】根据同底数幂相乘逆用运算法则，即可得到答案.
【详解】解：，
故答案为：21.
本题考查了同底数幂相乘，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算.
17、（-2，-3）
【解析】解：根据平面直角坐标系内关于x轴对称，纵坐标互为相反数，横坐标不变，
∴点M（-2，3）关于y轴的对称点为（-2，-3）．
18、
【分析】根据题意以及众数和中位数的定义可得出这5个数字，然后求其平均数即可．
【详解】解：由题意得：这五个数字为：1，2，3，8，8，
则这5个数的平均数为：（1+2+3+8+8）÷5=．
故答案为：．
本题考查了众数和中位数的知识，难度一般，解答本题的关键是根据题意分析出这五个数字．
三、解答题（共78分）
19、110°
【分析】由三角形的外角性质得出∠ABD＝35，由角平分线的定义求出∠ABC＝2∠ABD＝70，再由平行线的性质得出同旁内角互补∠BED＋∠ABC＝180，即可得出结果．
【详解】解：∵∠A+∠ABD=∠BDC,∠A=,∠BDC=
∴ ∠ABD=
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD= ∠CBD
又 ∵DE∥BC
∴∠CBD=∠BDE
∴∠BDE=∠ABD=
∴∠BED=-∠ABD -∠BDE=.
本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质，运用三角形的外角性质求出∠ABD的度数是解决问题的关键．
20、（1）8间，13间 （2） （3）不是；三人客房16间，双人客房1间时费用最低，最低费用为5100元．
【分析】(1)设三人间有间，双人间有间．注意凡团体入住一律五折优惠，根据①客房人数=50；②住宿费6300 列方程组求解；
(2)根据题意，三人间住了人，则双人间住了()人，住宿费=100×三人间的人数+150×双人间的人数；
(3)根据的取值范围及实际情况，运用函数的性质解答．
【详解】(1)设三人间有间，双人间有间，
根据题意得：，
解得：，
答：租住了三人间8间，双人间13间；
(2)根据题意，三人间住了人，住宿费每人100元，则双人间住了()人，住宿费每人150元，
∴；
(3)因为，所以随的增大而减小，
故当满足、为整数，且最大时，
即时，住宿费用最低，
此时，
答：一天6300元的住宿费不是最低；若48人入住三人间，则费用最低，为5100元．
所以住宿费用最低的设计方案为：48人住3人间，2人住2人间．
本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和方程的思想解答．
21、（1）（2）x=3
【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式即可分解；
（2）根据分式方程的解法去分母化为整式方程，再进行求解.
【详解】（1）
=
=
（2）
x=3
经检验，x=3是原方程的解.
此题主要考查因式分解及分式方程的求解，解题的关键是熟知分式方程的解法.
22、（1）（1+2x-3y）2；（2）（a+b-2）2．
【解析】（1）将（2x-3y）看作一个整体，利用完全平方公式进行因式分解．
（2）令A=a+b，代入后因式分解，再代入即可将原式因式分解．
【详解】解：（1）原式=（1+2x-3y）2．
（2）令A=a+b，则原式变为A（A-4）+4=A2-4A+4=（A-2）2，
故：（a+b）（a+b-4）+4=（a+b-2）2．
故答案为（1）（1+2x-3y）2；（2）（a+b-2）2．
本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
23、（1）∠COB=130°；（2）16.
【分析】（1）利用角平分线的定义及三角形内角和即可得出答案；
（2）过O作OD⊥BC于D点，连接AO, 通过O为角平分线的交点，得出点O到三边的距离相等，利用特殊角的三角函数值求出距离，然后利用和周长即可得出答案.
【详解】（1）解：∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB
∵∠ABC=60°，∠ACB=40°
∴∠OBC=30°,20°
（2）过O作OD⊥BC于D点，连接AO
∵O为角平分线的交点
∴点O到三边的距离相等
又∵∠ABC=60°，OB=4
∴∠OBD=30°，OD=2
即点O到三边的距离都等于2
∴
又∵△ABC的周长为16
∴
本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键.
24、证明见解析
【分析】由题干给出的信息根据AAS可以证明，从而可以证明AE=CE.
【详解】证明：∵ FCAB，
∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CEF，
在和中，
，
∴（AAS），
∴AE=CE.
本题主要考查了全等三角形的证明，熟练掌握相关方法是解题关键.
25、（1）；（2）
【分析】（1）直接移项解不等式即可；
（2）先分别解一元一次不等式，再求交集即可.
【详解】解：（1）
；
（2）
解由①得：，
由②得：，
∴原不等式组的解集为.
本题是对一元一次不等式组的考查，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解决本题的关键.
26、（1）详见解析；（2）详见解析
【分析】（1）根据角平分线的性质和等腰三角形三线合一的性质即可得到结果；
（2）根据等底等高的三角形面积相等作出即可．
【详解】（1）作∠BAC的平分线AD交BC于D，过点D作DE⊥AB于E，得到3个全等三角形，如图所示．
证明：∵ AD是∠BAC的平分线，且DE⊥AB
∴CD=DE
在Rt△ACD和Rt△AED中
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）-
∵ AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAE=∠BAC=30°=∠B，
又∵ DE⊥AB
∴ ∠DEA=∠DEB=90°
在Rt△AED和Rt△BED中
∴Rt△AED≌Rt△BED
即Rt△ACD≌Rt△AED≌Rt△BED
（2）如图2所示，取线段BC的三等分点F，G，连结AF，AG．
则△ACF、△AFG、△AGB为所求．
根据等底等高的三角形面积相等作出．
本题考查了三角形面积的应用；解答本题的关键是找出面积相等这个等量关系，解决问题．
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