上海市金山区2025届九上数学期末监测试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．已知正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
2．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN，沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②AB＝BP；③PN＝PG；④PM＝PF；⑤若连接PE，则△PEG∽△CMD．其中正确的个数为（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．若⊙O的弦AB等于半径，则AB所对的圆心角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
4．如图，函数y1=x﹣1和函数的图象相交于点M（2，m），N（﹣1，n），若y1＞y2，则x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣1或0＜x＜2 B．x＜﹣1或x＞2
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
5．下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，O为原点，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），⊙D过A、B、O三点，点C为上一点（不与O、A两点重合），则cosC的值为（　　）

A． B． C． D．
7．如图所示的是太原市某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是双曲线的一部分，其中，矩形中有一个向上攀爬的梯子，米，入口，且米，出口点距水面的距离为米，则点之间的水平距离的长度为（ ）

A．米 B．米 C．米 D．米
8．如图，在中，是斜边上的高，则图中的相似三角形共有（ ）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
9．如图，已知为的直径，点，在上，若，则（ ）

A． B． C． D．
10．抛物线 y=﹣（x﹣1）2﹣2 的顶点坐标是（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）
11．如图，平行四边形的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，中点恰好落在轴上，已知，则的值为（ ）

A．-8 B．-6 C．-4 D．-2
12．已知是一元二次方程的一个根，则等于（ ）
A． B．1 C． D．2
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4，BC=3，则△ABC的内切圆半径r=_____．

14．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为2，若以小正形的顶点为圆心，4为半径作一个扇形围成一个圆锥，则所围成的圆锥的底面圆的半径为___________.

15．将二次函数的图像向下平移个单位后，它的顶点恰好落在轴上，那么的值等于__________.
16．已知反比例函数，当_______时，其图象在每个象限内随的增大而增大．
17．若分式的值为0，则x的值为_______.
18．如图，OABC是平行四边形，对角线OB在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限内的点C分别在双曲线和的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：
①阴影部分的面积为；
②若B点坐标为（0，6），A点坐标为（2，2），则；
③当∠AOC＝时，；
④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称.其中正确的结论是 ____________（填写正确结论的序号）．

三、解答题（共78分）
19．（8分）初三（1）班要从2男2女共4名同学中选人做晨会的升旗手．
（1）若从这4人中随机选1人，则所选的同学性别为男生的概率是　 　．
（2）若从这4人中随机选2人，求这2名同学性别相同的概率．
20．（8分）先化简，再求值：，其中.
21．（8分）2019年12月17日，我国第一艘国产航母“山东舰”在海南三亚交付海军.如图，“山东舰”在一次试水测试中，航行至处，观测指挥塔位于南偏西方向，在沿正南方向以30海里/小时的速度匀速航行2小时后，到达处，再观测指挥塔位于南偏西方向，若继续向南航行.求“山东舰”与指挥塔之间的最近距离为多少海里？（结果保留根号）

22．（10分）现有四张正面分别印有和四种图案，并且其余完全相同的卡片，现将印有图案的一面朝下，并打乱摆放顺序，请用列表或画树状图的方法解决下列问题：

（1）现从中随机抽取一张，记下图案后放回，再从中随机抽取一张卡片，求两次摸到的卡片上印有图案都是轴对称图形的概率；
（2）现从中随机抽取-张，记下图案后不放回，再从中随机抽取一张卡片，求两次摸到的卡片上印有图案都是中心对称图形的概率．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上的一动点，抛物线(是常数，且过点，与轴交于两点，点在点左侧，连接，以为边做等边三角形，点与点在直线两侧．

（1）求B、C的坐标；
（2）当轴时，求抛物线的函数表达式；
（3）①求动点所成的图像的函数表达式；
②连接，求的最小值．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与函数（）的图象相交于点，并与轴交于点．点是线段上一点，与的面积比为2：1．
（1） ， ；
（2）求点的坐标；
（1）若将绕点顺时针旋转，得到，其中的对应点是，的对应点是，当点落在轴正半轴上，判断点是否落在函数（）的图象上，并说明理由．

25．（12分）如图，点B、D、E在一条直线上，BE交AC于点F，，且∠BAD＝∠CAE．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）求证：△AEF∽△BFC．

26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上一点O为圆心，OB为半径作⊙O，交AC于点E，交AB于点D，且∠BEC=∠BDE．

（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）连接OC交BE于点F，若，求的值．
参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】根据正多边形的一个内角是135°，则知该正多边形的一个外角为45°，再根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数．
【详解】解：∵正多边形的一个内角是135°，
∴该正多边形的一个外角为45°，
∵多边形的外角之和为360°，
∴边数＝，
∴这个正多边形的边数是1．
故选：D．
本题考查了正多边形的内角和与外角和的知识，知道正多边形的外角之和为360°是解题关键．
2、B
【分析】根据折叠的性质得到，于是得到，求得是直角三角形；设AB=x，则AD=2x，由相似三角形的性质可得CP=x，可求BP=PG=x=PN，可判断②③，由折叠的性质和平行线的性质可得∠PMF=∠FPM，可证PF=FM；由，且∠G=∠D=90°，可证△PEG∽△CMD，则可求解．
【详解】∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，
∴∠DMC=∠EMC，
∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，
∴∠AMP=∠EMP，
∵∠AMD=180°，
∴∠PME+∠CME=×180°=90°，
∴△CMP是直角三角形；故①符合题意；
∵AD=2AB，
∴设AB=x，则AD=BC=2x，
∵将矩形ABCD对折，得到折痕MN；
∴AM=DM=AD=x=BN=NC，
∴CMx，
∵∠PMC=90°=∠CNM，∠MCP=∠MCN，
∴△MCN∽△NCP，
∴CM2=CN•CP，
∴3x2=x×CP，
∴CP=x，
∴
∴AB=BP，故②符合题意；
∵PN=CP﹣CN=x-x =x，
∵沿着MP折叠，使得AM与EM重合，
∴BP=PG=x，
∴PN=PG，故③符合题意；
∵AD∥BC，
∴∠AMP=∠MPC，
∵沿着MP折叠，使得AM与EM重合，
∴∠AMP=∠PMF，
∴∠PMF=∠FPM，
∴PF=FM，故④不符合题意，
如图，

∵沿着MP折叠，使得AM与EM重合，
∴AB=GE=x，BP=PG=x，∠B=∠G=90°
∴，
∵，
∴，且∠G=∠D=90°，
∴△PEG∽△CMD，故⑤符合题意，
综上：①②③⑤符合题意，共4个，
故选：B．
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的性质等知识，利用参数表示线段的长度是解题的关键．
3、B
【解析】试题分析：∵OA=OB=AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°．
故选B．

【考点】圆心角、弧、弦的关系；等边三角形的判定与性质．
4、D
【解析】析：根据反比例函数的自变量取值范围，y1与y1图象的交点横坐标，可确定y1＞y1时，x的取值范围．
解答：解：∵函数y1=x-1和函数y1=的图象相交于点M（1，m），N（-1，n），
∴当y1＞y1时，那么直线在双曲线的上方，
∴此时x的取值范围为-1＜x＜0或x＞1．
故选D．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题的运用．关键是根据图象的交点坐标，两个函数图象的位置确定自变量的取值范围．
5、C
【解析】根据中心对称图形的概念即可得出答案.
【详解】A选项中，不是中心对称图形，故该选项错误；
B选项中，是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误；
C选项中，是中心对称图形，故该选项正确；
D选项中，不是中心对称图形，故该选项错误.
故选C
本题主要考查中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是解题的关键.
6、D
【详解】如图，连接AB，

由圆周角定理，得∠C=∠ABO，
在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，由勾股定理，得AB=5，
∴．
故选D．
7、D
【分析】根据题意B、C所在的双曲线为反比例函数，B点的坐标已知为B（2,5），代入即可求出反比例函数的解析式：y= ，C（x，1）代入y=中，求出C点横坐标为10，可以得出DE=OD-OE即可求出答案.
【详解】解：设B、C所在的反比例函数为y= B（xB,yB）
∴ xB=OE=AB=2 yB=EB=OA=5 代入反比例函数式中
5= 得到 k=10
∴y=
∵ C(xC, yC) yC=CD=1 代入y=中
∴ 1= xC=10
∴ DE=OD-OE= xC- xB=10-2=8
故选D
此题主要考查了反比例函数的定义，根据已知参数求出反比例函数解析式是解题的关键.
8、C
【分析】根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形．
【详解】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB
∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD
所以有三对相似三角形，
故选：C．
考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似．
9、C
【分析】连接AD,根据同弧所对的圆周角相等，求∠BAD的度数，再根据直径所对的圆周角是90°，利用内角和求解.
【详解】解：连接AD,则∠BAD=∠BCD=28°,
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°,
∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-28°=62°.

故选：C.
本题考查圆周角定理，运用圆周角定理是解决圆中角问题的重要途径，直径所对的圆周角是90°是圆中构造90°角的重要手段.
10、D
【解析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【详解】抛物线 y=﹣（x﹣1）2﹣2 的顶点坐标是（1，﹣2）．
故选D．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标的方法是解题的关键．
11、C
【分析】连接OB，过点B作轴于点D，过点C作于点E，证，再利用三角形的面积求解即可．
【详解】解：连接OB，过点B作轴于点D，过点C作于点E，

∵点P是BC的中点
∴PC=PB
∵
∴
∴
∵
∴
∵点在双曲线上
∴
∴
∴
∴
∵点在双曲线上
∴
∴．
故选：C．
本题考查的知识点是反比例函数的图象与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等，掌握以上知识点是解此题的关键．
12、D
【分析】直接把x=1代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可．
【详解】解：把x=1代入 得m-1-1+1=0，
解得m=1．
故选：D．
本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【解析】如图，设△ABC的内切圆与各边相切于D，E，F，连接OD，OE，OF，

则OE⊥BC，OF⊥AB，OD⊥AC，
设半径为r，CD=r，
∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴BE=BF=3﹣r，AF=AD=4﹣r，
∴4﹣r+3﹣r=5，
∴r=1，
∴△ABC的内切圆的半径为 1，
故答案为1．
14、
【分析】先根据直角三角形边长关系得出，再分别计算此扇形的弧长和侧面积后即可得到结论．
【详解】解：如图，，，.

，
，
的长度，
设所围成的圆锥的底面圆的半径为，
，
，
故答案为：．
本题考查了圆锥的计算及弧长的计算的知识，解题的关键是能够从图中了解到扇形的弧长和扇形的半径并利用扇形的有关计算公式进行计算，难度不大．
15、1
【分析】利用平移的性质得出平移后解析式，进而得出其顶点坐标，再代入直线y=0求出即可．
【详解】y=x2-2x+2=（x-1）2+1，
∴将抛物线y=x2-2x+2沿y轴向下平移1个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在x轴上，
∴m=1，
故答案为：1．
此题考查二次函数的性质，二次函数的平移，正确记忆二次函数平移规律是解题关键．
16、
【分析】根据反比例函数的性质求出m的取值范围即可．
【详解】∵反比例函数在每个象限内随的增大而增大
∴
解得
故答案为：．
本题考查了反比例函数的问题，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
17、-1
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【详解】解：根据题意得：，
解得：x=-1．
故答案为：-1.
若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为2；（2）分母不为2．这两个条件缺一不可．
18、②④
【分析】由题意作AE⊥y轴于点E，CF⊥y轴于点F，①由S△AOM=|k1|，S△CON=|k2|，得到S阴影部分=S△AOM+S△CON=（|k1|+|k2|）=（k1-k2）；
②由平行四边形的性质求得点C的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求得系数k2的值．
③当∠AOC=90°，得到四边形OABC是矩形，由于不能确定OA与OC相等，则不能判断△AOM≌△CNO，所以不能判断AM=CN，则不能确定|k1|=|k2|；④若OABC是菱形，根据菱形的性质得OA=OC，可判断Rt△AOM≌Rt△CNO，则AM=CN，所以|k1|=|k2|，即k1=-k2，根据反比例函数的性质得两双曲线既关于x轴对称，同时也关于y轴对称．
【详解】解：作AE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F，如图：

∵S△AOM=|k1|，S△CON=|k2|，得到S阴影部分=S△AOM+S△CON=（|k1|+|k2|）；
而k1＞0，k2＜0，
∴S阴影部分=（k1-k2），故①错误；
②∵四边形OABC是平行四边形，B点坐标为（0，6），A点坐标为（2，2），O的坐标为（0，0）．
∴C（-2，4）．
又∵点C位于y=上，
∴k2=xy=-2×4=-1．
故②正确；
当∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形，
∴不能确定OA与OC相等，而OM=ON，
∴不能判断△AOM≌△CNO，
∴不能判断AM=CN，
∴不能确定|k1|=|k2|，故③错误；
若OABC是菱形，则OA=OC，
而OM=ON，
∴Rt△AOM≌Rt△CNO，
∴AM=CN，
∴|k1|=|k2|，
∴k1=-k2，
∴两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称，故④正确．
故答案是：②④．
本题属于反比例函数的综合题，考查反比例函数的图象、反比例函数k的几何意义、平行四边形的性质、矩形的性质和菱形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．

三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）P(这2名同学性别相同) =．
【分析】（1）用男生人数2除以总人数4即可得出答案；
（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案.
【详解】解：（1）；
（2）从4人中随机选2人，所有可能出现的结果有：
（男1，男2）、（男1，女1）、（男1，女2）、（男2，男1）、（男2，女1）、（男2，女2）、（女1，男1）、（女1，男2）、（女1，女2）、（女2，男1）、（女2，男2）、（女2，女1），共有12种，它们出现的可能性相同，满足“这2名同学性别相同”（记为事件A）的结果有4种，
所以P(A)= ．
20、；.
【分析】根据分式的运算法则即可化简，再代入a即可求解.
【详解】解:原式

把代入上式，得:原式
此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式运算法则.
21、
【分析】过P作PH⊥MN于H，构建直角三角形，设PH=x海里，分别在两个直角三角形△PHN和△PHM中利用正切函数表示出NH长和MH长，列方程求解.
【详解】过P作PH⊥MN，垂足为H，设PH=x海里，
在Rt△PHN ，tan∠PNH= ,
∴tan45°=,
∴NH=,
在Rt△PHM中，tan∠PMH= ,
∴tan30°=,
∴MH=,
∵MN=30×2=60海里，
∴ ，
∴ .
答：“山东舰”与指挥塔之间的最近距离为海里.

本题考查解直角三角形的应用，解答此题的关键是构建直角三角形，找准线段之间的关系，利用锐角三角函数进行解答.
22、（1）；（2）．
【分析】（1）先判断出是轴对称图形的字母，再画出树状图，得出所有可能的情况数和两次摸出的都是轴对称图形的字母的情况数，利用概率公式即可得答案；
（2）先判断出是中心对称图形的字母，再画出树状图，得出所有可能的情况数和两次摸出的都是中心对称图形的字母的情况数，利用概率公式即可得答案．
【详解】（1）在A、F、N、O中，是轴对称图形的字母有A、O，
画树状图如下：

由树状图可知，共有种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“两张卡片图案都是轴对称”的有种情况，分别为：，
∴两次摸到的卡片上印有图案都是轴对称图形的概率为=．
（2）在A、F、N、O中，是中心对称图形的字母有N、O，
画树状图如下：

由树状图可知，共有种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“两张卡片图案都是中心对称”的有种情况，分别为，
∴两次摸到的卡片上印有图案都是中心对称图形概率为=．
本题考查用列表法或树状图法求概率，注意作图列表时按一定的顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23、（1）、；（2）；（3）①；②．
【分析】（1），令，则或4，即可求解；
（2）当轴时，则，则，故点，即可求解；
（3）构造一线三垂直相似模型由，则，解得：，，故点，，即可求解．
【详解】解：（1）当时，即，
解得或4，
故点、的坐标分别为：、；
（2）∵等边三角形，
∴，
∴当轴时，，
∴，故点，
即，解得：，
故抛物线的表达式为：；
（3）①如图，过点作于点，过点作轴的垂线于点，过点作轴交轴于点交于点，

为等边三角形，
∴点为的中点， ，
∴点，，
，，
，
，
，其中，，
解得：，，故点，，
即动点所成的图像的函数满足 ，
∴动点所成的图像的函数表达式为：．
②由①得点，，
∴，
故当时，的最小值为，即的最小值为．
本题考查了二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似等，其中（3）构造一线三直角模型，用三角形相似的方法求解点的坐标，是本题的难点．
24、（1）6，5；（2）；（1），点不在函数的图象上．
【分析】（1）将点分别代入反比例函数与一次函数的表达式中即可求出k,b的值；
（2）先求出B的坐标，然后求出，进而求出,得出C的纵坐标，然后代入到一次函数的表达式中即可求出横坐标；
（1）先根据题意画出图形，利用旋转的性质和，求出 的纵坐标，根据勾股定理求出横坐标，然后判断横纵坐标之积是否为6，若是，说明在反比例函数图象上，反之则不在．
【详解】（1）将点代入反比例函数中得 ，
∴
∴反比例函数的表达式为
将点代入一次函数中得 ，
∴
∴一次函数的表达式为
（2）当时， ，解得

∵与的面积比为2：1．

设点C的坐标为

当时，，解得
∴
（1）如图，过点 作 于点D

∵绕点顺时针旋转，得到

∴

∴点不在函数的图象上．
本题主要考查反比例函数，一次函数与几何综合，掌握反比例函数的图象和性质，待定系数法是解题的关键．
25、（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由已知先证明∠BAC=∠DAE，继而根据两边对应成比例且夹角相等即可得结论；
（2）根据相似三角形的性质定理得到∠C=∠E，结合图形，证明即可．
【详解】证明：如图，

（1）∵∠BAD＝∠CAE
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD
即∠BAC＝∠DAE
在△ABC和△ADE中
，∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE；
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴∠C＝∠E，
在△AEF和△BFC中，∠C＝∠E，∠AFE＝∠BFC，
∴△AEF∽△BFC．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
26、（1）证明见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）连接OE，证得OE⊥AC即可确定AC是切线；
（2）根据OE∥BC，分别得到△AOE∽△ACB和△OEF∽△CBF，利用相似三角形对应边的比相等找到中间比即可求解．
试题解析：解：（1）连接OE．
∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB．
∵∠ACB=90°，∴∠CBE+∠BEC=90°．
∵BD为⊙O的直径，∴∠BED=90°，∴∠DBE+∠BDE=90°，∴∠CBE=∠DBE，∴∠CBE=∠OEB，∴OE∥BC，∴∠OEA=∠ACB=90°，即OE⊥AC，∴AC为⊙O的切线．
（2）∵OE∥BC，∴△AOE∽△ABC，∴OE：BC=AE：AC．
∵CE：AE=2：3，∴AE：AC=3：1，∴OE：BC=3：1．
∵OE∥BC，∴△OEF∽△CBF，∴．

点睛：本题考查了切线的判定，在解决切线问题时，常常连接圆心和切点，证明垂直或根据切线得到垂直．